Общая точка - Generic point

В алгебраическая геометрия, а общая точка п из алгебраическое многообразие Икс грубо говоря, точка, в которой все общие свойства верны, общее свойство является свойством, которое верно для почти каждый точка.

В классической алгебраической геометрии точка общего положения аффинный или же проективное алгебраическое многообразие измерения d - точка такая, что поле, порожденное ее координатами, имеет степень трансцендентности d над полем, порожденным коэффициентами уравнений многообразия.

В теория схем, то спектр из область целостности имеет единственную точку общего положения - минимальный простой идеал. Как закрытие этого пункта для Топология Зарисского - весь спектр, определение распространено на общая топология, где общая точка из топологическое пространство Икс точка, закрытие которой Икс.

Определение и мотивация

Общая точка топологического пространства Икс это точка п чей закрытие все из Икс, то есть точка, которая плотный в Икс.[1]

Терминология взята из случая Топология Зарисского на съемках подмножества из алгебраический набор: алгебраическое множество несводимый (то есть это не объединение двух собственных алгебраических подмножеств) тогда и только тогда, когда топологическое пространство подмногообразий имеет общую точку.

Примеры

История

В основополагающем подходе Андре Вайль, разработанные в его Основы алгебраической геометрии, общие точки играли важную роль, но обрабатывались по-другому. Для алгебраического многообразия V через поле K, общие точки из V были целым классом точек V принимая ценности в универсальный домен Ω, an алгебраически замкнутое поле содержащий K но также и бесконечный запас свежих индетерминатов. Этот подход сработал, без необходимости иметь дело непосредственно с топологией V (K-Топология Зариски, то есть), потому что все специализации могут обсуждаться на полевом уровне (как в теория оценки подход к алгебраической геометрии, популярный в 1930-е годы).

Это было ценой огромной коллекции одинаково общих точек. Оскар Зариски, коллега Вейля по Сан-Паулу только после Вторая Мировая Война, всегда настаивал на том, чтобы общие точки были уникальными. (Это можно выразить в терминах топологов: идея Вейля не дает Колмогоровское пространство а Зариский мыслит категориями Колмогоровский фактор.)

В результате быстрых фундаментальных изменений 1950-х годов подход Вейля устарел. В теория схем однако с 1957 года общие точки вернулись: на этот раз à la Zariski. Например для р а кольцо дискретной оценки, Спецификация(р) состоит из двух точек, общая точка (исходящая от главный идеал {0}) и закрытая точка или же особая точка исходящий из уникального максимальный идеал. Для морфизмов на Спецификация(р) слой над особой точкой - это специальное волокно, важная концепция, например, в редукция по модулю p, теория монодромии и другие теории о вырождении. В обычное волокно, в равной степени, слой выше общей точки. Геометрия вырождения в значительной степени связана с переходом от общих к специальным волокнам, или, другими словами, как влияет на значение специализация параметров. (Для кольца дискретного нормирования рассматриваемое топологическое пространство - это Пространство Серпинского топологов. Другой местные кольца имеют уникальные общие и особые точки, но более сложный спектр, так как они представляют общие измерения. Случай дискретной оценки очень похож на сложную единичный диск, для этих целей.)

Рекомендации

  1. ^ Дэвид Мамфорд, Красная книга сортов и схем, Springer 1999 г.
  • Викерс, Стивен (1989). Топология через логику. Кембриджские тракты в теоретической информатике. 5. п. 65. ISBN  0-521-36062-5.
  • Вейль, Андре (1946). Основы алгебраической геометрии. Публикации коллоквиума Американского математического общества. XXIX.