Правильный морфизм - Proper morphism

В алгебраическая геометрия, а правильный морфизм между схемы является аналогом правильная карта между сложные аналитические пространства.

Некоторые авторы называют правильным разнообразие через поле k а полное разнообразие. Например, каждый проективное разнообразие над полем k правильно над k. Схема Икс из конечный тип над сложные числа (например, разнообразие) собственно над C тогда и только тогда, когда пространство Икс(C) комплексных точек с классической (евклидовой) топологией компактный и Хаусдорф.

А закрытое погружение правильно. Морфизм - это конечный если и только если это правильно и квазиконечный.

Определение

А морфизм ж: Икс → Y схем называется универсально закрытый если для каждой схемы Z с морфизмом Z → Y, проекция из волокнистый продукт

${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$

это закрытая карта лежащих в основе топологические пространства. Морфизм схем называется правильный если это отделенный, из конечный тип, и универсально замкнутый ([EGA] II, 5.4.1 [1] ). Еще говорят, что Икс правильно над Y. В частности, разнообразие Икс над полем k считается правильным k если морфизм Икс → Спец (k) правильно.

Примеры

Для любого натурального числа п, проективное пространство п^п через коммутативное кольцо р правильно над р. Проективные морфизмы собственные, но не все собственные морфизмы проективны. Например, есть гладкий собственное комплексное многообразие размерности 3, не проективное над C.^[1] Аффинные разновидности положительной размерности над полем k никогда не бывает правильным k. В общем, правильный аффинный морфизм схем должно быть конечным.^[2] Например, нетрудно увидеть, что аффинная линия А¹ над полем k не подходит k, потому что морфизм А¹ → Спец (k) не является универсально закрытым. Действительно, обратный морфизм

${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}\times _{k}\mathbb {A} ^{1}\to \mathbb {A} ^{1}}$

(дано (Икс,у) ↦ у) не замкнуто, поскольку образ замкнутого подмножества ху = 1 дюйм А¹ × А¹ = А² является А¹ - 0, который не закрывается в А¹.

Свойства и характеристики собственных морфизмов

Далее пусть ж: Икс → Y быть морфизмом схем.

• Композиция двух собственных морфизмов правильная.
• Любой изменение базы правильного морфизма ж: Икс → Y правильно. То есть, если грамм: Z → Y - любой морфизм схем, то полученный морфизм Икс ×_Y Z → Z правильно.
• Правильность - это местная собственность на базе (в топологии Зарисского). То есть, если Y покрывается некоторыми открытыми подсхемами Y_я и ограничение ж все ж⁻¹(Y_я) правильно, то так ж.
• Более того, правильность локальна на основе в топология fpqc. Например, если Икс это схема над полем k и E является расширением поля k, тогда Икс правильно над k если и только если база изменится Икс_E правильно над E.^[3]
• Закрытые погружения правильные.
• В более общем смысле конечные морфизмы являются собственными. Это следствие подниматься теорема.
• К Делинь, морфизм схем конечен тогда и только тогда, когда он собственный и квазиконечный.^[4] Это было показано Гротендик если морфизм ж: Икс → Y является локально конечного представления, что следует из других предположений, если Y является нётерский.^[5]
• За Икс собственно над схемой S, и Y разделены S, образ любого морфизма Икс → Y над S является замкнутым подмножеством Y.^[6] Это аналогично топологической теореме о том, что образ непрерывного отображения компакта в хаусдорфово пространство является замкнутым подмножеством.
• В Факторизация Штейна Теорема утверждает, что любой собственный морфизм к локально нётеровой схеме может быть факторизован как Икс → Z → Y, куда Икс → Z собственно, сюръективно и имеет геометрически связные слои, и Z → Y конечно.^[7]
• Лемма Чоу говорит, что собственные морфизмы тесно связаны с проективные морфизмы. Одна из версий: если Икс правильно над квазикомпактный схема Y и Икс имеет только конечное число неприводимых компонент (что автоматически при Y нетеров), то существует проективный сюръективный морфизм грамм: W → Икс такой, что W проективен над Y. Более того, можно устроить, что грамм является изоморфизмом над плотным открытым подмножеством U из Икс, и это грамм⁻¹(U) плотно в W. Можно также организовать это W является целым, если Икс является цельным.^[8]
• Теорема нагаты о компактификации в обобщенном виде Делиня говорит, что разделенный морфизм конечного типа между квазикомпактным и квазиотделенный Факторы схем как открытое погружение с последующим собственным морфизмом.^[9]
• Собственные морфизмы между локально нётеровыми схемами сохраняют когерентные пучки в том смысле, что более высокие прямые изображения р^яж_∗(F) (в частности прямое изображение ж_∗(F)) из связный пучок F когерентны (EGA III, 3.2.1). (Аналогично, для правильного отображения комплексных аналитических пространств Грауэрт и Реммерт показал, что высшие прямые образы сохраняют когерентные аналитические пучки.) Как очень частный случай: кольцо регулярных функций на собственной схеме Икс над полем k имеет конечную размерность как k-векторное пространство. Напротив, кольцо регулярных функций на аффинной прямой над k кольцо многочленов k[Икс], который не имеет конечной размерности как k-векторное пространство.
• Есть и более сильное утверждение об этом :(EGA III, 3.2.4) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFEGA_III (помощь) позволять ${\displaystyle f\colon X\to S}$ - морфизм конечного типа, S местно нётерский и ${\displaystyle F}$ а ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модуль. Если поддержка F правильно над S, то для каждого ${\displaystyle i\geq 0}$ то более высокое прямое изображение ${\displaystyle R^{i}f_{*}F}$ логично.
• Для схемы Икс конечного типа над комплексными числами множество Икс(C) комплексных точек является сложное аналитическое пространство, используя классическую (евклидову) топологию. За Икс и Y разделены и конечного типа над C, морфизм ж: Икс → Y над C собственно тогда и только тогда, когда непрерывное отображение ж: Икс(C) → Y(C) является собственным в том смысле, что прообраз каждого компакта компактен.^[10]
• Если ж: Икс→Y и грамм: Y→Z такие, что gf правильно и грамм отделяется, то ж правильно. Это можно, например, легко доказать, используя следующий критерий.

Оценочный критерий правильности

Оценочный критерий правильности

Существует очень интуитивный критерий правильности, восходящий к Chevalley. Его обычно называют оценочный критерий правильности. Позволять ж: Икс → Y - морфизм конечного типа нётерские схемы. потом ж правильно тогда и только тогда, когда для всех дискретные оценочные кольца р с поле дроби K и для любого K-значная точка Икс ∈ Икс(K), который отображается в точку ж(Икс), который определен над р, есть уникальный лифт Икс к ${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$. (EGA II, 7.3.8). В более общем смысле, квазиразделенный морфизм ж: Икс → Y конечного типа (примечание: конечный тип включает квазикомпактные) * любых * схем Икс, Y правильно тогда и только тогда, когда для всех оценочные кольца р с поле дроби K и для любого K-значная точка Икс ∈ Икс(K), который отображается в точку ж(Икс), который определен над р, есть уникальный лифт Икс к ${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$. (Стеки проекта Теги 01KF и 01KY). Отмечая, что Spec K это общая точка из Spec R а кольца дискретной оценки - это в точности обычный местный одномерных колец, критерий можно перефразировать: заданная регулярная кривая на Y (соответствует морфизму s: Spec р → Y) и подняв общую точку этой кривой до Икс, ж является правильным тогда и только тогда, когда существует ровно один способ завершить кривую.

По аналогии, ж разделен тогда и только тогда, когда на каждой такой диаграмме есть не более одного лифта ${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$.

Например, с учетом оценочного критерия становится легко проверить, что проективное пространство п^п над полем (или даже над Z). Просто замечаем, что для дискретного оценочного кольца р с полем дробей K, каждый K-точка [Икс₀,...,Икс_п] проективного пространства происходит от рточки, масштабируя координаты так, чтобы все лежали в р и по крайней мере одна единица в р.

Геометрическая интерпретация с помощью дисков

Одним из мотивирующих примеров оценочного критерия правильности является интерпретация ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])}$ как бесконечно малый диск или комплексно-аналитически как диск ${\displaystyle \Delta =\{x\in \mathbb {C} :|x|<1\}}$. Это происходит из-за того, что каждая серия мощности

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}}$

сходится в некотором круге радиуса ${\displaystyle r}$ вокруг происхождения. Затем, используя изменение координат, это можно выразить в виде степенного ряда на единичном диске. Тогда, если мы инвертируем ${\displaystyle t}$, это кольцо ${\displaystyle \mathbb {C} [[t]][t^{-1}]=\mathbb {C} ((t))}$ которые являются степенными рядами, которые не могут исчезнуть в нуле в начале координат. Топологически это представлено как открытый диск ${\displaystyle \Delta ^{*}=\{x\in \mathbb {C} :0<|x|<1\}}$ с удаленным источником. Для морфизма схем над ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$, это задается коммутативной диаграммой

${\displaystyle {\begin{matrix}\Delta ^{*}&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\\Delta &\to &Y\end{matrix}}}$

Тогда оценочным критерием правильности будет заполнение пункта ${\displaystyle 0\in \Delta }$ в образе ${\displaystyle \Delta ^{*}}$.

Пример

Поучительно взглянуть на контрпример, чтобы понять, почему оценочный критерий правильности должен выполняться в пространствах, аналогичных замкнутым компактным многообразиям. Если мы возьмем ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}-\{x\}}$ и ${\displaystyle Y={\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$, то морфизм ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} ((t)))\to X}$ факторов через аффинную карту ${\displaystyle X}$, сводя диаграмму к

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}(\mathbb {C} ((t)))&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} )\end{matrix}}}$

куда ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])=\mathbb {A} ^{1}-\{0\}}$ диаграмма сосредоточена вокруг ${\displaystyle \{x\}}$ на ${\displaystyle X}$. Это дает коммутативную диаграмму коммутативных алгебр

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {C} ((t))&\leftarrow &\mathbb {C} [t,t^{-1}]\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbb {C} [[t]]&\leftarrow &\mathbb {C} \end{matrix}}}$

Затем, подняв диаграмму схем, ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])}$, будет означать, что есть морфизм ${\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [[t]]}$ отправка ${\displaystyle t\mapsto t}$ из коммутативной диаграммы алгебр. Этого, конечно, не может быть. Следовательно ${\displaystyle X}$ не подходит ${\displaystyle Y}$.

Геометрическая интерпретация с кривыми

Есть еще один аналогичный пример оценочного критерия правильности, который отражает некоторую интуицию относительно того, почему эта теорема должна выполняться. Рассмотрим кривую ${\displaystyle C}$ и дополнение точки ${\displaystyle C-\{p\}}$. Тогда оценочный критерий правильности читался бы в виде диаграммы

${\displaystyle {\begin{matrix}C-\{p\}&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\C&\rightarrow &Y\end{matrix}}}$

с подъемом ${\displaystyle C\to X}$. Геометрически это означает, что каждая кривая в схеме ${\displaystyle X}$ можно завершить до компактного изгиба. Эта часть интуиции согласуется с теоретико-схемной интерпретацией морфизма топологических пространств с компактными слоями, согласно которой последовательность в одном из слоев должна сходиться. Поскольку эта геометрическая ситуация представляет собой проблему локально, диаграмма заменяется рассмотрением локального кольца ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}}$, который является DVR, и его поле дробей ${\displaystyle {\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})}$. Тогда задача подъема дает коммутативную диаграмму

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})&\rightarrow &Y\end{matrix}}}$

где схема ${\displaystyle {\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))}$ представляет собой локальный диск вокруг ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ с закрытой точкой ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ удаленный.

Правильный морфизм формальных схем

Позволять ${\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}}$ быть морфизмом между локально нетеровы формальные схемы. Мы говорим ж является правильный или же ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ является правильный над ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ Если я) ж является адический морфизм (т.е. отображает идеал определения в идеал определения) и (ii) индуцированное отображение ${\displaystyle f_{0}\colon X_{0}\to S_{0}}$ правильно, где ${\displaystyle X_{0}=({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}/I),S_{0}=({\mathfrak {S}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {S}}/K),I=f^{*}(K){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$ и K идеал определения ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$.(EGA III, 3.4.1) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFEGA_III (помощь) Определение не зависит от выбора K.

Например, если грамм: Y → Z является собственным морфизмом локально нётеровых схем, Z₀ является замкнутым подмножеством Z, и Y₀ является замкнутым подмножеством Y такой, что грамм(Y₀) ⊂ Z₀, то морфизм ${\displaystyle {\widehat {g}}\colon Y_{/Y_{0}}\to Z_{/Z_{0}}}$ на формальных пополнениях - это собственный морфизм формальных схем.

Гротендик доказал теорему о когерентности в этой ситуации. А именно пусть ${\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}}$ - собственный морфизм локально нётеровых формальных схем. Если F является связным пучком на ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$, то более высокие прямые изображения ${\displaystyle R^{i}f_{*}F}$ последовательны.^[11]

Смотрите также

• Правильная теорема об изменении базы
• Факторизация Штейна

Рекомендации

1. Хартсхорн (1977), Приложение B, Пример 3.4.1.
2. Лю (2002), лемма 3.3.17.
3. Stacks Project, тег 02YJ.
4. Гротендик, EGA IV, часть 4, Corollaire 18.12.4; Stacks Project, тег 02LQ.
5. Гротендик, EGA IV, Часть 3, Теорема 8.11.1.
6. Stacks Project, тег 01W0.
7. Stacks Project, тег 03GX.
8. Гротендик, EGA II, Corollaire 5.6.2.
9. Конрад (2007), теорема 4.1.
10. SGA 1, XII Предложение 3.2. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFSGA_1 (помощь)
11. Гротендик, EGA III, Часть 1, Теорема 3.4.2.

• Конрад, Брайан (2007), "Заметки Делиня о компактификации Нагаты" (PDF), Журнал Математического общества Рамануджана, 22: 205–257, МИСТЕР  2356346
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude global élémentaire de quelques classes de morphismes". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 8: 5–222. Дои:10.1007 / bf02699291. МИСТЕР  0217084., раздел 5.3. (определение правильности), раздел 7.3. (оценочный критерий правильности)
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 11: 5–167. Дои:10.1007 / bf02684274. МИСТЕР  0217085.
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 28: 5–255. Дои:10.1007 / bf02684343. МИСТЕР  0217086., раздел 15.7. (обобщения оценочных критериев на необязательно нётеровы схемы)
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 32: 5–361. Дои:10.1007 / bf02732123. МИСТЕР  0238860.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157
• Лю, Цин (2002), Алгебраическая геометрия и арифметические кривые, Оксфорд: Oxford University Press, ISBN  9780191547805, МИСТЕР  1917232

внешняя ссылка

• В.И. Данилов (2001) [1994], «Правильный морфизм», Энциклопедия математики, EMS Press
• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project