Теорема вариньонов (механика) - Varignons theorem (mechanics)

По поводу теоремы о серединах четырехугольника см. Теорема Вариньона.

Теорема Вариньона это теорема французского математика Пьер Вариньон (1654-1722), опубликованный в 1687 году в своей книге Projet d'une nouvelle mécanique. Теорема утверждает, что крутящий момент из результирующий двух совпадающих сил относительно любой точки равно алгебраическая сумма крутящих моментов его компонентов примерно в одной точке. Другими словами, «Если многие одновременный силы, действующие на тело, тогда алгебраическая сумма моментов всех сил вокруг точки на плоскости сил равна крутящему моменту их равнодействующей относительно той же точки ».^[1]

Доказательство

Рассмотрим набор ${\displaystyle N}$ векторы силы ${\displaystyle \mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},...,\mathbf {f} _{N}}$ которые согласны в точке ${\displaystyle \mathbf {O} }$ в космосе. Их результат:

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {f} _{i}}$.

Крутящий момент каждого вектора относительно некоторой другой точки ${\displaystyle \mathbf {O} _{1}}$ является

${\displaystyle \mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {f} _{i}}=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \mathbf {f} _{i}}$.

Складываем крутящие моменты и вытаскиваем общий множитель ${\displaystyle (\mathbf {O} -\mathbf {O_{1}} )}$, видно, что результат может быть выражен исключительно в терминах ${\displaystyle \mathbf {F} }$, и фактически крутящий момент ${\displaystyle \mathbf {F} }$ относительно точки ${\displaystyle \mathbf {O} _{1}}$:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {f} _{i}}=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \left(\sum _{i=1}^{N}\mathbf {f} _{i}\right)=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \mathbf {F} =\mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {F} }}$.

Доказательство теоремы, т.е. что сумма моментов около ${\displaystyle \mathbf {O} _{1}}$ это то же самое, что крутящий момент суммы сил в одной и той же точке.

Рекомендации

1. И. Ч. Джонг, Б. Г. Роджерс (1991). Инженерная механика: статика. ISBN  9780030263095.

внешняя ссылка

• Теорема Вариргнона в TheFreeDictionary.com