Четвертая взаимность - Quartic reciprocity

Quartic или же биквадратная взаимность представляет собой сборник теорем в элементарный и алгебраический теория чисел условия того государства, при которых соответствие Икс⁴ ≡ п (мод q) разрешима; слово «взаимность» происходит от формы некоторых из этих теорем, поскольку они связывают разрешимость сравнения Икс⁴ ≡ п (мод q) к тому из Икс⁴ ≡ q (мод п).

История

Эйлер сделал первые предположения о биквадратичной взаимности.^[1] Гаусс опубликовал две монографии по биквадратной взаимности. В первом (1828 г.) он доказал гипотезу Эйлера о биквадратичном характере числа 2. Во втором (1832 г.) он сформулировал биквадратный закон взаимности для гауссовских целых чисел и доказал дополнительные формулы. Он сказал^[2] что будет готовиться третья монография с доказательством общей теоремы, но она так и не появилась. Якоби представил доказательства в своих кенигсбергских лекциях 1836–1837 гг.^[3] Первые опубликованные доказательства были Эйзенштейном.^[4][5][6][7]

С тех пор был найден ряд других доказательств классической (гауссовской) версии,^[8] а также альтернативные утверждения. Леммермейер заявляет, что произошел взрыв интереса к рациональные законы взаимности с 1970-х гг.^[A][9]

Целые числа

А квартика или же биквадратный остаток (мод п) - любое число, равное четвертой степени целого числа (mod п). Если Икс⁴ ≡ а (мод п) не имеет целочисленного решения, а это квартика или же биквадратный остаток (мод п).^[10]

Как это часто бывает в теории чисел, проще всего работать по модулю простых чисел, поэтому в этом разделе все модули п, qи т. д. считаются положительными нечетными простыми числами.^[10]

Гаусс

Первое, что нужно заметить при работе в ринге Z целых чисел состоит в том, что если простое число q равно ≡ 3 (mod 4), то вычет р это квадратичный вычет (мод q) тогда и только тогда, когда это биквадратичный вычет (mod q). Действительно, первое дополнение к квадратичная взаимность утверждает, что −1 - квадратичный невычет (mod q), так что для любого целого Икс, один из Икс и -Икс является квадратичным вычетом, а другой - невычетом. Таким образом, если р ≡ а² (мод q) - квадратичный вычет, то если а ≡ б² это остаток, р ≡ а² ≡ б⁴ (мод q) - биквадратичный вычет, а если а не остаток, -а это остаток, -а ≡ б², и опять, р ≡ (−а)² ≡ б⁴ (мод q) - биквадратичный вычет.^[11]

Поэтому единственный интересный случай - это когда модуль п ≡ 1 (мод.4).

Гаусс доказал^[12] что если п ≡ 1 (mod 4), то классы ненулевых вычетов (mod п) можно разделить на четыре набора, каждый из которых содержит (п−1) / 4 числа. Позволять е - квадратичный невычет. Первый набор - это остатки четвертой степени; второй е умноженное на числа в первом наборе, третий - е² умноженное на числа в первом наборе, а четвертое - е³ умноженное на числа в первом наборе. Другой способ описать это разделение - позволить грамм быть первобытный корень (мод п); тогда первый набор - это все числа, индексы которых по отношению к этому корню равны 0 (mod 4), второй набор - все те, чьи индексы равны 1 (mod 4), и т. д.^[13] В словаре теория групп, первый набор представляет собой подгруппу индекс 4 (мультипликативной группы Z/пZ^×), а остальные три - его смежные классы.

Первый набор - это биквадратичные вычеты, третий набор - квадратичные вычеты, которые не являются четвертыми вычетами, а второй и четвертый наборы - квадратичные невычеты. Гаусс доказал, что −1 - биквадратичный вычет, если п 1 (mod 8) и квадратичный, но не биквадратичный вычет, когда п ≡ 5 (мод. 8).^[14]

2 - квадратичный вычет по модулю п если и только если п ≡ ± 1 (мод. 8). С п также ≡ 1 (mod 4), это означает п ≡ 1 (мод. 8). Каждое такое простое число представляет собой сумму квадрата и дважды квадрата.^[15]

Гаусс доказал^[14]

Позволять q = а² + 2б² ≡ 1 (mod 8) - простое число. потом

2 - биквадратный вычет (mod q) если и только если а ≡ ± 1 (mod 8), и

2 - квадратичный, но не биквадратичный вычет (mod q) если и только если а ≡ ± 3 (мод. 8).

Каждый прайм п ≡ 1 (mod 4) - это сумма двух квадратов.^[16] Если п = а² + б² куда а это странно и б четно, как доказал Гаусс^[17] который

2 принадлежит к первому (соответственно второму, третьему или четвертому) классу, определенному выше, тогда и только тогда, когда б ≡ 0 (соответственно 2, 4 или 6) (мод 8). Первый случай этого - одна из гипотез Эйлера:

2 - биквадратичный вычет простого числа п ≡ 1 (mod 4) тогда и только тогда, когда п = а² + 64б².

Дирихле

Для нечетного простого числа п и квадратичный вычет а (мод п), Критерий Эйлера утверждает, что ${displaystyle a^{frac {p-1}{2}}equiv 1{pmod {p}},}$ так что если п ≡ 1 (мод 4), ${displaystyle a^{frac {p-1}{4}}equiv pm 1{pmod {p}}.}$

Определить символ рационального остатка четвертой степени для премьер п ≡ 1 (mod 4) и квадратичный вычет а (мод п) в качестве ${displaystyle {Bigg (}{frac {a}{p}}{Bigg )}_{4}=pm 1equiv a^{frac {p-1}{4}}{pmod {p}}.}$ Легко доказать, что а является биквадратичным вычетом (mod п) если и только если ${displaystyle {Bigg (}{frac {a}{p}}{Bigg )}_{4}=1.}$

Дирихле^[18] упростил доказательство Гаусса биквадратичного характера числа 2 (его доказательство требует только квадратичной взаимности для целых чисел) и представил результат в следующей форме:

Позволять п = а² + б² ≡ 1 (mod 4) простое число, и пусть я ≡ б/а (мод п). потом

${displaystyle {Bigg (}{frac {2}{p}}{Bigg )}_{4}equiv i^{frac {ab}{2}}{pmod {p}}.}$ (Обратите внимание, что я² ≡ −1 (mod п).)

Фактически,^[19] позволять п = а² + б² = c² + 2d² = е² − 2ж² ≡ 1 (mod 8) простое число, и предположим, что а странно. потом

${displaystyle {Bigg (}{frac {2}{p}}{Bigg )}_{4}=left(-1ight)^{frac {b}{4}}={Bigg (}{frac {2}{c}}{Bigg )}=left(-1ight)^{n+{frac {d}{2}}}={Bigg (}{frac {-2}{e}}{Bigg )},}$ куда ${displaystyle ({ frac {x}{q}})}$ это обычный Символ Лежандра.

Выйдя за рамки символа 2, пусть штрих п = а² + б² куда б ровно, и пусть q быть таким простым, что ${displaystyle ({ frac {p}{q}})=1.}$ Квадратичная взаимность говорит, что ${displaystyle ({ frac {q^{*}}{p}})=1,}$ куда ${displaystyle q^{*}=(-1)^{frac {q-1}{2}}q.}$ Пусть σ² ≡ п (мод q). потом^[20]

${displaystyle {Bigg (}{frac {q^{*}}{p}}{Bigg )}_{4}={Bigg (}{frac {sigma (b+sigma )}{q}}{Bigg )}.}$ Из этого следует^[21] который

${displaystyle {Bigg (}{frac {q^{*}}{p}}{Bigg )}_{4}=1{mbox{ if and only if }}{egin{cases}bequiv 0{pmod {q}};&{mbox{ or }}aequiv 0{pmod {q}}{mbox{ and }}left({frac {2}{q}}ight)=1;&{mbox{ or }}aequiv mu b,;;mu ^{2}+1equiv lambda ^{2}{pmod {q}}{mbox{, and }}left({frac {lambda (lambda +1)}{q}}ight)=1.end{cases}}}$

Первые несколько примеров:^[22]

${displaystyle {egin{aligned}left({frac {-3}{p}}ight)_{4}=1&{mbox{ if and only if }}&b&equiv 0{pmod {3}}left({frac {5}{p}}ight)_{4}=1&{mbox{ if and only if }}&b&equiv 0{pmod {5}}left({frac {-7}{p}}ight)_{4}=1&{mbox{ if and only if }}&ab&equiv 0{pmod {7}}left({frac {-11}{p}}ight)_{4}=1&{mbox{ if and only if }}&b(b^{2}-3a^{2})&equiv 0{pmod {11}}left({frac {13}{p}}ight)_{4}=1&{mbox{ if and only if }}&b(b^{2}-3a^{2})&equiv 0{pmod {13}}left({frac {17}{p}}ight)_{4}=1&{mbox{ if and only if }};;;;&ab(b^{2}-a^{2})&equiv 0{pmod {17}}.end{aligned}}}$

Эйлер предположил правила для 2, −3 и 5, но не доказал ни одного из них.

Дирихле^[23] также доказал, что если п ≡ 1 (mod 4) простое и ${displaystyle ({ frac {17}{p}})=1}$ тогда

${displaystyle {Bigg (}{frac {17}{p}}{Bigg )}_{4}{Bigg (}{frac {p}{17}}{Bigg )}_{4}={egin{cases}+1{mbox{ if and only if }};;p=x^{2}+17y^{2}-1{mbox{ if and only if }}2p=x^{2}+17y^{2}end{cases}}}$

Браун и Лемер увеличили это число с 17 до 17, 73, 97 и 193.^[24]

Бремя

Есть несколько эквивалентных способов формулировки рационального биквадратичного закона взаимности Берде.

Все они предполагают, что п = а² + б² и q = c² + d² простые числа, где б и d четные, и это ${displaystyle ({ frac {p}{q}})=1.}$

Версия Госсета^[9]

${displaystyle {Bigg (}{frac {q}{p}}{Bigg )}_{4}equiv {Bigg (}{frac {a/b-c/d}{a/b+c/d}}{Bigg )}^{frac {q-1}{4}}{pmod {q}}.}$

Сдача я² ≡ −1 (mod п) и j² ≡ −1 (mod q), Закон Фрелиха имеет вид^[25]

${displaystyle {Bigg (}{frac {q}{p}}{Bigg )}_{4}{Bigg (}{frac {p}{q}}{Bigg )}_{4}={Bigg (}{frac {a+bj}{q}}{Bigg )}={Bigg (}{frac {c+di}{p}}{Bigg )}.}$

Бурде изложил свое мнение в форме:^[26][27][28]

${displaystyle {Bigg (}{frac {q}{p}}{Bigg )}_{4}{Bigg (}{frac {p}{q}}{Bigg )}_{4}={Bigg (}{frac {ac-bd}{q}}{Bigg )}.}$

Обратите внимание, что^[29]

${displaystyle {Bigg (}{frac {ac+bd}{p}}{Bigg )}={Bigg (}{frac {p}{q}}{Bigg )}{Bigg (}{frac {ac-bd}{p}}{Bigg )}.}$

Разное

Позволять п ≡ q ≡ 1 (mod 4) - простые числа, и предположим, что ${displaystyle ({ frac {p}{q}})=1}$. потом е² = ПФ² + q г² имеет нетривиальные целочисленные решения, и^[30]

${displaystyle {Bigg (}{frac {p}{q}}{Bigg )}_{4}{Bigg (}{frac {q}{p}}{Bigg )}_{4}=left(-1ight)^{frac {fg}{2}}left({frac {-1}{e}}ight).}$

Позволять п ≡ q ≡ 1 (mod 4) - простые числа, и предположим, что п = р² + q s². потом^[31]

${displaystyle {Bigg (}{frac {p}{q}}{Bigg )}_{4}{Bigg (}{frac {q}{p}}{Bigg )}_{4}=left({frac {2}{q}}ight)^{s}.}$

Позволять п = 1 + 4Икс² быть первоклассным, пусть а быть любым нечетным числом, которое делит Икс, и разреши ${displaystyle a^{*}=left(-1ight)^{frac {a-1}{2}}a.}$ потом^[32] а^* является биквадратичным вычетом (mod п).

Позволять п = а² + 4б² = c² + 2d² ≡ 1 (mod 8) быть простым. потом^[33] все делители c⁴ − п а² являются биквадратными остатками (mod п). То же верно для всех делителей d⁴ − p b².

Гауссовские целые числа

Фон

В своей второй монографии о биквадратичной взаимности Гаусс приводит некоторые примеры и выдвигает гипотезы, из которых следует перечисленные выше теоремы о биквадратичности малых простых чисел. Он делает несколько общих замечаний и признает, что здесь нет очевидного общего правила. Он продолжает говорить

Теоремы о биквадратичных вычетах проявляются с величайшей простотой и подлинной красотой только тогда, когда область арифметики распространяется на воображаемый числа, так что без ограничений числа вида а + би составляют объект исследования ... мы называем такие числа целые комплексные числа.^[34] [жирным шрифтом в оригинале]

Эти числа теперь называются звенеть из Гауссовские целые числа, обозначаемый Z[я]. Обратите внимание, что я является корнем четвертой степени из 1.

В сноске он добавляет

Теория кубических вычетов аналогичным образом должна основываться на рассмотрении чисел вида а + бх куда час мнимый корень уравнения час³ = 1 ... и аналогично теория вычетов высших степеней приводит к введению других мнимых величин.^[35]

Числа, составленные из кубического корня из единицы, теперь называются кольцом Целые числа Эйзенштейна. «Другие мнимые величины», необходимые для «теории вычетов высших степеней», - это кольца целых чисел из поля циклотомических чисел; целые числа Гаусса и Эйзенштейна являются простейшими примерами этого.

Факты и терминология

Гаусс развивает арифметическую теорию «целых комплексных чисел» и показывает, что она очень похожа на арифметику обычных целых чисел.^[36] Именно здесь в математику были введены термины «единица», «ассоциированный», «норма» и «первичный».

В единицы - числа, делящие 1.^[37] Их 1, я, −1 и -я. Они похожи на 1 и -1 в обычных целых числах в том, что они делят каждое число. Единицы - это полномочия я.

Для числа λ = а + би, это сопрягать является а − би и это соратники четыре числа^[37]

λ = +а + би

  яλ = -б + ай

−λ = -а − би

−яλ = +б − ай

Если λ = а + би, то норма λ, записанное Nλ, - это число а² + б². Если λ и μ - два целых гауссовских числа, Nλμ = Nλ Nμ; другими словами, норма мультипликативна.^[37] Норма нуля равна нулю, норма любого другого числа - положительное целое число. ε является единицей тогда и только тогда, когда Nε = 1. Квадратный корень из нормы λ, неотрицательного действительного числа, которое может не быть гауссовым целым числом, является абсолютным значением лямбды.

Гаусс доказывает, что Z[я] это уникальная область факторизации и показывает, что простые числа делятся на три класса:^[38]

• 2 - частный случай: 2 = я³ (1 + я)². Это единственный прайм в Z делится на квадрат простого числа в Z[я]. В алгебраической теории чисел говорят, что 2 разветвляется в Z[я].
• Положительные простые числа в Z ≡ 3 (mod 4) также простые числа в Z[я]. В алгебраической теории чисел говорят, что эти простые числа остаются инертными в Z[я].
• Положительные простые числа в Z ≡ 1 (mod 4) - произведение двух сопряженных простых чисел в Z[я]. В алгебраической теории чисел говорят, что эти простые числа распадаются на Z[я].

Таким образом, инертными простыми числами являются 3, 7, 11, 19, ..., а факторизация разделенных простых чисел равна

 5 = (2 + я) × (2 − я),

13 = (2 + 3я) × (2 − 3я),

17 = (4 + я) × (4 − я),

29 = (2 + 5я) × (2 − 5я), ...

Ассоциированные и сопряженные простые числа также являются простыми числами.

Отметим, что норма инертного простого числа q это Nq = q² ≡ 1 (мод 4); таким образом, норма всех простых чисел, кроме 1 + я и его ассоциативно ≡ 1 (mod 4).

Гаусс набирает номер Z[я] странный если его норма - нечетное целое число.^[39] Таким образом, все простые числа, кроме 1 + я и его товарищи странные. Произведение двух нечетных чисел является нечетным, а сопряжение и ассоциаты нечетного числа нечетными.

Чтобы сформулировать теорему об уникальной факторизации, необходимо иметь способ различать один из ассоциатов числа. Гаусс определяет^[40] нечетное число быть начальный если это ≡ 1 (mod (1 + я)³). Несложно показать, что каждое нечетное число имеет ровно одного первичного партнера. Нечетное число λ = а + би первично, если а + б ≡ а − б ≡ 1 (мод 4); т.е. а ≡ 1 и б ≡ 0, или а ≡ 3 и б ≡ 2 (мод.4).^[41] Произведение двух первичных чисел первично, и сопряжение первичного числа также первично.

Теорема единственной факторизации^[42] за Z[я]: если λ ≠ 0, то

${displaystyle lambda =i^{mu }(1+i)^{u }pi _{1}^{alpha _{1}}pi _{2}^{alpha _{2}}pi _{3}^{alpha _{3}}dots }$

где 0 ≤ μ ≤ 3, ν ≥ 0, π_яs - простые числа, а α_яs ≥ 1, и это представление единственно с точностью до порядка множителей.

Представления о соответствие^[43] и наибольший общий делитель^[44] определены таким же образом в Z[я], как и для обычных целых чисел Z. Поскольку единицы делят все числа, сравнение (mod λ) также истинно по модулю любого ассоциированного числа λ, и любой ассоциированный элемент НОД также является НОД.

Четвертый остаток

Гаусс доказывает аналог Теорема Ферма: если α не делится на нечетное простое число π, то^[45]

${displaystyle alpha ^{Npi -1}equiv 1{pmod {pi }}}$

Поскольку Nπ ≡ 1 (mod 4), ${displaystyle alpha ^{frac {Npi -1}{4}}}$ имеет смысл, и ${displaystyle alpha ^{frac {Npi -1}{4}}equiv i^{k}{pmod {pi }}}$ для уникального юнита я^k.

Этот блок называется квартика или же биквадратный остаток α (mod π) и обозначается^[46][47]

${displaystyle left[{frac {alpha }{pi }}ight]=i^{k}equiv alpha ^{frac {Npi -1}{4}}{pmod {pi }}.}$

Он имеет формальные свойства, аналогичные свойствам Символ Лежандра.^[48]

Соответствие ${displaystyle x^{4}equiv alpha {pmod {pi }}}$ разрешима в Z[я] если и только если${displaystyle left[{frac {alpha }{pi }}ight]=1.}$^[49]

${displaystyle {Bigg [}{frac {alpha eta }{pi }}{Bigg ]}={Bigg [}{frac {alpha }{pi }}{Bigg ]}{Bigg [}{frac {eta }{pi }}{Bigg ]}}$

${displaystyle {overline {{Bigg [}{frac {alpha }{pi }}{Bigg ]}}}={Bigg [}{frac {overline {alpha }}{overline {pi }}}{Bigg ]}}$ где черта обозначает комплексное сопряжение.

если π и θ ассоциаты,${displaystyle {Bigg [}{frac {alpha }{pi }}{Bigg ]}={Bigg [}{frac {alpha }{ heta }}{Bigg ]}}$

если α ≡ β (mod π),${displaystyle {Bigg [}{frac {alpha }{pi }}{Bigg ]}={Bigg [}{frac {eta }{pi }}{Bigg ]}}$

Биквадратный символ может быть расширен до нечетных составных чисел в «знаменателе» таким же образом, как символ Лежандра обобщается в Символ Якоби. Как и в этом случае, если «знаменатель» составной, символ может равняться единице без разрешимости сравнения:

${displaystyle left[{frac {alpha }{lambda }}ight]=left[{frac {alpha }{pi _{1}}}ight]^{alpha _{1}}left[{frac {alpha }{pi _{2}}}ight]^{alpha _{2}}dots }$ куда${displaystyle lambda =pi _{1}^{alpha _{1}}pi _{2}^{alpha _{2}}pi _{3}^{alpha _{3}}dots }$

Если а и б обычные целые числа, а ≠ 0, |б| > 1, НОД (а, б) = 1, то^[50]    ${displaystyle left[{frac {a}{b}}ight]=1.}$

Утверждения теоремы

Гаусс сформулировал закон биквадратичной взаимности в такой форме:^[2][51]

Пусть π и θ - различные простые числа числа Z[я]. потом

если либо π, либо θ, либо оба равны ≡ 1 (mod 4), то ${displaystyle {Bigg [}{frac {pi }{ heta }}{Bigg ]}=left[{frac { heta }{pi }}ight],}$ но

если и π, и θ равны ≡ 3 + 2я (mod 4), затем ${displaystyle {Bigg [}{frac {pi }{ heta }}{Bigg ]}=-left[{frac { heta }{pi }}ight].}$

Так же, как квадратичный закон взаимности для символа Лежандра справедлив и для символа Якоби, требование, чтобы числа были простыми, не требуется; достаточно, чтобы они были нечетными относительно простыми единицами.^[52] Пожалуй, самое известное утверждение:

Пусть π и θ - первичные относительно простые неединицы. потом^[53]

${displaystyle {Bigg [}{frac {pi }{ heta }}{Bigg ]}left[{frac { heta }{pi }}ight]^{-1}=(-1)^{{frac {Npi -1}{4}}{frac {N heta -1}{4}}}.}$

Есть дополнительные теоремы^[54][55] для единиц и получетного простого числа 1 + я.

если π = а + би первичное простое число, то

${displaystyle {Bigg [}{frac {i}{pi }}{Bigg ]}=i^{-{frac {a-1}{2}}},;;;{Bigg [}{frac {1+i}{pi }}{Bigg ]}=i^{frac {a-b-1-b^{2}}{4}},}$

и поэтому

${displaystyle {Bigg [}{frac {-1}{pi }}{Bigg ]}=(-1)^{frac {a-1}{2}},;;;{Bigg [}{frac {2}{pi }}{Bigg ]}=i^{-{frac {b}{2}}}.}$

Также, если π = а + би первичное простое число, и б ≠ 0 тогда^[56]

${displaystyle {Bigg [}{frac {overline {pi }}{pi }}{Bigg ]}={Bigg [}{frac {-2}{pi }}{Bigg ]}(-1)^{frac {a^{2}-1}{8}}}$ (если б = 0 символ 0).

Якоби определил π = а + би быть основным, если а ≡ 1 (мод.4). При такой нормализации закон принимает вид^[57]

Пусть α = а + би и β = c + ди куда а ≡ c ≡ 1 (мод 4) и б и d даже являются относительно простыми единицами. потом

${displaystyle left[{frac {alpha }{eta }}ight]left[{frac {eta }{alpha }}ight]^{-1}=(-1)^{frac {bd}{4}}}$

Следующая версия была найдена в неопубликованных рукописях Гаусса.^[58]

Пусть α = а + 2би и β = c + 2ди куда а и c являются нечетными относительно простыми единицами. потом

${displaystyle left[{frac {alpha }{eta }}ight]left[{frac {eta }{alpha }}ight]^{-1}=(-1)^{bd+{frac {a-1}{2}}d+{frac {c-1}{2}}b},;;;;left[{frac {1+i}{alpha }}ight]=i^{{frac {b(a-3b)}{2}}-{frac {a^{2}-1}{8}}}}$

Закон можно сформулировать без использования понятия первичного:

Если λ нечетно, пусть ε (λ) - единственная единица, конгруэнтная λ (mod (1 + я)³); т.е. ε (λ) = я^k ≡ λ (mod 2 + 2я), где 0 ≤ k ≤ 3. Тогда^[59] для нечетных и взаимно простых α и β ни одно из них не является единицей,

${displaystyle left[{frac {alpha }{eta }}ight]left[{frac {eta }{alpha }}ight]^{-1}=(-1)^{{frac {Nalpha -1}{4}}{frac {Neta -1}{4}}}epsilon (alpha )^{frac {Neta -1}{4}}epsilon (eta )^{frac {Nalpha -1}{4}}}$

Для нечетного λ пусть ${displaystyle lambda ^{*}=(-1)^{frac {Nlambda -1}{4}}lambda .}$ Тогда, если λ и μ - взаимно простые неединицы, Эйзенштейн доказал, что^[60]

${displaystyle left[{frac {lambda }{mu }}ight]={Bigg [}{frac {mu ^{*}}{lambda }}{Bigg ]}.}$

Смотрите также

• Квадратичная взаимность
• Кубическая взаимность
• Octic взаимность
• Эйзенштейновская взаимность
• Артиновая взаимность

Примечания

• А.^ Здесь «рациональный» означает законы, сформулированные в терминах обычных целые числа а не в виде целых чисел некоторых поле алгебраических чисел.

Рекомендации

1. Эйлер, Tractatus, § 456
2. Гаусс, BQ, § 67
3. Леммермейер, стр. 200
4. Эйзенштейн, Лоис де Реципрокит
5. Эйзенштейн, Эйнфахер Бевейс ...
6. Эйзенштейн, Application de l'algebre ...
7. Эйзенштейн, Beitrage zur Theorie der elliptischen ...
8. Леммермейер, стр. 199–202.
9. Леммермейер, стр. 172
10. Гаусс, BQ § 2
11. Гаусс, BQ § 3
12. Gauss, BQ §§ 4–7
13. Гаусс, BQ § 8
14. Гаусс, BQ § 10
15. Гаусс Д.А. Искусство. 182
16. Гаусс Д.А., ст. 182
17. Gauss BQ §§ 14–21
18. Дирихле, Демонстрация ...
19. Леммермейер, Предложение 5.4.
20. Леммермейер, Предложение 5.5.
21. Lemmermeyer, Ex. 5,6
22. Лемммермейер, стр 159, 190
23. Дирихле, Untersuchungen ...
24. Lemmermeyer, Ex. 5,19
25. Леммермейер, стр. 173
26. Леммермейер, стр. 167
27. Ирландия и Розен, стр.128–130
28. Бурде, К. (1969). "Ein rationales biquadratisches Reziprozitätsgesetz". J. Reine Angew. Математика. (на немецком). 235: 175–184. Zbl  0169.36902.
29. Lemmermeyer, Ex. 5,13
30. Lemmermeyer, Ex. 5.5
31. Lemmermeyer, Ex. 5.6, зачислено Брауну
32. Lemmermeyer, Ex. 6.5, зачислено Шарифи
33. Lemmermeyer, Ex. 6.11, зачислено Э. Лемеру
34. Gauss, BQ, § 30, перевод в Cox, p. 83
35. Gauss, BQ, § 30, перевод в Cox, p. 84
36. Гаусс, Б.К., §§ 30–55
37. Гаусс, BQ, § 31
38. Гаусс, Б.К., §§ 33–34
39. Gauss, BQ, § 35. Он определяет «половинные» числа как числа, делящиеся на 1 + я но не на 2, а на «четные» числа, как на делимые на 2.
40. Гаусс, BQ, § 36
41. Ирландия и Розен, гл. 9,7
42. Гаусс, BQ, § 37
43. Gauss, BQ, §§ 38–45
44. Гаусс, Б.К., §§ 46–47
45. Гаусс, BQ, § 51
46. Гаусс определил символ как показатель степени k а не единица я^k; кроме того, у него не было символа для персонажа.
47. Не существует стандартной записи для символов высших остатков в разных доменах (см. Lemmermeyer, стр. Xiv); эта статья следует за Lemmermeyer, chs. 5–6
48. Ирландия и Розен, Предложение 9.8.3
49. Гаусс, BQ, § 61
50. Ирландия и Розен, Предложение 9.8.3, Леммермейер, Предложение 6.8
51. доказательства находятся в Lemmermeyer, гл. 6 и 8, Ирландия и Розен, гл. 9,7–9,10
52. Lemmermeyer, Th. 69.
53. Леммермейер, гл. 6, Ирландия и Розен гл. 9,7–9,10
54. Lemmermeyer, Th. 6,9; Ирландия и Розен, отл. 9,32–9,37
55. Гаусс доказывает закон для 1 + я в BQ, §§ 68–76
56. Ирландия и Розен, отл. 9.30; Lemmermeyer, Ex. 6.6, где указан Якоби
57. Lemmermeyer, Th. 6.9
58. Lemmermeyer, Ex. 6,17
59. Lemmermeyer, Ex. 6.18 и стр. 275
60. Lemmermeyer, Ch. 8.4, Пр. 8,19

Литература

Ссылки на оригинальные статьи Эйлера, Дирихле и Эйзенштейна были скопированы из библиографий Леммермейера и Кокса и не использовались при подготовке этой статьи.

Эйлер

• Эйлер, Леонард (1849), Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt, Комментарий. Арифмет. 2

На самом деле это было написано в 1748–1750 годах, но было опубликовано только посмертно; Это в томе V, стр. 182–283 из

• Эйлер, Леонард (1911–1944), Опера Омния, Серия прима, Тт. I – V, Лейпциг и Берлин: Тойбнер

Гаусс

Две опубликованные Гауссом монографии по биквадратичной взаимности имеют последовательно пронумерованные разделы: первая содержит §§ 1–23, а вторая §§ 24–76. Ссылки на них имеют вид «Gauss, BQ, § п". Сноски, относящиеся к Disquisitiones Arithmeticae имеют вид «Гаусс Д.А., ст. п".

• Гаусс, Карл Фридрих (1828), Theoria резидуум biquadraticorum, комментарий прима, Гёттинген: Комментарий. Soc. regiae sci, Göttingen 6

• Гаусс, Карл Фридрих (1832 г.), Theoria резидуум biquadraticorum, комментарий secunda, Гёттинген: Комментарий. Soc. regiae sci, Göttingen 7

Это в Гауссе Werke, Том II, стр. 65–92 и 93–148

Немецкие переводы находятся на стр. 511–533 и 534–586 следующих статей, которые также имеют Disquisitiones Arithmeticae и другие работы Гаусса по теории чисел.

• Гаусс, Карл Фридрих; Мазер, Х. (перевод на немецкий) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae и другие статьи по теории чисел) (второе издание), Нью-Йорк: Челси, ISBN  0-8284-0191-8

Эйзенштейн

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд (1844 г.), Lois de Réciprocité (PDF), J. Reine Angew. Математика. 28, стр. 53–67 (журнал Crelle)

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд (1844 г.), Einfacher Beweis und Verallgemeinerung des Fundamentaltheorems für die biquadratischen Reste, J. Reine Angew. Математика. 28 стр. 223–245 (журнал Crelle)

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд (1845), Application de l'algèbre à l'arithmétique transcendante, J. Reine Angew. Математика. 29 с. 177–184 (журнал Crelle)

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд (1846), Beiträge zur Theorie der elliptischen Funktionen I: Ableitung des biquadratischen Fundalmentaltheorems aus der Theorie der Lemniskatenfunctionen, nebst Bemerkungen zu den Multiplications- und Transformationsformeln, J. Reine Angew. Математика. 30 с. 185–210 (журнал Crelle)

Все эти документы находятся в томе I его Werke.

Дирихле

• Дирихле, Пьер Гюстав ЛеЖён (1832), Démonstration d'une propriété analogue à la loi de Réciprocité qui existe entre deux nombres premiers quelconques, J. Reine Angew. Математика. 9 стр. 379–389 (журнал Crelle)

• Дирихле, Пьер Гюстав ЛеЖён (1833), Untersuchungen über die Theorie der quadratischen Formen, Abh. Кёнигль. Прейс. Акад. Wiss. стр. 101–121

оба они находятся в томе I его Werke.

Современные авторы

• Кокс, Дэвид А. (1989), Простые числа вида x² + n y², Нью-Йорк: Wiley, ISBN  0-471-50654-0

• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание), Нью-Йорк: Springer, ISBN  0-387-97329-X

• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна, Берлин: Springer, Дои:10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN  3-540-66957-4

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Биквадратичная теорема взаимности». MathWorld.

Эти две статьи Франца Леммермейера содержат доказательства закона Бурде и связанные с ним результаты:

• Рациональная квартирная взаимность
• Рациональная четвертая взаимность II