Эйзенштейновская взаимность - Eisenstein reciprocity

В алгебраическая теория чисел Закон взаимности Эйзенштейна это закон взаимности что расширяет закон квадратичной взаимности и кубический закон взаимности остаткам высших степеней. Это один из самых первых и простых законов взаимности, который является следствием нескольких более поздних и более сильных законов взаимности, таких как Закон взаимности Артина. Он был представлен Эйзенштейн  (1850 ), хотя Якоби ранее объявил (без доказательства) аналогичный результат для частных случаев 5-й, 8-й и 12-й степеней в 1839 году.^[1]

Предпосылки и обозначения

Позволять${\displaystyle m>1}$ быть целым числом, и пусть ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}$ быть кольцо целых чисел из м-й круговое поле   ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{m}),}$ куда${\displaystyle \zeta _{m}=e^{2\pi i{\frac {1}{m}}}}$ это примитивный м-й корень из единства.

Цифры ${\displaystyle \zeta _{m},\zeta _{m}^{2},\dots \zeta _{m}^{m}=1}$ находятся единицы в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}.}$ (Есть другие единицы также.)

Первичные числа

Число ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{m}}$ называется начальный^[2][3] если это не единица измерения, является относительно простой к ${\displaystyle m}$, и конгруэнтно рациональному (т.е. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) целое число ${\displaystyle {\pmod {(1-\zeta _{m})^{2}}}.}$

Следующая лемма^[4][5] показывает, что первичные числа в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}$ аналогичны натуральным числам в ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

Предположим, что ${\displaystyle \alpha ,\beta \in {\mathcal {O}}_{m}}$ и что оба ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ относительно просты с ${\displaystyle m.}$ потом

• Есть целое число ${\displaystyle c}$ изготовление ${\displaystyle \zeta _{m}^{c}\alpha }$ начальный. Это целое число уникально ${\displaystyle {\pmod {m}}.}$
• если ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ тогда первичны ${\displaystyle \alpha \pm \beta }$ является первичным при условии, что ${\displaystyle \alpha \pm \beta }$ взаимно прост с ${\displaystyle m}$.
• если ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ тогда первичны ${\displaystyle \alpha \beta }$ является первичным.
• ${\displaystyle \alpha ^{m}}$ является первичным.

Значение${\displaystyle 1-\zeta _{m}}$ которое появляется в определении, легче всего увидеть, когда${\displaystyle m=l}$ это простое число. В таком случае${\displaystyle l=(1-\zeta _{l})(1-\zeta _{l}^{2})\dots (1-\zeta _{l}^{l-1}).}$ Кроме того, первичный идеал${\displaystyle (l)}$ из${\displaystyle \mathbb {Z} }$ полностью разветвлен в${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{l})}$

${\displaystyle (l)=(1-\zeta _{l})^{l-1},}$

и идеал${\displaystyle (1-\zeta _{l})}$ простое число степени 1.^[6][7]

мсимвол остатка степени

Основная статья: Символ остатка мощности

За ${\displaystyle \alpha ,\beta \in {\mathcal {O}}_{m},}$ в мсимвол остатка степени для ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}$ либо ноль, либо мкорень -й степени из единства:

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}={\begin{cases}\zeta {\mbox{ where }}\zeta ^{m}=1&{\mbox{ if }}\alpha {\mbox{ and }}\beta {\mbox{ are relatively prime}}\\0&{\mbox{ otherwise}}.\\\end{cases}}}$

Это м-й степени вариант классической (квадратичной, м = 2) Символ Якоби (при условии ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ относительно простые):

• Если ${\displaystyle \eta \in {\mathcal {O}}_{m}}$ и ${\displaystyle \alpha \equiv \eta ^{m}{\pmod {\beta }}}$ тогда ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}=1.}$
• Если ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}\neq 1}$ тогда ${\displaystyle \alpha }$ не является м-я степень ${\displaystyle {\pmod {\beta }}.}$
• Если ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}=1}$ тогда ${\displaystyle \alpha }$ может или не может быть м-я степень ${\displaystyle {\pmod {\beta }}.}$

Формулировка теоремы

Позволять ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ быть нечетным простым числом и ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ целое число относительно простой к${\displaystyle m.}$ потом

Первая добавка

${\displaystyle \left({\frac {\zeta _{m}}{a}}\right)_{m}=\zeta _{m}^{\frac {a^{m-1}-1}{m}}.}$  ^[8]

Вторая добавка

${\displaystyle \left({\frac {1-\zeta _{m}}{a}}\right)_{m}=\left({\frac {\zeta _{m}}{a}}\right)_{m}^{\frac {m-1}{2}}.}$  ^[8]

Эйзенштейновская взаимность

Позволять${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{m}}$ быть первичным (и, следовательно, относительно простым с ${\displaystyle m}$), и предположим, что${\displaystyle \alpha }$ также относительно проста с${\displaystyle a}$. потом^[8][9]

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{a}}\right)_{m}=\left({\frac {a}{\alpha }}\right)_{m}.}$

Доказательство

Теорема является следствием Отношение Штикельбергера.^[10][11]

Вейль (1975) дает историческое обсуждение некоторых ранних законов взаимности, включая доказательство закона Эйзенштейна с использованием сумм Гаусса и Якоби, которое основано на первоначальном доказательстве Эйзенштейна.

Обобщение

Смотрите также: Артиновая взаимность

В 1922 г. Такаги доказал, что если ${\displaystyle K\supset \mathbb {Q} (\zeta _{l})}$ произвольный поле алгебраических чисел содержащий ${\displaystyle l}$-корни из единицы для простого числа ${\displaystyle l}$, то закон Эйзенштейна для ${\displaystyle l}$-я степень держится в ${\displaystyle K.}$^[12]

Приложения

Первый случай последней теоремы Ферма

Предположить, что ${\displaystyle p}$ нечетное простое число, что ${\displaystyle x^{p}+y^{p}+z^{p}=0\;\;}$ для попарно взаимно простых целых чисел (т.е. в${\displaystyle \mathbb {Z} }$ )  ${\displaystyle x,y,z}$и это ${\displaystyle p\nmid xyz.\;\;}$

Это первый случай последней теоремы Ферма. (Второй случай - когда ${\displaystyle p\mid xyz.\;}$) Эйзенштейновская взаимность может быть использована для доказательства следующих теорем

(Виферих 1909)^[13][14] При сделанных выше предположениях${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.\;\;}$

Единственные простые числа меньше 6,7 × 10¹⁵ Этому удовлетворяют 1093 и 3511. См. Простые числа Вифериха подробности и текущие записи.

(Мириманов 1911)^[15] При сделанных выше предположениях${\displaystyle 3^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.}$

Аналогичные результаты верны для всех простых чисел ≤ 113, но доказательство не использует закон Эйзенштейна. Видеть Простое число Вифериха # Связь с последней теоремой Ферма.

(Фуртвенглер, 1912 г.)^[16][17] При сделанных предположениях для каждого простого числа${\displaystyle r\mid x,\;\;\;r^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.}$

(Фуртвенглер, 1912 г.)^[18] При сделанных предположениях для каждого простого числа${\displaystyle r\mid (x-y),\;\;\;r^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.}$

(Вандивер)^[19] При сделанных выше предположениях, если дополнительно${\displaystyle p>3,}$ тогда${\displaystyle x^{p}\equiv x,\;y^{p}\equiv y}$ и${\displaystyle z^{p}\equiv z{\pmod {p^{3}}}.}$

Модифицирует большинство простых чисел

Закон Эйзенштейна можно использовать для доказательства следующей теоремы (Трост, Анкени, Роджерс ).^[20] Предполагать ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ и это ${\displaystyle l\nmid a}$ куда ${\displaystyle l}$ - нечетное простое число. Если ${\displaystyle x^{l}\equiv a{\pmod {p}}}$ разрешима для всех, кроме конечного числа простых чисел ${\displaystyle p}$ тогда ${\displaystyle a=b^{l}.}$

Смотрите также

• Четвертая взаимность
• Octic взаимность
• Критерий Вифериха
• Конгруэнтность Мириманова

Примечания

1. Леммермейер, стр. 392.
2. Ирландия и Розен, гл. 14,2
3. Леммермейер, гл. 11.2, использует термин полуосновной.
4. Ирландия и Розен, лемма в гл. 14.2 (только первое утверждение)
5. Леммерейер, лемма 11.6.
6. Ирландия и Розен, опора 13.2.7
7. Леммермейер, проп. 3.1
8. Lemmermeyer, thm. 11,9
9. Ирландия и Розен, гл. 14 тыс. 1
10. Ирландия и Розен, гл. 14,5
11. Леммермейер, гл. 11.2
12. Леммермейер, гл. 11 заметок
13. Леммермейер, экс. 11,33
14. Ирландия и Розен, тыс. 14,5
15. Леммермейер, экс. 11,37
16. Леммермейер, экс. 11,32
17. Ирландия и Розен, тыс. 14,6
18. Леммермейер, экс. 11,36
19. Ирландия и Розен, примечания к гл. 14
20. Ирландия и Розен, гл. 14.6, thm. 4. Это часть более общей теоремы. Предположим, ${\displaystyle x^{n}\equiv a{\pmod {p}}}$ для всех, кроме конечного числа простых чисел ${\displaystyle p.}$ Тогда i) если ${\displaystyle 8\nmid n}$ тогда ${\displaystyle a=b^{n}}$ но ii) если ${\displaystyle 8|n}$ тогда ${\displaystyle a=b^{n}}$ или же ${\displaystyle a=2^{\frac {n}{2}}b^{n}.}$

Рекомендации

• Эйзенштейн, Готтхольд (1850), "Beweis der allgemeinsten Reciprocitätsgesetze zwischen reellen und komplexen Zahlen", Verhandlungen der Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften zu Berlin (на немецком языке): 189–198, перепечатано в Mathematische Werke, том 2, страницы 712–721
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание), Нью-Йорк: Springer Science + Business Media, ISBN  0-387-97329-X

• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна, Берлин: Springer Science + Business Media, ISBN  3-540-66957-4

• Вайль, Андре (1975), "La cyclotomie jadis et naguère", Séminaire Bourbaki, Vol. 1973/1974, 26ème année, Exp. № 452, Конспект лекций по математике, 431, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 318–338, МИСТЕР  0432517