Построение серединного перпендикуляра четырехугольника - Perpendicular bisector construction of a quadrilateral

В геометрия, то Построение серединного перпендикуляра четырехугольника это конструкция, которая производит новый четырехугольник из данного четырехугольника, используя серединные перпендикулярные стороны к сторонам предыдущего четырехугольника. Эта конструкция естественно возникает при попытке найти замену центр окружности четырехугольника в нециклическом случае.

Определение конструкции

Предположим, что вершины из четырехугольник ${ displaystyle Q}$ даны ${ displaystyle Q_ {1}, Q_ {2}, Q_ {3}, Q_ {4}}$ . Позволять ${ displaystyle b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, b_ {4}}$ быть серединными перпендикулярами сторон ${ displaystyle Q_ {1} Q_ {2}, Q_ {2} Q_ {3}, Q_ {3} Q_ {4}, Q_ {4} Q_ {1}}$ соответственно. Тогда их пересечения ${ Displaystyle Q_ {я} ^ {(2)} = b_ {я + 2} b_ {я + 3}}$ с нижними индексами по модулю 4 образуют последующий четырехугольник ${ Displaystyle Q ^ {(2)}}$ . Затем конструкция повторяется на ${ Displaystyle Q ^ {(2)}}$ производить ${ Displaystyle Q ^ {(3)}}$ и так далее.

Первая итерация построения серединного перпендикуляра

Эквивалентную конструкцию можно получить, если разрешить вершинам ${ Displaystyle Q ^ {(я + 1)}}$ быть центры окружности из 4-х треугольников, образованных путем выбора комбинаций 3-х вершин ${ Displaystyle Q ^ {(я)}}$ .

Характеристики

1. Если ${ Displaystyle Q ^ {(1)}}$ не циклично, то ${ Displaystyle Q ^ {(2)}}$ не является вырожденным.^[1]

2. Четырехугольник ${ Displaystyle Q ^ {(2)}}$ никогда не бывает цикличным.^[1] Комбинируя №1 и №2, ${ Displaystyle Q ^ {(3)}}$ всегда невырожденный.

3. Четырехугольники. ${ Displaystyle Q ^ {(1)}}$ и ${ Displaystyle Q ^ {(3)}}$ находятся гомотетичный, и в частности, похожий.^[2] Четырехугольники ${ Displaystyle Q ^ {(2)}}$ и ${ Displaystyle Q ^ {(4)}}$ тоже гомотетичны.

3. Построение биссектрисы перпендикуляра может быть отменено с помощью изогональное сопряжение.^[3] То есть, учитывая ${ Displaystyle Q ^ {(я + 1)}}$ , можно построить ${ Displaystyle Q ^ {(я)}}$ .

4. Пусть ${ Displaystyle альфа, бета, гамма, дельта}$ быть углами ${ Displaystyle Q ^ {(1)}}$ . Для каждого ${ displaystyle i}$ , соотношение площадей ${ Displaystyle Q ^ {(я)}}$ и ${ Displaystyle Q ^ {(я + 1)}}$ дан кем-то^[3]

{ Displaystyle (1/4) ( детская кроватка ( альфа) + детская кроватка ( гамма)) ( детская кроватка ( бета) + детская кроватка ( дельта)).}

5. Если ${ Displaystyle Q ^ {(1)}}$ выпукла, то последовательность четырехугольников ${ Displaystyle Q ^ {(1)}, Q ^ {(2)}, ldots}$ сходится к изоптическая точка из ${ Displaystyle Q ^ {(1)}}$ , которая также является изоптической точкой для каждого ${ Displaystyle Q ^ {(я)}}$ . Аналогично, если ${ Displaystyle Q ^ {(1)}}$ вогнутая, то последовательность ${ Displaystyle Q ^ {(1)}, Q ^ {(0)}, Q ^ {(- 1)}, ldots}$ полученная обращением конструкции, сходится к изоптической точке ${ Displaystyle Q ^ {(я)}}$ с.^[3]

Рекомендации

^ ^а ^б Дж. Кинг, Четырехугольники, образованные срединными перпендикулярами, в Геометрия включена, (ред. Дж. Кинг), MAA Notes 41, 1997, стр. 29–32.
^ Г. К. Шепард, Построение биссектрисы перпендикуляра, Геом. Dedicata, 56 (1995) 75–84.
^ ^а ^б ^c О. Радко, Э. Цукерман, Построение биссектрисы перпендикуляра, изоптическая точка и линия Симсона четырехугольника. Форум Geometricorum 12: 161–189 (2012).

Дж. Лангр, Проблема E1050, Амер. Математика. Ежемесячно, 60 (1953) 551.
Прасолов В.В., Задачи плоской геометрии, т. 1, 1991; Проблема 6.31.
Прасолов В.В., Задачи плоской и твердотельной геометрии, т. 1 (перевод Д. Лейтеса), доступно на http://students.imsa.edu/~tliu/math/planegeo.eps^{[постоянная мертвая ссылка ]}.
Д. Беннетт. Динамическая геометрия возрождает интерес к старой проблеме. Геометрия включена, (ред. Дж. Кинг), MAA Notes 41, 1997, стр. 25–28.
Дж. Кинг, Четырехугольники, образованные срединными перпендикулярами, в Геометрия включена, (ред. Дж. Кинг), MAA Notes 41, 1997, стр. 29–32.
Г. К. Шепард, Построение биссектрисы перпендикуляра, Геом. Dedicata, 56 (1995) 75–84.
А. Богомольный, Четырехугольники образованы биссектрисами, Интерактивная математика и головоломки, http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PerpBisectQuadri.shtml.
Б. Грюнбаум, О четырехугольниках, образованных из четырехугольников. Часть 3, Геомбинаторика 7(1998), 88–94.
О. Радко, Э. Цукерман, Построение биссектрисы перпендикуляра, изоптическая точка и линия Симсона четырехугольника. Форум Геометрикорум 12: 161–189 (2012).

[King-1] а ^б Дж. Кинг, Четырехугольники, образованные срединными перпендикулярами, в Геометрия включена, (ред. Дж. Кинг), MAA Notes 41, 1997, стр. 29–32.

[Shephard-2] Г. К. Шепард, Построение биссектрисы перпендикуляра, Геом. Dedicata, 56 (1995) 75–84.

[RadkoTsukerman-3] а ^б ^c О. Радко, Э. Цукерман, Построение биссектрисы перпендикуляра, изоптическая точка и линия Симсона четырехугольника. Форум Geometricorum 12: 161–189 (2012).

[1]

[2]

[3]