Атомарный домен - Atomic domain

В математика, более конкретно теория колец, атомарный домен или же область факторизации является область целостности в котором каждый ненулевой неединичный может быть записан по крайней мере одним способом как конечное произведение неприводимые элементы. Атомарные домены отличаются от уникальные домены факторизации в том, что это разложение элемента на неприводимые не обязательно должно быть уникальным; иначе говоря, неприводимый элемент не обязательно главный элемент.

Важные примеры атомарных доменов включают в себя класс всех уникальных доменов факторизации и всех Нётерские домены. В более общем смысле, любая область целостности, удовлетворяющая условие возрастающей цепи на главных идеалах (то есть ACCP), является атомарным доменом. Хотя в статье Кона утверждается обратное,^[1] известно, что это ложь.^[2]

Термин «атомный» появился благодаря П. М. Кон, который позвонил неприводимый элемент области целостности «атом».

Мотивация

В этом разделе кольцо можно рассматривать как просто абстрактный набор, в котором можно выполнять операции сложения и умножения; аналогично целым числам.

Кольцо целых чисел (то есть набор целых чисел с естественными операциями сложения и умножения) удовлетворяет многим важным свойствам. Одним из таких свойств является основная теорема арифметики. Таким образом, при рассмотрении абстрактных колец возникает естественный вопрос, при каких условиях выполняется такая теорема. Поскольку уникальная область факторизации является в точности кольцом, в котором справедлив аналог основной теоремы арифметики, на этот вопрос легко ответить. Однако можно заметить, что есть два аспекта основной теоремы арифметики; то есть любое целое число является конечным произведением простые числа, а также то, что это произведение уникально с точностью до перегруппировки (и умножения на единицы ). Поэтому также естественно задаться вопросом, при каких условиях отдельные элементы кольца могут быть «разложены», не требуя единственности. Это решает концепция атомарного домена.

Определение

Позволять р быть область целостности. Если каждый ненулевой неединичный Икс из р можно записать как продукт неприводимые элементы, р называется атомарным доменом. (Произведение обязательно конечно, так как бесконечные продукты не определены в теория колец. Такой продукт может включать один и тот же несократимый элемент более одного раза в качестве фактора.) Любое такое выражение называется факторизацией Икс.

Особые случаи

В атомарной области возможно, что разные факторизации одного и того же элемента Икс иметь разную длину. Возможно даже, что среди факторизаций Икс количество неприводимых факторов не ограничено. Если, наоборот, количество множителей ограничено для любой ненулевой неединицы Икс, тогда р это ограниченная область факторизации (BFD); формально это означает, что для каждого такого Икс существует целое число N такой, что Икс = Икс₁ Икс₂ ... Икс_п ни с одним из Икс_я обратимый подразумевает ${\displaystyle n<N}$.

Если такая оценка существует, то цепочки собственных делителей из Икс к 1 может превышать эту границу по длине (поскольку частное на каждом шаге может быть разложено на множители, производя факторизацию Икс с хотя бы одним неприводимым множителем для каждого шага цепочки), поэтому не может быть бесконечной строго возрастающей цепочки главных идеалов р. Это условие, называемое условием возрастающей цепочки главных идеалов или ACCP, строго слабее, чем условие BFD, и строго сильнее, чем условие атомарности (другими словами, даже если существуют бесконечные цепочки собственных делителей, все равно может быть, что каждый Икс обладает конечной факторизацией^[3]).

Два независимых условия, которые строго сильнее, чем условие BFD: полуфакториальная область условие (HFD: любые две факторизации любого заданного Икс одинаковой длины), а конечная область факторизации условие (FFD: любой Икс имеет лишь конечное число не-ассоциировать делители). Очевидно, что каждая уникальная область факторизации удовлетворяет этим двум условиям, но ни одно из них не подразумевает уникальной факторизации.

Рекомендации

1. ВЕЧЕРА. Кольца Кона, Безу и их подкольца; Proc. Camb. Phil.Soc. 64 (1968) 251–264
2. А. Граммы, атомные кольца и условие возрастающей цепи для главных идеалов. Proc. Cambridge Philos. Soc. 75 (1974), 321–329.
3. Д. Д. Андерсон, Д. Ф. Андерсон, М. Зафрулла, Факторизация в целостных областях; J. Чистая и прикладная алгебра 69 (1990) 1–19

• ВЕЧЕРА. Кон, Кольца Безу и их подкольца, 1968.