Вес (теория представлений) - Weight (representation theory)

в математический поле теория представлений, а масса из алгебра А над полем F является гомоморфизм алгебр из А к F, или, что то же самое, одномерное представление из А над F. Это алгебраический аналог мультипликативный характер из группа. Однако важность этой концепции проистекает из ее применения к представления из Алгебры Ли и, следовательно, также представления из алгебраический и Группы Ли. В этом контексте вес представительства является обобщением понятия собственное значение, а соответствующие собственное подпространство называется весовое пространство.

Мотивация и общая концепция

Учитывая набор S из матрицы, каждый из которых диагонализуемый, и любые два из которых ездить, всегда можно одновременно диагонализировать все элементы S.^{[примечание 1][заметка 2]} Равнозначно для любого набора S взаимных поездок полупростой линейные преобразования конечномерного векторное пространство V существует основа V состоящий из одновременный собственные векторы всех элементов S. Каждый из этих общих собственных векторов v ∈ V определяет линейный функционал на подалгебре U конца (V), порожденные множеством эндоморфизмов S; этот функционал определяется как карта, которая ассоциируется с каждым элементом U собственное значение на собственном векторе v. Эта карта также является мультипликативной и отправляет идентичность в 1; таким образом, это гомоморфизм алгебр из U к базовому полю. Это «обобщенное собственное значение» является прототипом понятия веса.

Это понятие тесно связано с идеей мультипликативный характер в теория групп, который является гомоморфизмом χ из группа грамм к мультипликативная группа из поле F. Таким образом χ: грамм → F^× удовлетворяет χ(е) = 1 (где е это элемент идентичности из грамм) и

${\displaystyle \chi (gh)=\chi (g)\chi (h)}$ для всех грамм, час в грамм.

Действительно, если грамм действует в векторном пространстве V над F, каждое одновременное собственное подпространство для каждого элемента грамм, если таковой существует, определяет мультипликативный характер на грамм: собственное значение на этом общем собственном подпространстве каждого элемента группы.

Понятие мультипликативного характера можно распространить на любой алгебра А над F, заменив χ: грамм → F^× по линейная карта χ: А → F с:

${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b)}$

для всех а, б в А. Если алгебра А действует в векторном пространстве V над F любому одновременному собственному подпространству, это соответствует гомоморфизм алгебр из А к F присвоение каждому элементу А его собственное значение.

Если А это Алгебра Ли (которая, как правило, не является ассоциативной алгеброй), то вместо требования мультипликативности символа требуется, чтобы она отображала любую скобку Ли в соответствующую коммутатор; но с тех пор F коммутативно, это просто означает, что это отображение должно обращаться в нуль на скобках Ли: χ([a, b]) = 0. А масса на алгебре Ли грамм над полем F является линейным отображением λ: грамм → F с λ ([Икс, у]) = 0 для всех Икс, у в грамм. Любой вес на алгебре Ли грамм исчезает на производная алгебра [грамм,грамм] и, следовательно, опускается до веса на абелева алгебра Ли грамм/[грамм,грамм]. Таким образом, веса в первую очередь представляют интерес для абелевых алгебр Ли, где они сводятся к простому понятию обобщенного собственного значения для пространства коммутирующих линейных преобразований.

Если грамм это Группа Ли или алгебраическая группа, то мультипликативный характер θ: грамм → F^× вызывает вес χ = dθ: грамм → F на его алгебре Ли дифференцированием. (Для групп Ли это дифференцирование на единичном элементе грамм, а случай алгебраической группы - это абстракция, использующая понятие вывода.)

Веса в теории представлений полупростых алгебр Ли

Смотрите также: Теория представлений полупростых алгебр Ли § Классификация конечномерных представлений полупростых алгебр Ли

Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ комплексная полупростая алгебра Ли и ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ подалгебра Картана в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. В этом разделе мы описываем концепции, необходимые для формулировки «теоремы о старшем весе», классифицирующей конечномерные представления ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. В частности, мы объясним понятие «доминирующий интегральный элемент». Сами представления описаны в статье по ссылке выше.

Вес представительства

Пример весов представления алгебры Ли sl (3, C)

Позволять V - представление алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над C и пусть λ - линейный функционал на ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. Тогда весовое пространство из V с весом λ - подпространство ${\displaystyle V_{\lambda }}$ данный

${\displaystyle V_{\lambda }:=\{v\in V:\forall H\in {\mathfrak {h}},\quad H\cdot v=\lambda (H)v\}}$.

А вес представительства V - линейный функционал λ такой, что соответствующее весовое пространство ненулевое. Ненулевые элементы весового пространства называются весовые векторы. Другими словами, весовой вектор является одновременным собственным вектором действия элементов ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, с соответствующими собственными значениями, заданными λ.

Если V прямая сумма его весовых пространств

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }}$

тогда это называется весовой модуль; это соответствует общему собственный базис (базис одновременных собственных векторов) для всех представленных элементов алгебры, т. е. чтобы они были одновременно диагонализуемыми матрицами (см. диагонализуемая матрица ).

Если грамм группа с алгеброй Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, всякое конечномерное представление грамм индуцирует представление ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Вес представления грамм тогда просто вес ассоциированного представления ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Существует тонкое различие между весами представлений групп и представлений алгебры Ли, которое состоит в том, что в этих двух случаях существует различное понятие условия целостности; Смотри ниже. (Условие целочисленности является более строгим в случае группы, отражая, что не каждое представление алгебры Ли происходит из представления группы.)

Действие корневых векторов

Если V это присоединенное представительство из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ненулевые веса V называются корни, весовые пространства называются корневыми пространствами, а весовые векторы называются корневыми векторами. Явно линейный функционал ${\displaystyle \alpha }$ на ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ называется корнем, если ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ и существует ненулевое ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ такой, что

${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$

для всех ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. Сбор корней образует корневая система.

С точки зрения теории представлений, значение корней и корневых векторов - это следующий элементарный, но важный результат: Если V представляет собой представление ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, v весовой вектор с весом ${\displaystyle \lambda }$ и Икс является корневым вектором с корнем ${\displaystyle \alpha }$, тогда

${\displaystyle H\cdot (X\cdot v)=[(\lambda +\alpha )(H)](X\cdot v)}$

для всех ЧАС в ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. То есть, ${\displaystyle X\cdot v}$ является либо нулевым вектором, либо вектором весов с весом ${\displaystyle \lambda +\alpha }$. Таким образом, действие ${\displaystyle X}$ отображает весовое пространство с весом ${\displaystyle \lambda }$ в весовое пространство с грузом ${\displaystyle \lambda +\alpha }$.

Составной элемент

Алгебраически целые элементы (треугольная решетка), доминирующие интегральные элементы (черные точки) и фундаментальные веса для sl (3, C)

Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$ быть действительным подпространством ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ порожденный корнями ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Для вычислений удобно выбрать скалярное произведение, инвариантное относительно группы Вейля, то есть относительно отражений о гиперплоскостях, ортогональных корням. Затем мы можем использовать этот внутренний продукт для идентификации ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$ с подпространством ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. С этим отождествлением корут связанный с корнем ${\displaystyle \alpha }$ дается как

${\displaystyle H_{\alpha }=2{\frac {\alpha }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}}$.

Теперь определим два различных понятия целостности для элементов ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$. Мотивация для этих определений проста: веса конечномерных представлений ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ удовлетворяют первому условию целочисленности, а если грамм группа с алгеброй Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, веса конечномерных представлений грамм удовлетворяют второму условию целочисленности.

Элемент ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$ является алгебраически цельный если

${\displaystyle \langle \lambda ,H_{\alpha }\rangle =2{\frac {\langle \lambda ,\alpha \rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}\in \mathbf {Z} }$

для всех корней ${\displaystyle \alpha }$. Мотивация для этого условия состоит в том, что корень ${\displaystyle H_{\alpha }}$ можно отождествить с ЧАС элемент в стандарте ${\displaystyle {X,Y,H}}$ основа для сл (2,C) -подалгебра грамм.^[1] По элементарным результатам для sl (2,C) собственные значения ${\displaystyle H_{\alpha }}$ в любом конечномерном представлении должно быть целым числом. Мы заключаем, что, как указано выше, вес любого конечномерного представления ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является алгебраически целым.^[2]

В основные веса ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$ определяются тем свойством, что они составляют основу ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ двойственный набору корней, связанных с простые корни. То есть фундаментальные веса определяются условием

${\displaystyle 2{\frac {\langle \omega _{i},\alpha _{j}\rangle }{\langle \alpha _{j},\alpha _{j}\rangle }}=\delta _{i,j}}$

куда ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$ простые корни. Элемент ${\displaystyle \lambda }$ тогда является алгебраически целым тогда и только тогда, когда это целая комбинация фундаментальных весов.^[3] Набор всех ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-интегральные веса - это решетка в ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ называется весовая решетка за ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, обозначаемый ${\displaystyle P({\mathfrak {g}})}$.

На рисунке показан пример алгебры Ли sl (3, C), корневой системой которой является ${\displaystyle A_{2}}$ корневая система. Есть два простых корня, ${\displaystyle \gamma _{1}}$ и ${\displaystyle \gamma _{2}}$. Первый фундаментальный вес, ${\displaystyle \omega _{1}}$, должен быть ортогонален ${\displaystyle \gamma _{2}}$ и должен выступать перпендикулярно половине ${\displaystyle \gamma _{1}}$, и аналогично для ${\displaystyle \omega _{2}}$. Решетка весов тогда является треугольной решеткой.

Предположим теперь, что алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является алгеброй Ли группы Ли грамм. Затем мы говорим, что ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$ является аналитически интегральный (G-интеграл) если для каждого т в ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ такой, что ${\displaystyle \exp(t)=1\in G}$ у нас есть ${\displaystyle \langle \lambda ,t\rangle \in 2\pi i\mathbf {Z} }$. Причина для этого определения заключается в том, что если представление ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ возникает из представления грамм, то веса представления будут грамм-интеграл.^[4] За грамм полупростой набор всех грамм-интегральные веса - это подрешетка п(грамм) ⊂ п(${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$). Если грамм является односвязный, тогда п(грамм) = п(${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$). Если грамм не односвязна, то решетка п(грамм) меньше, чем п(${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$) и их частное изоморфен фундаментальная группа из грамм.^[5]

Частичное упорядочение в пространстве весов

Если положительные корни ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$, и ${\displaystyle \alpha _{3}}$, заштрихованная область - это набор точек выше, чем ${\displaystyle \lambda }$

Теперь введем частичный порядок на множестве весов, который будет использован для формулировки теоремы о старшем весе, описывающей представления грамм. Напомним, что р это множество корней; мы сейчас исправляем набор ${\displaystyle R^{+}}$ из положительные корни.

Рассмотрим два элемента ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \lambda }$ из ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$. Нас в основном интересует случай, когда ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \lambda }$ являются интегральными, но это предположение не является необходимым для определения, которое мы собираемся ввести. Затем мы говорим, что ${\displaystyle \mu }$ является выше чем ${\displaystyle \lambda }$, который мы запишем как ${\displaystyle \mu \succeq \lambda }$, если ${\displaystyle \mu -\lambda }$ выражается как линейная комбинация положительных корней с неотрицательными действительными коэффициентами.^[6] Это означает, грубо говоря, что «выше» означает в направлении положительных корней. Мы эквивалентно говорим, что ${\displaystyle \lambda }$ "ниже" чем ${\displaystyle \mu }$, который мы запишем как ${\displaystyle \lambda \preceq \mu }$.

Это всего лишь частичный заказ; легко может случиться, что ${\displaystyle \mu }$ не выше и не ниже чем ${\displaystyle \lambda }$.

Доминирующий вес

Целым элементом λ является доминирующий если ${\displaystyle \langle \lambda ,\gamma \rangle \geq 0}$ для каждого положительного корня γ. Эквивалентно, λ является доминирующим, если это неотрицательный целочисленная комбинация основных весов. в ${\displaystyle A_{2}}$ В этом случае доминирующие интегральные элементы живут в секторе 60 градусов. Идея доминирования - это не то же самое, что быть выше нуля.

Множество всех λ (не обязательно целых) таких, что ${\displaystyle \langle \lambda ,\gamma \rangle \geq 0}$ известен как фундаментальная камера Вейля связанный с данным набором положительных корней.

Теорема старшего веса

Основная статья: Теорема о старших весах

Вес ${\displaystyle \lambda }$ представительства ${\displaystyle V}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ называется самый высокий вес если любой другой вес ${\displaystyle V}$ ниже чем ${\displaystyle \lambda }$.

Теория классификация конечномерных неприводимых представлений из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ осуществляется посредством «теоремы о наивысшем весе». Теорема говорит, что^[7]

(1) каждое неприводимое (конечномерное) представление имеет старший вес,

(2) старший вес всегда является доминирующим, алгебраически целостным элементом,

(3) два неприводимых представления с одинаковым старшим весом изоморфны, и

(4) каждый доминантный алгебраически цельный элемент является старшим весом неприводимого представления.

Последний пункт - самый сложный; представления могут быть построены с использованием Модули Verma.

Модуль наибольшего веса

Представление (не обязательно конечномерное) V из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ называется модуль наибольшего веса если он порождается весовым вектором v ∈ V который уничтожается действием всех положительный корень пространства в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Каждый неприводимый ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль со старшим весом обязательно является модулем старшего веса, но в бесконечномерном случае модуль старшего веса не обязательно должен быть неприводимым. Для каждого ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$- не обязательно доминантный или интегральный - существует единственное (с точностью до изоморфизма) просто наибольший вес ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль со старшим весом λ, который обозначается L(λ), но этот модуль бесконечномерен, если λ не является доминирующим интегралом. Можно показать, что каждый модуль старшего веса со старшим весом λ является частное из Модуль Верма M(λ). Это просто повторение свойство универсальности в определении модуля Верма.

Каждый конечномерный модуль старшего веса неприводим.^[8]

Смотрите также

• Классификация конечномерных представлений алгебр Ли
• Теория представлений связной компактной группы Ли
• Высшая весовая категория
• Корневая система

Примечания

1. Верно и обратное - набор диагонализуемых матриц коммутирует тогда и только тогда, когда он одновременно диагонализируется (Хорн и Джонсон 1985, стр. 51–53).
2. Фактически, учитывая набор коммутирующих матриц над алгебраически замкнутым полем, они являются одновременно треугольный, без необходимости предполагать, что они диагонализуемы.

Рекомендации

1. Зал 2015 Теорема 7.19 и уравнение. (7,9)
2. Зал 2015 Предложение 9.2.
3. Зал 2015 Предложение 8.36.
4. Зал 2015 Предложение 12.5.
5. Зал 2015 Следствие 13.8 и следствие 13.20.
6. Зал 2015 Определение 8.39
7. Зал 2015 Теоремы 9.4 и 9.5.
8. Это следует из (доказательства) предложения 6.13 статьи Зал 2015 вместе с общим результатом о полной приводимости конечномерных представлений полупростых алгебр Ли

• Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. МИСТЕР  1153249. OCLC  246650103..
• Гудман, Роу; Уоллах, Нолан Р. (1998), Представления и инварианты классических групп., Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-66348-9.
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-38632-6
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972a), Введение в алгебры Ли и теорию представлений, Биркхойзер, ISBN  978-0-387-90053-7.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972b), Линейные алгебраические группы, Тексты для выпускников по математике, 21, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90108-4, МИСТЕР  0396773
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли после введения (2-е изд.), Birkhäuser, ISBN  978-0-8176-4259-4.