Символ остатка мощности - Power residue symbol

В алгебраическая теория чисел то псимвол остатка степени (для целого числа п > 2) является обобщением (квадратичной) Символ Лежандра к п-ые степени. Эти символы используются в заявлении и доказательстве кубический, квартика, Эйзенштейн, и связанные выше^[1] законы взаимности.^[2]

Предпосылки и обозначения

Позволять k быть поле алгебраических чисел с кольцо целых чисел ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$ который содержит примитивный п-й корень из единства ${\displaystyle \zeta _{n}.}$

Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$ быть главный идеал и предположим, что п и ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ находятся совмещать (т.е. ${\displaystyle n\not \in {\mathfrak {p}}}$.)

В норма из ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ определяется как мощность кольца классов вычетов (заметим, что поскольку ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ простое кольцо классов вычетов конечное поле ):

${\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}:=|{\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}}|.}$

Аналог теоремы Ферма верен в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}.}$ Если ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{k}-{\mathfrak {p}},}$ тогда

${\displaystyle \alpha ^{\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}\equiv 1{\bmod {\mathfrak {p}}}.}$

И наконец, предположим ${\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}\equiv 1{\bmod {n}}.}$ Эти факты означают, что

${\displaystyle \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}\equiv \zeta _{n}^{s}{\bmod {\mathfrak {p}}}}$

хорошо определен и конгруэнтен уникальному ${\displaystyle n}$-й корень из единства ${\displaystyle \zeta _{n}^{s}.}$

Определение

Этот корень единства называется псимвол остатка степени для ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k},}$ и обозначается

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=\zeta _{n}^{s}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}{\bmod {\mathfrak {p}}}.}$

Характеристики

В п-й символ степени обладает свойствами, полностью аналогичными свойствам классического (квадратичного) Символ Лежандра (${\displaystyle \zeta }$ фиксированный примитив ${\displaystyle n}$-й корень из единицы):

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}={\begin{cases}0&\alpha \in {\mathfrak {p}}\\1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and }}\exists \eta \in {\mathcal {O}}_{k}:\alpha \equiv \eta ^{n}{\bmod {\mathfrak {p}}}\\\zeta &\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and there is no such }}\eta \end{cases}}}$

Во всех случаях (нулевых и ненулевых)

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}{\bmod {\mathfrak {p}}}.}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}\left({\frac {\beta }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=\left({\frac {\alpha \beta }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}}$

${\displaystyle \alpha \equiv \beta {\bmod {\mathfrak {p}}}\quad \Rightarrow \quad \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=\left({\frac {\beta }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}}$

Связь с символом Гильберта

В п-й символ степенного остатка связан с Символ Гильберта ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )_{\mathfrak {p}}}$ для премьер ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ к

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=(\pi ,\alpha )_{\mathfrak {p}}}$

в случае ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ взаимно простой с п, куда ${\displaystyle \pi }$ есть ли униформизирующий элемент для местное поле ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$.^[3]

Обобщения

В ${\displaystyle n}$-й символ степени может быть расширен, чтобы принять непростые идеалы или ненулевые элементы в качестве «знаменателя», так же, как Символ Якоби расширяет символ Лежандра.

Любой идеал ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$ является продуктом первичных идеалов, и только одним способом:

${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{g}.}$

В ${\displaystyle n}$-й символ степени расширяется мультипликативно:

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=\left({\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right)_{n}\cdots \left({\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{g}}}\right)_{n}.}$

За ${\displaystyle 0\neq \beta \in {\mathcal {O}}_{k}}$ затем мы определяем

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{n}:=\left({\frac {\alpha }{(\beta )}}\right)_{n},}$

куда ${\displaystyle (\beta )}$ главный идеал, порожденный ${\displaystyle \beta .}$

Подобно квадратичному символу Якоби, этот символ мультипликативен по верхнему и нижнему параметрам.

• Если ${\displaystyle \alpha \equiv \beta {\bmod {\mathfrak {a}}}}$ тогда ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=\left({\tfrac {\beta }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}.}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}\left({\tfrac {\beta }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=\left({\tfrac {\alpha \beta }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}.}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}\left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {b}}}\right)_{n}=\left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {ab}}}\right)_{n}.}$

Поскольку символ всегда ${\displaystyle n}$-корень -й степени из единицы, поскольку он мультипликативен, он равен 1, если один параметр является ${\displaystyle n}$-я степень; обратное неверно.

• Если ${\displaystyle \alpha \equiv \eta ^{n}{\bmod {\mathfrak {a}}}}$ тогда ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=1.}$
• Если ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}\neq 1}$ тогда ${\displaystyle \alpha }$ не является ${\displaystyle n}$-я степень по модулю ${\displaystyle {\mathfrak {a}}.}$
• Если ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=1}$ тогда ${\displaystyle \alpha }$ может или не может быть ${\displaystyle n}$-я степень по модулю ${\displaystyle {\mathfrak {a}}.}$

Закон взаимности власти

В закон взаимности власти, аналог закон квадратичной взаимности, можно сформулировать в терминах Символы Гильберта в качестве^[4]

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{n}\left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)_{n}^{-1}=\prod _{{\mathfrak {p}}|n\infty }(\alpha ,\beta )_{\mathfrak {p}},}$

в любое время ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ взаимно просты.

Смотрите также

• Символ Артина
• Лемма Гаусса

Примечания

1. Квадратичная взаимность занимается квадратами; выше относится к кубам, четвертой и высшей степени.
2. Все факты в этой статье приведены в Lemmermeyer Ch. 4.1 и Ирландия и Розен гл. 14,2
3. Нойкирх (1999) стр. 336
4. Нойкирх (1999) стр. 415

Рекомендации

• Гра, Жорж (2003), Теория поля классов. От теории к практике, Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag, стр. 204–207, ISBN  3-540-44133-6, Zbl  1019.11032
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание), Нью-Йорк: Springer Science + Business Media, ISBN  0-387-97329-X
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна, Берлин: Springer Science + Business Media, Дои:10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN  3-540-66957-4, МИСТЕР  1761696, Zbl  0949.11002
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322, Перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-65399-6, Zbl  0956.11021