Параметрическое уравнение - Parametric equation

В кривая бабочки может быть определена параметрическими уравнениями x и y.

В математика, а параметрическое уравнение определяет группу величин как функции одного или нескольких независимые переменные называется параметры.^[1] Параметрические уравнения обычно используются для выражения координаты точек, составляющих геометрический объект, такой как изгиб или же поверхность, в этом случае уравнения в совокупности называются параметрическое представление или же параметризация (альтернативно пишется как параметризация) объекта.^[1]^[2]^[3]

Например, уравнения

{ displaystyle { begin {align} x & = cos t y & = sin t end {align}}}

сформировать параметрическое представление единичный круг, куда т - параметр: Точка (Икс, у) находится на единичной окружности если и только если есть ценность т так что эти два уравнения создают эту точку. Иногда параметрические уравнения для индивидуума скаляр выходные переменные объединяются в одно параметрическое уравнение в векторов:

{ Displaystyle (х, y) = ( соз т, грех т).}

Параметрические представления обычно неуникальны (см. Раздел «Примеры в двух измерениях» ниже), поэтому одни и те же величины могут быть выражены несколькими различными параметризациями.^[1]

Помимо кривых и поверхностей, параметрические уравнения могут описывать коллекторы и алгебраические многообразия высшего измерение, где число параметров равно размерности многообразия или многообразия, а число уравнений равно размерности пространства, в котором рассматривается многообразие или многообразие (для кривых размерность один и один параметр используется для размера поверхностей два и два параметры и т. д.).

Параметрические уравнения обычно используются в кинематика, где траектория объекта представляется уравнениями, зависящими от времени как параметра. Из-за этого приложения один параметр часто обозначается т; однако параметры могут представлять другие физические величины (например, геометрические переменные) или могут быть выбраны произвольно для удобства. Параметризации не уникальны; несколько наборов параметрических уравнений могут определять одну и ту же кривую.^[4]

Приложения

Кинематика

В кинематика, пути объектов в пространстве обычно описываются как параметрические кривые, где каждая пространственная координата явно зависит от независимого параметра (обычно времени). При таком использовании набор параметрических уравнений для координат объекта вместе составляет вектор-функция для позиции. Такие параметрические кривые затем могут быть интегрированный и дифференцированный посрочно. Таким образом, если положение частицы описывается параметрически как

{ Displaystyle mathbf {г} (т) = (х (т), у (т), г (т))}

тогда это скорость можно найти как

{ Displaystyle mathbf {v} (t) = mathbf {r} '(t) = (x' (t), y '(t), z' (t))}

и это ускорение в качестве

{ displaystyle mathbf {a} (t) = mathbf {r} '' (t) = (x '' (t), y '' (t), z '' (t))}

.

Системы автоматизированного проектирования

Еще одно важное использование параметрических уравнений - в области системы автоматизированного проектирования (CAD).^[5] Например, рассмотрим следующие три представления, все из которых обычно используются для описания плоские кривые.

Тип	Форма	Пример	Описание
1. Явный	${ Displaystyle у = е (х) , !}$	${ Displaystyle у = мх + Ь , !}$	Линия
2. Неявный	${ Displaystyle е (х, у) = 0 , !}$	${ Displaystyle влево (х-а вправо) ^ {2} + влево (у-б вправо) ^ {2} = г ^ {2}}$	Круг
3. Параметрический	${ Displaystyle х = { гидроразрыва {г (т)} {ш (т)}}}$ ; ${ Displaystyle у = { гидроразрыва {ч (т)} {ш (т)}}}$	${ Displaystyle х = а_ {0} + а_ {1} т; , !}$ ${ displaystyle y = b_ {0} + b_ {1} t , !}$ ${ Displaystyle х = а + г , соз т; , !}$ ${ Displaystyle у = б + г , грех т , !}$	Линия Круг

Каждое представление имеет преимущества и недостатки для приложений САПР. Явное представление может быть очень сложным или даже не существовать. Более того, он плохо себя ведет под геометрические преобразования, и в частности под вращения. С другой стороны, поскольку параметрическое уравнение и неявное уравнение могут быть легко выведены из явного представления, когда существует простое явное представление, оно имеет преимущества обоих других представлений. Неявные представления могут затруднить создание точек кривой и даже решение, существуют ли реальные точки. С другой стороны, они хорошо подходят для определения того, находится ли данная точка на кривой, или находится ли она внутри или вне замкнутой кривой. Такие решения могут быть трудными с параметрическим представлением, но параметрические представления лучше всего подходят для создания точек на кривой и для ее построения.^[6]

Целочисленная геометрия

Многочисленные проблемы в целочисленная геометрия может быть решена с помощью параметрических уравнений. Классическим таким решением является Евклид параметризация прямоугольные треугольники так, чтобы длина их сторон $а, б$ и их гипотенуза $c$ находятся взаимно простые целые числа. В качестве а и б не оба четные (иначе $а, б$ и $c$ не будут взаимно простыми), их можно обменять на $а$ четным, и тогда параметризация

{ displaystyle a = 2mn, b = m ^ {2} -n ^ {2}, c = m ^ {2} + n ^ {2},}

где параметры $м$ и $п$ положительные взаимно простые целые числа, которые не являются нечетными.

Умножая $а, б$ и $c$ произвольным положительным целым числом, мы получаем параметризацию всех прямоугольных треугольников, три стороны которых имеют целые длины.

Неявная реализация

Преобразование набора параметрических уравнений в одно неявное уравнение включает устранение переменной ${ displaystyle t}$ из систем уравнений ${ Displaystyle х = е (т), у = г (т).}$ Этот процесс называется имплицитность. Если одно из этих уравнений может быть решено относительно т, полученное выражение можно подставить в другое уравнение, чтобы получить уравнение, включающее Икс и у только: Решение ${ Displaystyle у = г (т)}$ чтобы получить ${ Displaystyle т = г ^ {- 1} (у)}$ и используя это в ${ Displaystyle х = е (т)}$ дает явное уравнение ${ Displaystyle х = е (г ^ {- 1} (у)),}$ в то время как более сложные случаи дадут неявное уравнение вида ${ displaystyle h (x, y) = 0.}$

Если параметризация задается формулой рациональные функции

{ Displaystyle х = { гидроразрыва {p (t)} {r (t)}}, qquad y = { frac {q (t)} {r (t)}},}

куда $п, q, р$ установлены мудрыми совмещать многочлены, a результирующий вычисление позволяет неявно выражать. Точнее, неявное уравнение - это результирующий относительно $т$ из $xr (т) - п (т)$ и $год (т) - q (т)$

В более высоком измерении (или более двух координат более чем одного параметра) неявное создание рациональных параметрических уравнений может быть выполнено с помощью Основа Грёбнера вычисление; видеть Базис Грёбнера § Неявное выражение в более высокой размерности.

На примере круга радиуса а, параметрические уравнения

{ Displaystyle { begin {выровнено} х & = а соз (т) у & = а грех (т) конец {выровнено}}}

может быть неявно выражено в терминах Икс и у посредством Пифагорейская тригонометрическая идентичность:

В качестве

{ displaystyle { begin {align} { frac {x} {a}} & = cos (t) { frac {y} {a}} & = sin (t) end { выровнено}}}

и

{ Displaystyle соз (т) ^ {2} + грех (т) ^ {2} = 1,}

мы получили

{ displaystyle left ({ frac {x} {a}} right) ^ {2} + left ({ frac {y} {a}} right) ^ {2} = 1,}

и поэтому

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2},}

которое является стандартным уравнением круга с центром в начале координат.

Примеры в двух измерениях

Парабола

Простейшее уравнение для парабола,

{ Displaystyle у = х ^ {2} ,}

можно (тривиально) параметризовать с помощью бесплатного параметра т, и установка

{ displaystyle x = t, y = t ^ {2} quad mathrm {for} - infty

Явные уравнения

В более общем смысле, любая кривая, заданная явным уравнением

{ Displaystyle у = е (х) ,}

можно (тривиально) параметризовать с помощью бесплатного параметра т, и установка

{ displaystyle x = t, y = f (t) quad mathrm {for} - infty

Круг

Более сложный пример - следующий. Рассмотрим единичную окружность, описываемую обычным (декартовым) уравнением

{ Displaystyle х ^ {2} + y ^ {2} = 1. ,}

Это уравнение можно параметризовать следующим образом:

{ Displaystyle (х, у) = ( соз (т), ; грех (т)) квад mathrm {для} 0 Leq т <2 пи. ,}

С помощью декартова уравнения легче проверить, лежит ли точка на окружности или нет. С параметрической версией проще получать точки на графике.

В некоторых случаях параметрические уравнения, включающие только рациональные функции (то есть доли двух многочлены ) являются предпочтительными, если они существуют. В случае круга такой рациональная параметризация является

{ displaystyle { begin {align} x & = { frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} y & = { frac {2t} {1 + t ^ {2 }}} end {выравнивается}}.}

С помощью этой пары параметрических уравнений точка $(-1, 0)$ не представлен настоящий значение $т$ , но по предел из $Икс$ и $у$ когда $т$ как правило бесконечность.

Эллипс

An эллипс в каноническом положении (центр в начале координат, большая ось вдоль Икс-ось) с полуосями а и б параметрически можно представить как

{ displaystyle { begin {align} x & = a , cos t y & = b , sin t. end {align}}}

Эллипс в общем положении можно выразить как

{ displaystyle { begin {align} x & = X_ {c} + a , cos t , cos varphi -b , sin t , sin varphi y & = Y_ {c} + a , cos t , sin varphi + b , sin t , cos varphi end {align}}}

как параметр т варьируется от 0 до 2π. Здесь ${ displaystyle (X_ {c}, Y_ {c})}$ центр эллипса, а ${ displaystyle varphi}$ угол между ${ displaystyle X}$ - ось и большая ось эллипса.

Возможны обе параметризации рациональный используя формула касательного полуугла и установка ${ displaystyle tan { frac {t} {2}} = u.}$

Кривая Лиссажу

Кривая Лиссажу, где

{ displaystyle k_ {x} = 3}

и

{ displaystyle k_ {y} = 2}

.

А Кривая Лиссажу похож на эллипс, но Икс и у синусоиды не совпадают по фазе. В каноническом положении кривая Лиссажу задается формулой

{ Displaystyle { begin {align} x & = a , cos (k_ {x} t) y & = b , sin (k_ {y} t) end {align}}}

куда ${ displaystyle k_ {x}}$ и ${ displaystyle k_ {y}}$ - константы, описывающие количество лепестков фигуры.

Гипербола

Открытие восток-запад гипербола параметрически можно представить как

{ displaystyle { begin {align} x & = a sec t + h y & = b tan t + k end {align}} quad}

или же, рационально

{ displaystyle quad { begin {align} x & = a { frac {1 + t ^ {2}} {1-t ^ {2}}} + h y & = b { frac {2t} { 1-t ^ {2}}} + k end {выровнено}}}

Гипербола, открывающаяся с севера на юг, может быть параметрически представлена как

{ displaystyle { begin {matrix} x = b tan t + h y = a sec t + k end {matrix}} quad}

или, рационально

{ displaystyle quad { begin {matrix} x = b { frac {2t} {1-t ^ {2}}} + h y = a { frac {1 + t ^ {2}} { 1-t ^ {2}}} + k end {matrix}}}

Во всех этих формулах (час,k) - координаты центра гиперболы, а - длина большой полуоси, а б - длина малой полуоси.

Гипотрохоид

А гипотрохоид кривая, начерченная точкой, прикрепленной к окружности радиуса р катится внутри фиксированного круга радиуса р, где точка находится на расстоянии d от центра внутреннего круга.

Гипотрохоид, для которого р = d
Гипотрохоид, для которого р = 5, р = 3, d = 5

Параметрические уравнения для гипотрохоидов:

{ Displaystyle { begin {выровнен} Икс ( theta) & = (Rr) соз theta + d cos left ({Rr over r} theta right) y ( theta) & = (Rr) sin theta -d sin left ({Rr over r} theta right) end {align}}}

Некоторые сложные функции

Показаны другие примеры:

{ displaystyle { begin {align} x & = [ab] cos (t) + b cos left [t left ({ frac {a} {b}} - 1 right) right] y & = [ab] sin (t) -b sin left [t left ({ frac {a} {b}} - 1 right) right], k = { frac {a} {б}} конец {выровнено}}}

Несколько графиков по вариации k

{ Displaystyle { begin {align} x & = cos (at) - cos (bt) ^ {j} y & = sin (ct) - sin (dt) ^ {k} end {align} }}

j = 3 к = 3
j = 3 к = 3
к = 3 к = 4
к = 3 к = 4
к = 3 к = 4

{ Displaystyle { begin {align} x & = i cos (at) - cos (bt) sin (ct) y & = j sin (dt) - sin (et) end {align}} }

я = 1 j = 2

Примеры в трех измерениях

Воспроизвести медиа

Анимированная параметрическая спираль

Спираль

Параметрическая спираль

Параметрические уравнения удобны для описания кривые в многомерных пространствах. Например:

{ Displaystyle { begin {align} x & = a cos (t) y & = a sin (t) z & = bt , end {align}}}

описывает трехмерную кривую, спираль, с радиусом а и увеличиваясь на 2πб единиц за ход. Уравнения идентичны в самолет к выражениям для круга. Такие выражения, как приведенное выше, обычно записываются как

{ Displaystyle mathbf {г} (т) = (х (т), у (т), г (т)) = (а соз (т), а грех (т), бт),}

куда р - трехмерный вектор.

Параметрические поверхности

А тор с большим радиусом р и малый радиус р можно определить параметрически как

{ Displaystyle { begin {align} x & = cos [t] left [R + r cos (u) right], y & = sin [t] left [R + r cos (u ) right], z & = r sin [u]. end {align}}}

где оба параметра t и u изменяются от 0 до 2π.

R = 2, r = 1/2

При изменении u от 0 до 2π точка на поверхности движется по короткой окружности, проходящей через отверстие в торе. При изменении t от 0 до 2π точка на поверхности движется по длинной окружности вокруг отверстия в торе.

Примеры с векторами

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку ${ displaystyle left (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0} right)}$ и параллельно вектору ${ displaystyle a { vec {i}} + b { vec {j}} + c { vec {k}}}$ является^[7]

{ displaystyle { begin {align} x & = x_ {0} + a cdot t y & = y_ {0} + b cdot t z & = z_ {0} + c cdot t end {выровнено }}}

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б ^c Вайсштейн, Эрик В. «Параметрические уравнения». MathWorld.
^ Томас, Джордж Б .; Финни, Росс Л. (1979). Исчисление и аналитическая геометрия (пятое изд.). Эддисон-Уэсли. п. 91.
^ Никамп, Дуэйн. «Пример параметризации плоскости». mathinsight.org. Получено 2017-04-14.
^ Шпицбарт, Абрахам (1975). Исчисление с аналитической геометрией. Глевью, Иллинойс: Скотт, Foresman and Company. ISBN 0-673-07907-4. Получено 30 августа, 2015.
^ Стюарт, Джеймс (2003). Исчисление (5-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Thomson Learning, Inc., стр.687–689. ISBN 0-534-39339-X.
^ Шах, Джами Дж .; Марти Мантила (1995). Параметрические и функциональные CAD / CAM: концепции, методы и приложения. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., стр. 29–31. ISBN 0-471-00214-3.
^ Исчисление: одно- и многомерное. Джон Вили. 2012-10-29. п. 919. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012.

внешняя ссылка

[MathWorld-1] а ^б ^c Вайсштейн, Эрик В. «Параметрические уравнения». MathWorld.

[2] Томас, Джордж Б .; Финни, Росс Л. (1979). Исчисление и аналитическая геометрия (пятое изд.). Эддисон-Уэсли. п. 91.

[3] Никамп, Дуэйн. «Пример параметризации плоскости». mathinsight.org. Получено 2017-04-14.

[4] Шпицбарт, Абрахам (1975). Исчисление с аналитической геометрией. Глевью, Иллинойс: Скотт, Foresman and Company. ISBN 0-673-07907-4. Получено 30 августа, 2015.

[5] Стюарт, Джеймс (2003). Исчисление (5-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Thomson Learning, Inc., стр.687–689. ISBN 0-534-39339-X.

[6] Шах, Джами Дж .; Марти Мантила (1995). Параметрические и функциональные CAD / CAM: концепции, методы и приложения. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., стр. 29–31. ISBN 0-471-00214-3.

[7] Исчисление: одно- и многомерное. Джон Вили. 2012-10-29. п. 919. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]