Площадь круга - Area of a circle

В геометрия, то площадь заключен в круг из радиус р является πр². Здесь греческая буква π представляет постоянный соотношение длина окружности любого круга к его диаметр, примерно равно 3,14159.

Один из методов вывода этой формулы, который возник в Архимед, предполагает рассмотрение круга как предел последовательности правильные многоугольники. Площадь правильного многоугольника составляет половину его площади. периметр умноженный на расстояние от центра до сторон, и соответствующая формула, согласно которой площадь равна половине периметра, умноженному на радиус, а именно, А = 1/2 × 2πр × р, выполняется в пределе для окружности.

Хотя часто называют площадь круга в неформальном контексте, строго говоря, термин диск относится к внутренней части круга, а круг зарезервирован только для границы, которая является изгиб и не покрывает саму территорию. Следовательно площадь диска это более точное выражение для области, обведенной кружком.

История

Современная математика может получить площадь, используя методы интегральное исчисление или его более сложное потомство, реальный анализ. Однако площадь диска исследовалась Древние греки. Евдокс Книдский в пятом веке до нашей эры. обнаружили, что площадь диска пропорциональна квадрату его радиуса.^[1] Архимед использовал инструменты Евклидова геометрия чтобы показать, что площадь внутри круга равна площади прямоугольный треугольник чье основание имеет длину окружности круга, а высота равна радиусу круга в его книге Измерение круга. Окружность 2πр, а площадь треугольника равна половине основания, умноженной на высоту, что дает площадь π р² для диска. До Архимеда Гиппократ Хиосский был первым, кто показал, что площадь диска пропорциональна квадрату его диаметра, как часть его квадратуры луна Гиппократа,^[2] но не идентифицировал константа пропорциональности.

Исторические аргументы

Исторически выдвигалось множество аргументов, чтобы установить уравнение ${\displaystyle A=\pi r^{2}}$ с разной степенью математической строгости. Самый известный из них - Архимед. метод истощения, одно из первых применений математической концепции предел, а также происхождение Аксиома архимеда который остается частью стандартной аналитической обработки система вещественных чисел. Первоначальное доказательство Архимеда не является строгим по современным стандартам, потому что оно предполагает, что мы можем сравнить длину дуги окружности с длиной секущей и касательной, а также аналогичные утверждения о площади, как геометрически очевидные.

Использование полигонов

Площадь правильный многоугольник половина его периметра умножена на апофема. По мере увеличения количества сторон правильного многоугольника многоугольник стремится к кругу, а апофема стремится к радиусу. Это говорит о том, что площадь диска равна половине длины окружности его ограничивающего круга, умноженной на радиус.^[3]

Доказательство архимеда

Следуя аргументу Архимеда в Измерение круга (ок. 260 г. до н. э.), сравните площадь, заключенную в круг, с прямоугольным треугольником, основание которого равно длине окружности круга, а высота равна радиусу круга. Если площадь круга не равна площади треугольника, то она должна быть больше или меньше. Мы устраняем каждый из них от противного, оставляя равенство как единственную возможность. Мы используем правильные многоугольники таким же образом.

Не больше

Круг с вписанным квадратом и восьмиугольником, показывающий разрыв области

Предположим, что область C заключенный в круг больше, чем площадь Т = ¹⁄₂cr треугольника. Позволять E обозначают превышение суммы. Вписать квадрат в круге так, чтобы его четыре угла лежали на круге. Между квадратом и кругом четыре сегмента. Если общая площадь этих зазоров, грамм₄, больше, чем E, разделите каждую дугу пополам. Это превращает вписанный квадрат во вписанный восьмиугольник и дает восемь сегментов с меньшим общим зазором, грамм₈. Продолжайте разделение до тех пор, пока не появится общая площадь зазора, грамм_п, меньше чем E. Теперь площадь вписанного многоугольника, п_п = C − грамм_п, должен быть больше треугольника.

${\displaystyle {\begin{aligned}E&{}=C-T\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C-G_{n}\\&{}>C-E\\P_{n}&{}>T\end{aligned}}}$

Но это приводит к следующему противоречию. Нарисуйте перпендикуляр от центра до середины стороны многоугольника; его длина, час, меньше радиуса окружности. Также пусть каждая сторона многоугольника имеет длину s; затем сумма сторон, нс, меньше длины окружности. Площадь полигона состоит из п равные треугольники с высотой час и база s, таким образом, равно ¹⁄₂нс. Но с тех пор час < р и нс < c, площадь многоугольника должна быть меньше площади треугольника, ¹⁄₂cr, противоречие. Следовательно, наше предположение, что C может быть больше, чем Т должно быть неправильно.

Не менее

Круг с описанным квадратом и восьмиугольником, показывающий зазор в площади

Предположим, что площадь, заключенная в круг, меньше площади Т треугольника. Позволять D обозначают сумму дефицита. Обведите квадрат так, чтобы середина каждого ребра лежала на окружности. Если общая площадь зазора между квадратом и кругом, грамм₄, больше, чем D, отрежьте углы касательными к кругу, чтобы получился описанный восьмиугольник, и продолжайте резать, пока площадь зазора не станет меньше D. Площадь многоугольника, п_п, должно быть меньше Т.

${\displaystyle {\begin{aligned}D&{}=T-C\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C+G_{n}\\&{}<C+D\\P_{n}&{}<T\end{aligned}}}$

Это тоже вызывает противоречие. В самом деле, перпендикуляр к середине каждой стороны многоугольника представляет собой радиус длиной р. А так как общая длина стороны больше длины окружности, многоугольник состоит из п одинаковых треугольников общей площадью более Т. Снова имеем противоречие, поэтому наше предположение, что C может быть меньше чем Т тоже должно быть неправильно.

Следовательно, должно быть так, чтобы площадь, ограниченная кругом, была точно такой же, как площадь треугольника. Это завершает доказательство.

Доказательство перестановки

Площадь круга перестановкой

Графики сторона, s ; апофема, а и площадь, А из правильные многоугольники из п стороны и по окружности 1, с основание, б из прямоугольник с такой же площадью - зеленая линия показывает корпус п = 6

После Сато Мошуна (Смит и Миками 1914, pp. 130–132) и Леонардо да Винчи (Бекманн 1976, п. 19), мы можем использовать вписанные правильные многоугольники по-другому. Допустим, мы вписываем шестиугольник. Разрежьте шестиугольник на шесть треугольников, отделив его от центра. Два противоположных треугольника касаются двух общих диаметров; сдвиньте их по одной так, чтобы радиальные края прилегали друг к другу. Теперь они образуют параллелограмм, со сторонами шестиугольника, образующими две противоположные кромки, одна из которых является основанием, s. Два радиальных края образуют наклонные стороны, а высота час равен своему апофема (как в доказательстве Архимеда). Фактически, мы также можем собрать все треугольники в один большой параллелограмм, поместив последовательные пары рядом друг с другом. То же самое верно, если мы увеличим его до восьми сторон и так далее. Для многоугольника с 2п сторон параллелограмм будет иметь основание длиной нс, а высота час. По мере увеличения количества сторон длина основания параллелограмма приближается к половине окружности круга, а его высота приближается к радиусу окружности. В пределе параллелограмм становится прямоугольником шириной πр и высота р.

Единичная площадь диска путем перестановки n полигонов.

многоугольник			параллелограмм
п	сторона		основание	высота	площадь
4	1.4142136		2.8284271	0.7071068	2.0000000
6	1.0000000		3.0000000	0.8660254	2.5980762
8	0.7653669		3.0614675	0.9238795	2.8284271
10	0.6180340		3.0901699	0.9510565	2.9389263
12	0.5176381		3.1058285	0.9659258	3.0000000
14	0.4450419		3.1152931	0.9749279	3.0371862
16	0.3901806		3.1214452	0.9807853	3.0614675
96	0.0654382		3.1410320	0.9994646	3.1393502
∞	1/∞		π	1	π

Современные доказательства

Существуют различные эквивалентные определения постоянной π. Традиционное определение в геометрии до исчисления - это отношение длины окружности к ее диаметру:

${\displaystyle \pi ={\frac {C}{D}}.}$

Однако, поскольку окружность круга не является примитивным аналитическим понятием, это определение не подходит для современных строгих методов лечения. Стандартное современное определение таково: π равен удвоенному наименьшему положительному корню из косинус функция или, что то же самое, полупериод синус (или косинус) функция. Функция косинуса может быть определена как степенной ряд, или как решение определенного дифференциальное уравнение. Это позволяет избежать любых ссылок на круги в определении π, так что утверждения об отношении π к окружности и площади кругов на самом деле являются теоремами, а не определениями, которые следуют из аналитических определений таких понятий, как «площадь» и «окружность».

Аналитические определения считаются эквивалентными, если согласовано, что окружность круга измеряется как выпрямляемая кривая с помощью интеграл

${\displaystyle C=2\int _{-R}^{R}{\frac {R\,dx}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}=2R\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

Интеграл справа - это абелев интеграл значение которого является полупериодом синус функция, равная π. Таким образом ${\displaystyle C=2\pi R=\pi D}$ рассматривается как истинная теорема.

Некоторые из следующих аргументов используют только понятия элементарного исчисления для воспроизведения формулы ${\displaystyle A=\pi r^{2}}$, но во многих случаях, чтобы рассматривать их как фактические доказательства, они неявно полагаются на тот факт, что можно разработать тригонометрические функции и фундаментальную константу π таким образом, который полностью не зависит от их отношения к геометрии. Мы указали, где это уместно, как каждое из этих доказательств может быть сделано полностью независимым от всей тригонометрии, но в некоторых случаях это требует более сложных математических идей, чем те, которые дает элементарное исчисление.

Лук доказательство

Площадь диска за счет интеграции кольца

Используя исчисление, мы можем постепенно суммировать площадь, разбивая диск на тонкие концентрические кольца, как слои лук. Это метод интеграция оболочки в двух измерениях. Для бесконечно тонкого кольца «луковицы» радиуса т, накопленная площадь 2πт дт, длина окружности кольца, умноженная на его бесконечно малую ширину (это кольцо можно аппроксимировать прямоугольником шириной = 2πт и высота =dt). Это дает элементарный интеграл для диска радиуса р.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\&{}=2\pi \left[{\frac {t^{2}}{2}}\right]_{0}^{r}\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}}$

Это строго обосновано правило многомерной замены в полярных координатах. А именно, площадь задается двойной интеграл постоянной функции 1 над самим диском. Если D обозначает диск, то двойной интеграл можно вычислить в полярные координаты следующее:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\iint _{D}1\ d(x,y)\\&{}=\iint _{D}t\ dt\ d\theta \\&{}=\int _{0}^{r}\int _{0}^{2\pi }t\ d\theta \ dt\\&{}=\int _{0}^{r}\left[t\theta \right]_{0}^{2\pi }dt\\&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\\end{aligned}}}$

что является тем же результатом, что и полученный выше.

Эквивалентное строгое обоснование, не опирающееся на специальные координаты тригонометрии, использует формула coarea. Определите функцию ${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ к ${\displaystyle \rho (x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$. Обратите внимание, что ρ - это Функция Липшица чей градиент является единичным вектором ${\displaystyle |\nabla \rho |=1}$ (почти всюду ). Позволять D быть диском ${\displaystyle \rho <1}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Мы покажем, что ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(D)=\pi }$, куда ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}}$ - двумерная мера Лебега в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Будем предполагать, что одномерный Мера Хаусдорфа круга ${\displaystyle \rho =r}$ является ${\displaystyle 2\pi r}$, длина окружности радиуса р. (Это можно принять как определение длины окружности.) Тогда по формуле коплощади

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}^{2}(D)&=\iint _{D}|\nabla \rho |\,d{\mathcal {L}}^{2}\\&=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {H}}^{1}(\rho ^{-1}(r)\cap D)\,dr\\&=\int _{0}^{1}{\mathcal {H}}^{1}(\rho ^{-1}(r))\,dr\\&=\int _{0}^{1}2\pi r\,dr=\pi .\end{aligned}}}$

Доказательство треугольника

Круг развернут в треугольник

Круг и треугольник равны по площади.

Подобно луковичному доказательству, описанному выше, мы могли бы использовать исчисление по-другому, чтобы получить формулу для площади диска. Рассмотрите возможность превращения концентрических кругов в прямые полосы. В результате получится прямоугольный треугольник с высотой r и 2πr (внешний ломтик лука) в качестве основы.

Нахождение площади этого треугольника даст площадь диска

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Area}}&{}={\frac {1}{2}}\cdot {\text{base}}\cdot {\text{height}}\\&{}={\frac {1}{2}}\cdot 2\pi r\cdot r\\&{}=\pi r^{2}\end{aligned}}}$

Противоположные и смежные углы для этого треугольника составляют соответственно в градусах 9,0430611 ..., 80,956939 ... и 0,1578311 ... OEIS: A233527, 1.4129651...OEIS: A233528.

Явно мы представляем себе разделение круга на треугольники, каждый с высотой, равной радиусу круга, и бесконечно малым основанием. Площадь каждого из этих треугольников равна ${\displaystyle 1/2\cdot r\cdot du}$. Суммируя (интегрируя) все площади этих треугольников, мы приходим к формуле для площади круга:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}r\,du\\&{}=\left[{\frac {1}{2}}ru\right]_{0}^{2\pi r}\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}}$

Это также может быть оправдано двойным интегралом постоянной функции 1 по диску путем обращения порядок интеграции и используя замену переменных в приведенном выше повторном интеграле:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\iint _{D}1\ d(x,y)\\&{}=\iint _{D}t\ dt\ d\theta \\&{}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}t\ dt\ d\theta \\&{}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}r^{2}\ d\theta \\\end{aligned}}}$

Делаем замену ${\displaystyle u=r\theta ,\ du=r\ d\theta }$ преобразует интеграл в

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}{\frac {r^{2}}{r}}du=\int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}r\ du\end{aligned}}}$

что совпадает с результатом выше.

Доказательство треугольника может быть переформулировано как применение Теорема Грина в форме расходимости потока (т.е. двумерная версия теорема расходимости ), избегая упоминания тригонометрии и константы π. Рассмотрим векторное поле ${\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} }$ в плоскости. Итак расхождение из р равна двум, а значит, площадь диска D равно

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\iint _{D}\operatorname {div} \mathbf {r} \,dA.}$

По теореме Грина это то же самое, что и внешний поток р через границу круга D:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\oint _{\partial D}\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} \,ds}$

куда п единица нормальная и ds - мера длины дуги. Для круга радиуса р с центром в начале координат, мы имеем ${\displaystyle |\mathbf {r} |=R}$ и ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {r} /R}$, поэтому указанное выше равенство

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\oint _{\partial D}\mathbf {r} \cdot {\frac {\mathbf {r} }{R}}\,ds={\frac {R}{2}}\oint _{\partial D}\,ds.}$

Интеграл ds по всему кругу ${\displaystyle \partial D}$ это просто длина дуги, которая является ее окружностью, поэтому это показывает, что площадь А заключенный в кружок равен ${\displaystyle R/2}$ умножить на длину окружности круга.

Другое доказательство, использующее треугольники, считает, что область, заключенная в круг, состоит из бесконечного числа треугольников (т.е. каждый треугольник имеет угол dθ в центре круга), каждая с площадью 1/2 · р² · Dθ (получено из выражения для площади треугольника: 1/2 · A · b · sinθ = 1/2 · R · r · sin (dθ) = 1/2 · р² · Dθ). Обратите внимание, что грех (dθ) ≈ dθ из-за приближение малых углов. Таким образом, суммируя площади треугольников, можно найти выражение для площади круга:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} &{}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}r^{2}\,d\theta \\&{}=\left[{\frac {1}{2}}r^{2}\theta \right]_{0}^{2\pi }\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}}$

Полукруглое доказательство

Обратите внимание, что площадь полукруга радиуса r может быть вычислена с помощью интеграла ${\displaystyle \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx}$.

Полукруг радиуса р

К тригонометрическая замена, мы подставляем ${\displaystyle x=r\sin \theta }$, следовательно ${\displaystyle dx=r\cos \theta \,d\theta .}$

${\displaystyle \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx}$

${\displaystyle =\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {r^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}\cdot r\cos \theta \,d\theta }$

${\displaystyle =2r^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}\theta \,d\theta }$

${\displaystyle ={\frac {\pi r^{2}}{2}}.}$

Последний шаг следует, поскольку тригонометрическое тождество ${\displaystyle \cos(\theta )=\sin(\pi /2-\theta )}$ подразумевает, что ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$ и ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ имеют равные интегралы на интервале ${\displaystyle [0,\pi /2]}$, с помощью интеграция путем замены. Но с другой стороны, поскольку ${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$, сумма двух интегралов - это длина этого интервала, который равен ${\displaystyle \pi /2}$. Следовательно, интеграл от ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$ равна половине длины этого интервала, который равен ${\displaystyle \pi /4}$.

Следовательно, площадь круга радиуса р, что в два раза больше площади полукруга, равно ${\displaystyle 2\cdot {\frac {\pi r^{2}}{2}}=\pi r^{2}}$.

Это конкретное доказательство может вызвать вопрос, если функции синуса и косинуса, участвующие в тригонометрической подстановке, считаются определенными по отношению к окружностям. Однако, как отмечалось ранее, можно определить синус, косинус и π способом, который полностью не зависит от тригонометрии, и в этом случае доказательство действительно формула замены переменных и Теорема Фубини, предполагая основные свойства синуса и косинуса (что также можно доказать, не предполагая ничего об их отношении к окружностям).

Изопериметрическое неравенство

Круг - это замкнутая кривая с наименьшим периметром, охватывающая максимальную площадь. Это известно как изопериметрическое неравенство, который утверждает, что если спрямляемая жорданова кривая в евклидовой плоскости имеет периметр C и огораживает территорию А (посредством Теорема Жордана ) тогда

${\displaystyle 4\pi A\leq C^{2}.}$

Более того, равенство в этом неравенстве выполняется тогда и только тогда, когда кривая представляет собой окружность, и в этом случае ${\displaystyle A=\pi r^{2}}$ и ${\displaystyle C=2\pi r}$.

Быстрое приближение

Расчеты, которые Архимед использовал для численной аппроксимации площади, были трудоемкими, и он остановился на многоугольнике с 96 сторонами. Более быстрый метод использует идеи Виллеброрд Снелл (Cyclometricus, 1621), дальнейшее развитие Кристиан Гюйгенс (De Circuli Magnitudine Inventa, 1654), описанный в Герретсен и Вердендуин (1983) С. 243–250).

Метод удвоения архимеда

Дан круг, пусть ты_п быть периметр зарегистрированного регулярного н-гон, и пусть U_п быть периметром ограниченного регулярного н-гон. потом ты_п и U_п - нижняя и верхняя границы окружности круга, которые становятся все более и более резкими при п увеличивается, а их среднее (ты_п + U_п) / 2 - особенно хорошее приближение к окружности. Вычислить ты_п и U_п для больших п, Архимед вывел следующие формулы удвоения:

${\displaystyle u_{2n}={\sqrt {U_{2n}u_{n}}}}$   (среднее геометрическое ), и

${\displaystyle U_{2n}={\frac {2U_{n}u_{n}}{U_{n}+u_{n}}}}$    (гармоническое среднее ).

Начиная с шестиугольника, Архимед удвоился п четыре раза, чтобы получить 96-угольник, что дает ему хорошее приближение к длине окружности.

В современных обозначениях мы можем воспроизвести его вычисление (и пойти дальше) следующим образом: для единичной окружности вписанный шестиугольник имеет ты₆ = 6, а описанный шестиугольник имеет U₆ = 4√3.Увеличение урожайности в семь раз.

Архимед удвоился семь раз; п = 6 × 2^k.

k	п	тып	Uп	тып + Uп/4
0	6	6.0000000	6.9282032	3.2320508
1	12	6.2116571	6.4307806	3.1606094
2	24	6.2652572	6.3193199	3.1461443
3	48	6.2787004	6.2921724	3.1427182
4	96	6.2820639	6.2854292	3.1418733
5	192	6.2829049	6.2837461	3.1416628
6	384	6.2831152	6.2833255	3.1416102
7	768	6.2831678	6.2832204	3.1415970

(Здесь ты_п + U_п/2 аппроксимирует длину окружности единичного круга, равную 2π, так ты_п + U_п/4 приблизительно π.)

Последняя запись таблицы имеет ³⁵⁵⁄₁₁₃ как один из наилучшие рациональные приближения, т.е. среди рациональных чисел со знаминателем до 113 нет лучшего приближения. ³⁵⁵⁄₁₁₃ также является отличным приближением к π, лучше, чем любое другое рациональное число со знаминателем менее 16604.^[4]

Уточнение Снелла – Гюйгенса

Снелл предложил (и Гюйгенс доказал) более жесткую связь, чем у Архимеда:

${\displaystyle n{\frac {3\sin {\frac {\pi }{n}}}{2+\cos {\frac {\pi }{n}}}}<\pi <n\left(2\sin {\frac {\pi }{3n}}+\tan {\frac {\pi }{3n}}\right).}$

Это для п = 48 дает лучшее приближение (около 3,14159292), чем метод Архимеда для п = 768.

Вывод формул удвоения Архимеда

Круг с подобными треугольниками: описанная сторона, вписанная сторона и дополнение, вписанная разделенная сторона и дополнение

Пусть одна сторона вписанного регулярного н-имеет длину s_п и коснитесь круга в точках A и B. Пусть A ′ - точка, противоположная A на окружности, так что A′A - диаметр, а A′AB - вписанный треугольник на диаметре. К Теорема Фалеса, это прямоугольный треугольник с прямым углом в B. Пусть длина A′B равна c_п, который мы называем дополнением s_п; таким образом c_п²+s_п² = (2р)². Пусть C делит дугу пополам от A до B, и пусть C ′ будет точкой напротив C на окружности. Таким образом, длина CA равна s_2п, длина C′A равна c_2п, а C′CA - прямоугольный треугольник диаметра C′C. Поскольку C делит дугу пополам от A до B, C′C перпендикулярно делит пополам хорду от A до B, скажем, в точке P.Треугольник C′AP, таким образом, является прямоугольным треугольником, и похожий к C′CA, поскольку они имеют общий угол в C ′. Таким образом, все три соответствующие стороны находятся в одинаковой пропорции; в частности, мы имеем C′A: C′C = C′P: C′A и AP: C′A = CA: C′C. Центр круга, O, делит A'A пополам, поэтому у нас также есть треугольник OAP, похожий на A'AB, с OP, равным половине длины A'B. Что касается длины стороны, это дает нам

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2n}^{2}&{}=\left(r+{\frac {1}{2}}c_{n}\right)2r\\c_{2n}&{}={\frac {s_{n}}{s_{2n}}}.\end{aligned}}}$

В первом уравнении C′P равно C′O + OP, длина р+¹⁄₂c_п, C′C - диаметр, 2р. Для единичного круга у нас есть знаменитое уравнение удвоения Людольф ван Сеулен,

${\displaystyle c_{2n}={\sqrt {2+c_{n}}}.}$

Если мы теперь ограничим регулярный н-угольник, со стороной A ″ B ″, параллельной AB, то OAB и OA ″ B ″ - аналогичные треугольники, с A ″ B ″: AB = OC: OP. Назовите описанную сторону S_п; тогда это S_п : s_п = 1 : ¹⁄₂c_п. (Мы снова использовали, что OP составляет половину длины A′B.) Таким образом, мы получаем

${\displaystyle c_{n}=2{\frac {s_{n}}{S_{n}}}.}$

Назовите вписанный периметр ты_п = нс_п, а описанный периметр U_п = нс_п. Тогда, комбинируя уравнения, мы имеем

${\displaystyle c_{2n}={\frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2{\frac {s_{2n}}{S_{2n}}},}$

так что

${\displaystyle u_{2n}^{2}=u_{n}U_{2n}.}$

Это дает среднее геометрическое уравнение.

Мы также можем вывести

${\displaystyle 2{\frac {s_{2n}}{S_{2n}}}{\frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2+2{\frac {s_{n}}{S_{n}}},}$

или же

${\displaystyle {\frac {2}{U_{2n}}}={\frac {1}{u_{n}}}+{\frac {1}{U_{n}}}.}$

Это дает гармоническое среднее уравнение.

Приближение дротика

Площадь единичного круга Интеграция Монте-Карло. Оценка по этим 900 образцам составляет 4 ×709/900 = 3.15111...

Когда нет более эффективных методов поиска областей, мы можем прибегнуть к «метанию дротиков». Этот Метод Монте-Карло использует тот факт, что если взяты случайные выборки, равномерно разбросанные по поверхности квадрата, в котором находится диск, доля выборок, попавших в диск, приблизительно равна отношению площади диска к площади квадрата. Это следует рассматривать как крайний метод вычисления площади диска (или любой формы), так как для получения необходимой точности требуется огромное количество выборок; оценка хорошая до 10^−п требуется около 100^п случайные выборки (Thijssen 2006, п. 273).

Конечная перестановка

Мы видели, что, разбивая диск на бесконечное количество частей, мы можем собрать их в прямоугольник. Замечательный факт, открытый сравнительно недавно (Лацкович 1990 ) состоит в том, что мы можем разрезать диск на большую, но конечный количество частей, а затем соберите части в квадрат равной площади. Это называется Проблема квадрата круга Тарского. Природа доказательства Лацковича такова, что оно доказывает существование такого разбиения (на самом деле, многих таких разбиений), но не показывает какого-либо конкретного разбиения.

Неевклидовы круги

Круги можно определить в неевклидова геометрия, и в частности в гиперболический и эллиптический самолеты.

Например, единичная сфера ${\displaystyle S^{2}(1)}$ представляет собой модель двумерной эллиптической плоскости. Он несет внутренняя метрика что возникает при измерении геодезический длина. Геодезические круги - это параллели в геодезическая система координат.

Точнее зафиксировать точку ${\displaystyle \mathbf {z} \in S^{2}(1)}$ что мы помещаем в зенит. С этим зенитом связана геодезическая полярная система координат. ${\displaystyle (\phi ,\theta )}$, ${\displaystyle 0\leq \phi \leq \pi }$, ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$, куда z это суть ${\displaystyle \phi =0}$. В этих координатах геодезическое расстояние от z в любую другую точку ${\displaystyle \mathbf {x} \in S^{2}(1)}$ имея координаты ${\displaystyle (\phi ,\theta )}$ это ценность ${\displaystyle \phi }$ в Икс. Сферический круг - это множество точек на геодезическом расстоянии р из точки зенита z. Эквивалентно с фиксированным вложением в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$сферический круг радиуса ${\displaystyle R\leq \pi }$ сосредоточен на z это набор Икс в ${\displaystyle S^{2}(1)}$ такой, что ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {z} =\cos R}$.

Мы также можем измерить площадь сферического диска, заключенного в сферический круг, используя меру внутренней поверхности на сфере. Площадь диска радиуса р тогда дается

${\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\sin(\phi )d\phi \,d\theta =2\pi (1-\cos R).}$

В более общем смысле, если сфера ${\displaystyle S^{2}(\rho )}$ имеет радиус кривизны ${\displaystyle \rho }$, то площадь диска радиуса р дан кем-то

${\displaystyle A=2\pi \rho ^{2}(1-\cos(R/\rho )).}$

Обратите внимание, что в качестве приложения Правило L'Hôpital, это стремится к евклидовой области ${\displaystyle \pi R^{2}}$ в плоском лимите ${\displaystyle \rho \to \infty }$.

Гиперболический случай аналогичен, с площадью диска собственного радиуса р в (постоянная кривизна ${\displaystyle -1}$) гиперболическая плоскость, заданная формулой

${\displaystyle A=2\pi (1-\cosh R)}$

где ch - это гиперболический косинус. В более общем смысле, для постоянной кривизны ${\displaystyle -k}$ гиперболическая плоскость, ответ

${\displaystyle A=2\pi k^{-2}(1-\cosh(kR)).}$

Эти тождества важны для сравнительных неравенств в геометрии. Например, область, ограниченная кругом радиуса р в плоском пространстве всегда больше, чем площадь сферического круга, и меньше, чем гиперболический круг, при условии, что все три круга имеют одинаковый (внутренний) радиус. То есть,

${\displaystyle 2\pi (1-\cos R)<\pi R^{2}<2\pi (1-\cosh R)}$

для всех ${\displaystyle R>0}$. Интуитивно это происходит потому, что сфера имеет тенденцию искривляться сама по себе, давая круги меньшей площади, чем в плоскости, в то время как гиперболическая плоскость при погружении в пространство образует полосы, которые создают дополнительную площадь. В более общем смысле верно, что площадь круга фиксированного радиуса р является строго убывающей функцией кривизны.

Во всех случаях, если ${\displaystyle k}$ кривизна (постоянная, положительная или отрицательная), тогда изопериметрическое неравенство для домена площадью А и периметр L является

${\displaystyle L^{2}\geq 4\pi A-kA^{2}}$

где равенство достигается именно для круга.^[5]

Обобщения

Мы можем растянуть диск, чтобы образовать эллипс. Потому что этот участок линейное преобразование плоскости, у него есть коэффициент искажения, который изменит площадь, но сохранит соотношения площадей. Это наблюдение можно использовать для вычисления площади произвольного эллипса из площади единичного круга.

Рассмотрим единичный круг, описанный квадратом со стороной 2. Преобразование превращает круг в эллипс путем растягивания или сжатия горизонтального и вертикального диаметров до большой и малой осей эллипса. Квадрат отправляется в прямоугольник, ограничивающий эллипс. Отношение площади круга к квадрату равно π/ 4, что означает, что отношение эллипса к прямоугольнику также равно π/ 4. Предполагать а и б - длины большой и малой осей эллипса. Поскольку площадь прямоугольника равна ab, площадь эллипса равна πab/4.

Мы также можем рассмотреть аналогичные измерения в более высоких измерениях. Например, мы можем захотеть найти объем внутри сферы. Когда у нас есть формула для площади поверхности, мы можем использовать тот же «луковичный» подход, который мы использовали для диска.

Библиография

• Архимед (1897), «Измерение круга», в Хит, Т. (ред.), Произведения Архимеда, Издательство Кембриджского университета
  (Первоначально опубликовано Издательство Кембриджского университета, 1897, на основе греческой версии Дж. Л. Хейберга.)
• Бекманн, Петр (1976), История Пи, Грифон Святого Мартина, ISBN  978-0-312-38185-1
• Герретсен, Дж .; Вердендуин П. (1983), «Глава 8: Многоугольники и многогранники», в Х. Бенке; Ф. Бахманн; К. Фладт; Х. Кунле (ред.), Основы математики, Том II: Геометрияв переводе С. Х. Гулда, MIT Press, стр. 243–250, ISBN  978-0-262-52094-2
  (Первоначально Grundzüge der Mathematik, Vandenhoeck & Ruprecht, Геттинген, 1971 г.)
• Лацкович, Миклош (1990), «Равносоставимость и несоответствие: решение проблемы квадрата круга Тарского», Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 404: 77–117, Дои:10.1515 / crll.1990.404.77, МИСТЕР  1037431
• Ланге, Серж (1985), «Длина круга», Математика! : Встречи со старшеклассниками, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-96129-3
• Смит, Дэвид Юджин; Миками, Ёсио (1914), История японской математики, Чикаго: Издательство Open Court, стр. 130–132, ISBN  978-0-87548-170-8
• Тийссен, Дж. М. (2006), Вычислительная физика, Cambridge University Press, стр. 273, г. ISBN  978-0-521-57588-1

Рекомендации

1. Стюарт, Джеймс (2003). Исчисление одной переменной ранние трансцендентальные (5-е изд.). Торонто ON: Брук / Коул. стр.3. ISBN  0-534-39330-6. Однако, косвенно рассуждая, Евдокс (V век до н.э.) использовал истощение, чтобы доказать известную формулу для определения площади диска: ${\displaystyle A=\pi r^{2}.}$
2. Хит, Томас Л. (2003), Учебное пособие по греческой математике, Courier Dover Publications, стр. 121–132, ISBN  0-486-43231-9.
3. Хилл, Джордж. Уроки геометрии: для начинающих, стр.124 (1894).
4. Не все наилучшие рациональные приближения являются подходящими дробями непрерывной дроби!
5. Исаак Чавел (2001), Изопериметрические неравенства, Издательство Кембриджского университета

внешняя ссылка

• Новости науки о проблеме Тарского