Теорема Вариньонов - Varignons theorem

По поводу теоремы о моменте силы см. Теорема Вариньона (механика).

Площадь(EFGH) = (1/2) Площадь (ABCD)

Теорема Вариньона это заявление в Евклидова геометрия, который занимается построением определенного параллелограмм, то Вариньонный параллелограмм, из произвольного четырехугольник (четырехугольник). Он назван в честь Пьер Вариньон, доказательство которого было опубликовано посмертно в 1731 году.^[1]

Теорема

Середины сторон произвольного четырехугольника образуют параллелограмм. Если четырехугольник выпуклый или же вогнутый (нет сложный ), то площадь параллелограмма равна половине площади четырехугольника.

Если ввести понятие ориентированных областей для п-угольники, то это равенство площадей имеет место и для комплексных четырехугольников.^[2]

Параллелограмм Вариньона существует даже для косой четырехугольник, и является плоским независимо от того, является ли четырехугольник плоским или нет. Теорема может быть обобщена на многоугольник средней точки произвольного многоугольника.

Доказательство

Ссылаясь на диаграмму выше, треугольники ADC и HDG похожи по критерию стороны-угла-стороны, поэтому углы DAC и DHG равны, поэтому HG параллельна переменному току. Таким же образом EF параллельно AC, поэтому HG и EF параллельны друг другу; то же самое верно для HE и GF.

Теорема Вариньона также может быть доказана как теорема аффинной геометрии, организованной как линейная алгебра с линейными комбинациями, ограниченными коэффициентами, суммируемыми до 1, также называемыми аффинными или барицентрические координаты. Доказательство применимо даже к косым четырехугольникам в пространствах любой размерности.

Любые три балла E, F, грамм дополняются до параллелограмма (лежат в плоскости, содержащей E, F, играмм), взяв его четвертую вершину за E − F + грамм. В построении параллелограмма Вариньона это точка (А + B)/2 − (B + C)/2 + (C + D)/2 = (А + D) / 2. Но в этом суть ЧАС на рисунке, откуда EFGH образует параллелограмм.

Короче говоря, центроид из четырех точек А, B, C, D это середина каждой из двух диагоналей НАПРИМЕР и FH из EFGH, показывая, что середины совпадают.

Из первого доказательства видно, что сумма диагоналей равна периметру образовавшегося параллелограмма. Кроме того, мы можем использовать векторы 1/2 длины каждой стороны, чтобы сначала определить площадь четырехугольника, а затем найти площади четырех треугольников, разделенных каждой стороной внутреннего параллелограмма.

выпуклый четырехугольник	вогнутый четырехугольник	скрещенный четырехугольник

Доказательство без слов теоремы Вариньона:
1. Произвольный четырехугольник и его диагонали.
2. Основания подобных треугольников параллельны голубой диагонали.
3. То же самое для красной диагонали.
4. Пары оснований образуют параллелограмм с половиной площади четырехугольника, А_q, как сумма площадей четырех больших треугольников, А_л 2 А_q (каждая из двух пар восстанавливает четырехугольник), а пара маленьких треугольников, А_s составляет четверть А_л (половина линейных размеров дает четверть площади), а площадь параллелограмма равна А_q минус А_s.

Параллелограмм Вариньона

Характеристики

Плоский параллелограмм Вариньона также обладает следующими свойствами:

• Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали исходного четырехугольника.
• Сторона параллелограмма Вариньона вдвое короче диагонали исходного четырехугольника, которому он параллелен.
• Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Это верно для выпуклых, вогнутых и скрещенных четырехугольников при условии, что площадь последнего определяется как разность площадей двух треугольников, из которых он состоит.^[2]
• В периметр параллелограмма Вариньона равна сумме диагоналей исходного четырехугольника.
• Диагонали параллелограмма Вариньона - это бимедианы исходного четырехугольника.
• Две бимедианы в четырехугольнике и отрезок прямой, соединяющий середины диагоналей в этом четырехугольнике, равны одновременный и все они делятся пополам по своей точке пересечения.^{[3]:стр.125}

В выпуклом четырехугольнике со сторонами а, б, c и d, длина бимедиана, соединяющего середины сторон а и c является

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}}$

куда п и q - длина диагоналей.^[4] Длина бимедианы, соединяющей середины сторон б и d является

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.}$

Следовательно^{[3]:стр.126}

${\displaystyle \displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

Это тоже следствие к закон параллелограмма применен в параллелограмме Вариньона.

Длины бимедианов можно также выразить через две противоположные стороны и расстояние Икс между серединами диагоналей. Это возможно при использовании теоремы Эйлера о четырехугольнике в приведенных выше формулах. Откуда^[5]

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}$

и

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.}$

Обратите внимание, что две противоположные стороны в этих формулах - это не те две, которые соединяет бимедиана.

В выпуклом четырехугольнике имеется следующее двойной связь между бимедианами и диагоналями:^[6]

• Два бимедиана имеют одинаковую длину если и только если две диагонали перпендикуляр.
• Две бимедианы перпендикулярны тогда и только тогда, когда две диагонали имеют одинаковую длину.

Особые случаи

Параллелограмм Вариньона - это ромб тогда и только тогда, когда две диагонали четырехугольника имеют одинаковую длину, то есть если четырехугольник является равносторонний четырехугольник.^[7]

Параллелограмм Вариньона - это прямоугольник тогда и только тогда, когда диагонали четырехугольника равны перпендикуляр, то есть если четырехугольник ортодиагональный четырехугольник.^{[6]:п. 14 [7]:п. 169}

Если пересекающийся четырехугольник образован любой парой противоположных параллельных сторон и диагоналей параллелограмма, параллелограмм Вариньона представляет собой отрезок прямой, который проходит дважды.

Смотрите также

• Построение серединного перпендикуляра четырехугольника, другой способ образования другого четырехугольника из данного четырехугольника

Примечания

1. Питер Н. Оливер: Пьер Вариньон и теорема о параллелограмме. Учитель математики, группа 94, № 4, апрель 2001 г., стр. 316-319.
2. Кокстер, Х. С. М. и Грейцер, С. Л. «Четырехугольник; теорема Вариньона» § 3.1 в книге «Возвращение к геометрии». Вашингтон, округ Колумбия: Математика. Доц. Америк., 1967, с. 52–54.
3. Альтшиллер-Корт, Натан, Колледж Геометрия, Dover Publ., 2007.
4. Матееску Константин, ответ на Неравенство диагонали
5. Йозефссон, Мартин (2011), «Площадь двухцентрового четырехугольника» (PDF), Форум Geometricorum, 11: 155–164.
6. Йозефссон, Мартин (2012), "Характеристики ортодиагональных четырехугольников" (PDF), Форум Geometricorum, 12: 13–25.
7. де Вильерс, Майкл (2009), Некоторые приключения в евклидовой геометрии, Динамическое обучение математике, стр. 58, ISBN  9780557102952.

Ссылки и дополнительная литература

• Х. С. М. Кокстер, С. Л. Грейцер: Возвращение к геометрии. MAA, Вашингтон, 1967, стр. 52-54.
• Питер Н. Оливер: Следствия теоремы Вариньона о параллелограмме. Учитель математики, группа 94, № 5, май 2001 г., стр. 406-408.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Вариньона". MathWorld.
• Параллелограмм Вариньона в геометрии компендиума
• Обобщение теоремы Вариньона на 2n-угольники и 3D в Эскизы динамической геометрии, интерактивные эскизы динамической геометрии.
• Вариньонный параллелограмм в Cut-the-Knot-Org