Элемент объема - Volume element

В математика, а элемент объема предоставляет средства для интеграция а функция относительно объем в различных системах координат, таких как сферические координаты и цилиндрические координаты. Таким образом, элемент объема является выражением формы

${\displaystyle dV=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}}$

где ${\displaystyle u_{i}}$ - координаты, так что объем любого множества ${\displaystyle B}$ можно вычислить

${\displaystyle \operatorname {Volume} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}.}$

Например, в сферических координатах ${\displaystyle dV=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}}$, и так ${\displaystyle \rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}}$.

Понятие объемного элемента не ограничивается тремя измерениями: в двух измерениях он часто известен как элемент площади, и в этой настройке это полезно для выполнения поверхностные интегралы. При изменении координат элемент объема изменяется на абсолютное значение Определитель якобиана преобразования координат ( формула замены переменных ). Этот факт позволяет определять объемные элементы как своего рода мера на многообразие. На ориентируемый дифференцируемое многообразие, элемент объема обычно возникает из объемная форма: высшая степень дифференциальная форма. На неориентируемом коллекторе элементом объема обычно является абсолютная величина формы объема (определенной локально): он определяет 1-плотность.

Элемент объема в евклидовом пространстве

В Евклидово пространство, элемент объема задается произведением дифференциалов декартовых координат

${\displaystyle dV=dx\,dy\,dz.}$

В разных системах координат вида ${\displaystyle x=x(u_{1},u_{2},u_{3}),y=y(u_{1},u_{2},u_{3}),z=z(u_{1},u_{2},u_{3})}$, элемент объема изменения якобианом изменения координаты:

${\displaystyle dV=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}.}$

Например, в сферических координатах (математическое соглашение)

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}}$

якобиан

${\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi }$

так что

${\displaystyle dV=\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\theta \,d\phi .}$

Это можно рассматривать как частный случай того факта, что дифференциальные формы трансформируются посредством отката ${\displaystyle F^{*}}$ в качестве

${\displaystyle F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$

Элемент объема линейного подпространства

Рассмотрим линейное подпространство из п-размерный Евклидово пространство р^п который охватывает набор линейно независимый векторов

${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}.}$

Чтобы найти элемент объема подпространства, полезно знать из линейной алгебры тот факт, что объем параллелепипеда, натянутого на ${\displaystyle X_{i}}$ квадратный корень из детерминант из Матрица грамиана из ${\displaystyle X_{i}}$:

${\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.}$

Любая точка п в подпространстве можно задать координаты ${\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots ,u_{k})}$ такой, что

${\displaystyle p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.}$

В какой-то момент п, если образовать небольшой параллелепипед со сторонами ${\displaystyle du_{i}}$, то объем этого параллелепипеда равен квадратному корню из определителя матрицы Грамма

${\displaystyle {\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;du_{1}\,du_{2}\,\cdots \,du_{k}.}$

Таким образом, это определяет форму объема в линейном подпространстве.

Объемный элемент коллекторов

Смотрите также: Риманова форма объема

На ориентированный Риманово многообразие измерения п, элемент объема представляет собой форму объема, равную Ходж Дуал единичной постоянной функции, ${\displaystyle f(x)=1}$:

${\displaystyle \omega =\star 1}$ .

Эквивалентно, элемент объема - это точно Тензор Леви-Чивиты ${\displaystyle \epsilon }$.^[1] В координатах,

${\displaystyle \omega =\epsilon ={\sqrt {|\det g|}}\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$

куда ${\displaystyle \det g}$ это детерминант из метрический тензор грамм записано в системе координат.

Элемент площади поверхности

Простой пример объемного элемента можно изучить, рассматривая двумерную поверхность, встроенную в п-размерный Евклидово пространство. Такой элемент объема иногда называют элемент площади. Рассмотрим подмножество ${\displaystyle U\subset \mathbf {R} ^{2}}$ и функция отображения

${\displaystyle \varphi :U\to \mathbf {R} ^{n}}$

таким образом определяя поверхность, встроенную в ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$. В двух измерениях объем - это просто площадь, а элемент объема позволяет определить площадь частей поверхности. Таким образом, элемент объема является выражением формы

${\displaystyle f(u_{1},u_{2})\,du_{1}\,du_{2}}$

что позволяет вычислить площадь множества B лежащих на поверхности, вычисляя интеграл

${\displaystyle \operatorname {Area} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,du_{1}\,du_{2}.}$

Здесь мы найдем элемент объема на поверхности, который определяет площадь в обычном понимании. В Матрица якобиана отображения

${\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}}$

с индексом я бег от 1 до п, и j от 1 до 2. Евклидово метрика в п-мерное пространство индуцирует метрику ${\displaystyle g=\lambda ^{T}\lambda }$ на съемочной площадке U, с матричными элементами

${\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{ki}\lambda _{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}.}$

В детерминант метрики определяется выражением

${\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(\lambda ^{T}\lambda )}$

Для регулярной поверхности этот определитель отличен от нуля; эквивалентно, матрица Якоби имеет ранг 2.

Теперь рассмотрим изменение координат на U, предоставленный диффеоморфизм

${\displaystyle f\colon U\to U,\,\!}$

так что координаты ${\displaystyle (u_{1},u_{2})}$ даны с точки зрения ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$ к ${\displaystyle (u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})}$. Матрица Якоби этого преобразования имеет вид

${\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}.}$

В новых координатах имеем

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}}$

и поэтому метрика преобразуется как

${\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF}$

куда ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ метрика отката в v система координат. Определитель

${\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g(\det F)^{2}.}$

Учитывая приведенную выше конструкцию, теперь должно быть несложно понять, как элемент объема инвариантен при сохраняющем ориентацию изменении координат.

В двух измерениях объем - это просто площадь. Площадь подмножества ${\displaystyle B\subset U}$ дается интегралом

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;du_{1}\;du_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;|\det F|\;dv_{1}\;dv_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;dv_{1}\;dv_{2}.\end{aligned}}}$

Таким образом, в любой системе координат элемент объема принимает одно и то же выражение: выражение элемента объема инвариантно при изменении координат.

Обратите внимание, что в представленной выше презентации не было ничего особенного в отношении двух измерений; сказанное выше тривиально обобщается на произвольные измерения.

Пример: сфера

Например, рассмотрим сферу радиуса р с центром в начале координат в р³. Это можно параметризовать с помощью сферические координаты с картой

${\displaystyle \phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2}).}$

потом

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}},}$

и элемент площади

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\det g}}\;du_{1}du_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,du_{1}du_{2}.}$

Смотрите также

• Цилиндрическая система координат # Прямые и объемные элементы
• Сферическая система координат # Интегрирование и дифференцирование в сферических координатах
• Поверхностный интеграл
• Объемный интеграл

Рекомендации

• Бесс, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], т. 10, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xii + 510, ISBN  978-3-540-15279-8

1. Кэрролл, Шон. Пространство-время и геометрия. Эддисон Уэсли, 2004, стр. 90