Лемма Чоуса - Chows lemma

Лемма Чоу, названный в честь Вэй-Лян Чоу, является одним из основополагающих результатов в алгебраическая геометрия. Это примерно говорит, что правильный морфизм довольно близко к тому, чтобы быть проективный морфизм. Точнее, его версия гласит следующее:^[1]

Если

{ displaystyle X}

схема, правильная над нётерский основание

{ displaystyle S}

, то существует проективный

{ displaystyle S}

-схема

{ displaystyle X '}

и сюръективный

{ displaystyle S}

-морфизм

{ displaystyle f: X ' to X}

что индуцирует изоморфизм

{ displaystyle f ^ {- 1} (U) simeq U}

для некоторых плотных открытых

{ Displaystyle U substeq X.}

Доказательство

Доказательство здесь стандартное (ср. EGA II, 5.6.1).

Легко свести к случаю, когда ${ displaystyle X}$ неприводима следующим образом. ${ displaystyle X}$ является нётеровым, поскольку имеет конечный тип над нётеровой базой. Тогда она также топологически нётерова и состоит из конечного числа неприводимых компонент. ${ displaystyle X_ {i}}$ , каждый из которых свойственен ${ displaystyle S}$ (потому что это закрытые погружения в схему ${ displaystyle X}$ что правильно над ${ displaystyle S}$ ). Если внутри каждой из этих неприводимых компонент существует плотная открытая ${ displaystyle U_ {i} subset X_ {i}}$ , тогда мы можем взять

{ displaystyle U: = bigsqcup left (U_ {i} setminus bigcup nolimits _ {i neq j} X_ {j} right).}

Нетрудно увидеть, что каждая из непересекающихся частей плотна в своих соответствующих ${ displaystyle X_ {i}}$ , так что полный комплект ${ displaystyle U}$ плотно в ${ displaystyle X}$ . Кроме того, ясно, что аналогично можно найти морфизм ${ displaystyle g}$ которое удовлетворяет условию плотности.

Сократив задачу, мы теперь предполагаем ${ displaystyle X}$ неприводимо. Напомним, что он тоже должен быть нётеровым. Таким образом, мы можем найти конечное открытое аффинное покрытие

{ Displaystyle X = bigcup _ {я = 1} ^ {п} U_ {я},}

куда ${ displaystyle U_ {i}}$ квазипроективны над ${ displaystyle S.}$ Есть открытые погружения ${ displaystyle S, phi _ {i}: U_ {i} to P_ {i}}$ в некоторые проективные ${ displaystyle S}$ -схемы ${ displaystyle P_ {i}.}$ Набор ${ displaystyle U = cap U_ {i}.}$ потом ${ displaystyle U}$ непусто, поскольку ${ displaystyle X}$ неприводимо. Позволять

{ displaystyle phi: U to P = P_ {1} times _ {S} cdots times _ {S} P_ {n}}

быть предоставленным ${ displaystyle phi _ {я}}$ ограниченный ${ displaystyle U}$ над ${ displaystyle S}$ . Позволять

{ displaystyle psi: U to X times _ {S} P.}

быть предоставленным ${ Displaystyle U hookrightarrow X}$ и ${ displaystyle phi}$ над ${ displaystyle S}$ . ${ displaystyle psi}$ тогда погружение; таким образом, это учитывается как открытое погружение с последующим закрытым погружением. ${ displaystyle X ' to X times _ {S} P}$ (теоретико-схемный образ). Позволять ${ displaystyle f: X ' to X}$ быть погружением с последующей проекцией. Мы утверждаем ${ displaystyle f}$ побуждает ${ displaystyle f ^ {- 1} (U) simeq U}$ ; для этого достаточно показать ${ Displaystyle f ^ {- 1} (U) = psi (U)}$ . Но это значит, что ${ displaystyle psi (U)}$ закрыт в ${ displaystyle U times _ {S} P.}$ ${ displaystyle psi}$ факторизуется как

{ displaystyle U { overset { Gamma _ { phi}} { longrightarrow}} U times _ {S} P to X times _ {S} P.}

${ displaystyle P}$ разделен на ${ displaystyle S}$ и поэтому морфизм графов ${ displaystyle Gamma _ { phi}}$ закрытое погружение. Это доказывает нашу точку зрения.

Осталось показать ${ displaystyle X '}$ проективен над ${ displaystyle S}$ . Позволять ${ displaystyle g: X ' to P}$ - закрытое погружение с последующей проекцией. Показывая это ${ displaystyle g}$ это закрытое погружение показывает ${ displaystyle X '}$ проективен над ${ displaystyle S}$ . Это можно проверить на месте. Идентификация ${ displaystyle U_ {i}}$ с его изображением в ${ displaystyle P_ {i}}$ мы подавляем ${ displaystyle phi _ {я}}$ из наших обозначений.

Позволять ${ displaystyle V_ {i} = p_ {i} ^ {- 1} (U_ {i})}$ куда ${ displaystyle p_ {i}: P to P_ {i}}$ . Мы утверждаем ${ displaystyle g ^ {- 1} (V_ {i})}$ открытая крышка ${ displaystyle X '}$ . Это следует из ${ displaystyle f ^ {- 1} (U_ {i}) subset g ^ {- 1} (V_ {i})}$ ресурсы. Это, в свою очередь, следует из ${ displaystyle f = p_ {i} circ g}$ на ${ displaystyle U_ {i}}$ как функции на нижележащем топологическом пространстве. Таким образом, достаточно показать, что для каждого ${ displaystyle i}$ карта ${ displaystyle g: g ^ {- 1} (V_ {i}) to V_ {i}}$ , обозначаемый ${ displaystyle h}$ , является замкнутым погружением (поскольку свойство быть замкнутым погружением локально на основе).

Исправить ${ displaystyle i.}$ и разреши ${ displaystyle Z}$ быть графиком

{ displaystyle u: V_ {i} { overset {p_ {i}} { longrightarrow}} U_ {i} hookrightarrow X.}

Это закрытая подсхема ${ Displaystyle X раз _ {S} V_ {я}}$ поскольку ${ displaystyle X}$ разделен на ${ displaystyle S}$ . Позволять

{ displaystyle { begin {align} q_ {1}: X times _ {S} P to X q_ {2}: X times _ {S} P to P end {align}}}

быть прогнозами. Мы утверждаем, что ${ displaystyle h}$ факторы через ${ displaystyle Z}$ , что означало бы ${ displaystyle h}$ закрытое погружение. Но для ${ displaystyle w: U ' к V_ {i}}$ у нас есть:

{ displaystyle v = Gamma _ {u} circ w quad Longleftrightarrow quad q_ {1} circ v = u circ q_ {2} circ v quad Longleftrightarrow quad q_ {1} circ psi = u circ q_ {2} circ psi quad Longleftrightarrow quad q_ {1} circ psi = u circ phi.}

Последнее равенство выполнено и, следовательно, существует ${ displaystyle w}$ что удовлетворяет первому равенству. Это доказывает наше утверждение. ${ displaystyle square}$

Дополнительные заявления

В формулировке леммы Чоу, если ${ displaystyle X}$ редуцированный, неприводимый или целочисленный, можно считать, что то же самое верно для ${ displaystyle X '}$ . Если оба ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle X '}$ неприводимы, то ${ displaystyle f: X ' to X}$ это бирациональный морфизм. (ср. EGA II, 5.6).

Лемма Чоуса - Chows lemma

Доказательство

Дополнительные заявления

Рекомендации