Конгруэнтность Мириманова - Mirimanoffs congruence

В теория чисел, филиал математика, а Конгруэнтность Мириманова является одним из набора выражений в модульная арифметика что, если они придерживаются, влечет за собой истинность Последняя теорема Ферма. Поскольку теорема доказана, теперь они имеют в основном историческое значение, хотя многочлены Мириманова интересны сами по себе. Теорема связана с Дмитрий Мириманов.

Определение

В п-й многочлен Мириманова для простого числа п является

{ Displaystyle phi _ {п} (т) = 1 ^ {п-1} т + 2 ^ {п-1} т ^ {2} + ... + (п-1) ^ {п-1} т ^ {р-1}.}

В терминах этих многочленов, если т является одним из шести значений {-Икс/Y, -Y/Икс, -Икс/Z, -Z/Икс, -Y/Z, -Z/Y} куда Икс^п+Y^п+Z^п= 0 является решением Великой теоремы Ферма, то

φ_п-1(т) ≡ 0 (мод. п)
φ_п-2(т) φ₂(т) ≡ 0 (мод. п)
φ_п-3(т) φ₃(т) ≡ 0 (мод. п)

...

φ_(п+1)/2(т) φ_(п-1)/2(т) ≡ 0 (мод. п)

Другие сравнения

Мириманов также доказал следующее:

Если нечетное простое число п не делит один из числителей Числа Бернулли B_п-3, B_п-5, B_п-7 или же B_п-9, то первый случай Великой теоремы Ферма, где п не разделяет Икс, Y или же Z в уравнении Икс^п+Y^п+Z^п= 0, верно.
Если первый случай Великой теоремы Ферма неверен для простого числа п, затем 3^п-1 ≡ 1 (мод п²). Простое число с этим свойством иногда называют Мириманов прайм, по аналогии с Виферих прайм которое является таким простым, что 2^п-1 ≡ 1 (мод п²). Существование простых чисел, удовлетворяющих таким сравнениям, было признано задолго до того, как стало очевидным их значение для первого случая Великой теоремы Ферма; но хотя открытие первого простого числа Вифериха произошло после этих теоретических разработок и было вызвано ими, первый пример простого числа Мириманова настолько мал, что он был уже известен до того, как Мириманов сформулировал связь с FLT в 1910 году, что может объяснить нежелание некоторых писателей использовать это имя. Уже в своей статье 1895 года (стр. 298) Мириманов ссылается на довольно сложный тест для простых чисел, известных теперь под его именем, полученный из формулы, опубликованной Сильвестр в 1861 г., что не представляет большой вычислительной ценности, но имеет большой теоретический интерес. Этот тест был значительно упрощен Lerch (1905), p. 476, которые показали, что в целом для п > 3,

${ Displaystyle 3 ^ {p-1} Equiv left (- { frac {2} {3}} cdot left {1 + { frac {1} {2}} + { frac {1) } {3}} + { frac {1} {4}} + ldots + left lfloor p / 3 right rfloor ^ {- 1} right } right) p + 1 { pmod { p ^ {2}}}}$

так что простое число обладает свойством Мириманова, если оно делит выражение в фигурных скобках. Это условие было дополнительно уточнено в важной статье Эммы Лемер (1938), в которой она рассмотрела интригующий и до сих пор без ответа вопрос о том, возможно ли, чтобы число одновременно удовлетворяло сравнениям Вифериха и Мириманова. На сегодняшний день единственными известными простыми числами Мириманова являются 11 и 1006003 (последовательность A014127 в OEIS ). Открытие второго из них, по-видимому, принадлежит К.Э. Клосс (1965).

Конгруэнтность Мириманова - Mirimanoffs congruence

Определение

Другие сравнения

Рекомендации