Изопериметрическое неравенство - Isoperimetric inequality

В математике изопериметрическое неравенство это геометрический неравенство с учетом периметра набора и его объема. В ${\displaystyle n}$-мерное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ нижняя граница неравенства площадь поверхности или же периметр ${\displaystyle \mathrm {per} (S)}$ набора ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ своим объем ${\displaystyle \mathrm {vol} (S)}$,

${\displaystyle \mathrm {per} (S)\geq n\,\mathrm {vol} (S)^{\frac {n-1}{n}}\,\mathrm {vol} (B_{1})^{\frac {1}{n}}}$,

куда ${\displaystyle B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ это единичная сфера. Равенство имеет место только тогда, когда ${\displaystyle S}$ это сфера в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

На самолете, т.е. когда ${\displaystyle n=2}$, изопериметрическое неравенство связывает квадрат длина окружности из замкнутая кривая и площадь охватываемой им плоской области. Изопериметрический буквально означает "иметь то же самое периметр ". В частности, в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, изопериметрическое неравенство гласит, для длины L замкнутой кривой и площади А охватываемой им плоской области, что

${\displaystyle L^{2}\geq 4\pi A,}$

и это равенство выполняется тогда и только тогда, когда кривая является окружностью.

В изопериметрическая проблема заключается в определении плоская фигура максимально возможной площади, чья граница имеет указанную длину.^[1] Тесно связанные Проблема Дидоны запрашивает область максимальной площади, ограниченную прямой и криволинейной дуга чьи конечные точки принадлежат этой линии. Он назван в честь Дидона, легендарный основатель и первая королева Карфаген. Решение изопериметрической задачи дается круг и был известен уже в Древняя Греция. Однако первое математически строгое доказательство этого факта было получено только в XIX веке. С тех пор было найдено множество других доказательств.

Изопериметрическая проблема была расширена множеством способов, например, на кривые на поверхности и в области в многомерных пространствах. Возможно, наиболее знакомым физическим проявлением трехмерного изопериметрического неравенства является форма капли воды. А именно, капля обычно принимает симметричную круглую форму. Поскольку количество воды в капле фиксировано, поверхностное натяжение придает капле форму, которая минимизирует площадь поверхности капли, а именно круглую сферу.

Изопериметрическая задача на плоскости

Если область не является выпуклой, «вмятину» на ее границе можно «перевернуть», чтобы увеличить площадь области, сохраняя при этом периметр неизменным.

Вытянутую форму можно сделать более круглой, сохранив фиксированный периметр и увеличив площадь.

Классический изопериметрическая проблема восходит к древности. Проблему можно сформулировать так: Среди всех закрытых кривые в плоскости фиксированного периметра, какая кривая (если есть) максимизирует площадь ее замкнутой области? Можно показать, что этот вопрос эквивалентен следующей проблеме: среди всех замкнутых кривых на плоскости, охватывающей фиксированную область, какая кривая (если таковая имеется) минимизирует периметр?

Эта проблема концептуально связана с принцип наименьшего действия в физика, в том смысле, что это можно сформулировать еще раз: каков принцип действия, который охватывает наибольшую площадь с наибольшей экономией усилий? Философ и ученый XV века, кардинал Николай Кузанский, считается вращающийся действие, процесс, посредством которого круг создается, чтобы быть наиболее прямым отражением в сфере чувственных впечатлений процесса, посредством которого создается вселенная. Немецкий астроном и астролог Иоганн Кеплер применили изопериметрический принцип при обсуждении морфологии Солнечной системы в Mysterium Cosmographicum (Священная Тайна Космоса, 1596).

Хотя круг кажется очевидным решением проблемы, доказать этот факт довольно сложно. Первый шаг к решению был сделан швейцарским геометром. Якоб Штайнер в 1838 г., используя геометрический метод, позже названный Симметризация Штейнера.^[2] Штайнер показал, что если решение существует, то это должен быть круг. Доказательство Штейнера было завершено позже несколькими другими математиками.

Штайнер начинает с некоторых легко понимаемых геометрических построений; например, можно показать, что любая замкнутая кривая, охватывающая область, которая не полностью выпуклый можно изменить, чтобы охватить большую площадь, «перевернув» вогнутые области, чтобы они стали выпуклыми. Кроме того, можно показать, что любую замкнутую кривую, которая не является полностью симметричной, можно «наклонить», чтобы охватить большую площадь. Единственная форма, которая является идеально выпуклой и симметричной, - это круг, хотя это само по себе не является строгим доказательством изопериметрической теоремы (см. Внешние ссылки).

На плоскости

Решение изопериметрической задачи обычно выражается в виде неравенство что связывает длину L замкнутой кривой и площади А охватываемой им плоской области. В изопериметрическое неравенство утверждает, что

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

и что равенство выполняется тогда и только тогда, когда кривая является окружностью. В площадь диска радиуса р является πR² а длина окружности 2πR, поэтому обе части неравенства равны 4π²р² в этом случае.

Найдены десятки доказательств изопериметрического неравенства. В 1902 г. Гурвиц опубликовал короткое доказательство с использованием Ряд Фурье это относится к произвольным выпрямляемые кривые (не предполагается гладким). Изящное прямое доказательство, основанное на сравнении гладкой простой замкнутой кривой с подходящей окружностью, было дано Э. Шмидтом в 1938 году. В нем используется только длина дуги формула, выражение для площади плоской области из Теорема Грина, а Неравенство Коши – Шварца.

Для данной замкнутой кривой изопериметрический фактор определяется как отношение его площади к площади круга, имеющего одинаковый периметр. Это равно

${\displaystyle Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}}}$

а изопериметрическое неравенство говорит, что Q ≤ 1. Эквивалентно изопериметрическое соотношение L²/А не менее 4π для каждой кривой.

Изопериметрический фактор регулярного п-угольник

${\displaystyle Q_{n}={\frac {\pi }{n\tan {\tfrac {\pi }{n}}}}.}$

Позволять ${\displaystyle C}$ - гладкая регулярная выпуклая замкнутая кривая. Тогда улучшенное изопериметрическое неравенство заявляет следующее

${\displaystyle L^{2}\geqslant 4\pi A+8\pi \left|{\widetilde {A}}_{0.5}\right|,}$

куда ${\displaystyle L,A,{\widetilde {A}}_{0.5}}$ обозначают длину ${\displaystyle C}$, площадь области, ограниченная ${\displaystyle C}$ и ориентированная область Каустика Вигнера из ${\displaystyle C}$соответственно, и равенство выполняется тогда и только тогда, когда ${\displaystyle C}$ это кривая постоянной ширины.^[3]

На сфере

Позволять C - простая замкнутая кривая на сфера радиуса 1. Обозначим через L длина C и по А территория, окруженная C. В сферическое изопериметрическое неравенство утверждает, что

${\displaystyle L^{2}\geq A(4\pi -A),}$

и что равенство выполняется тогда и только тогда, когда кривая является окружностью. На самом деле, есть два способа измерить сферическую площадь, ограниченную простой замкнутой кривой, но неравенство симметрично относительно взятия дополнения.

Это неравенство было обнаружено Поль Леви (1919), который также распространил его на более высокие измерения и общие поверхности.^[4]

В более общем случае произвольного радиуса р, это известно ^[5] который

${\displaystyle L^{2}\geq 4\pi A-{\frac {A^{2}}{R^{2}}}.}$

В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Изопериметрическое неравенство утверждает, что a сфера имеет наименьшую площадь поверхности на данный объем. Для ограниченного множества ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ с площадь поверхности ${\displaystyle \mathrm {per} (S)}$ и объем ${\displaystyle \mathrm {vol} (S)}$, изопериметрическое неравенство утверждает

${\displaystyle \mathrm {per} (S)\geq n\,\mathrm {vol} (S)^{\frac {n-1}{n}}\,\mathrm {vol} (B_{1})^{\frac {1}{n}}}$,

куда ${\displaystyle B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ это единичный мяч. Равенство выполняется, когда ${\displaystyle S}$ мяч в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. При дополнительных ограничениях по набору (например, выпуклость, регулярность, гладкая граница ) равенство выполняется только для шара. Но в целом ситуация более сложная. Соответствующий результат Шмидт (1949 г., Разд. 20.7) (более простое доказательство см. Бэблер (1957) ) разъясняется в Хадвигер (1957, Разд. 5.2.5) следующим образом. Экстремальный набор состоит из шара и «короны», не влияющей ни на объем, ни на площадь поверхности. То есть для компакта справедливо равенство ${\displaystyle S}$ если и только если ${\displaystyle S}$ содержит закрытый шар ${\displaystyle B}$ такой, что ${\displaystyle \mathrm {vol} (B)=\mathrm {vol} (S)}$ и ${\displaystyle \mathrm {per} (B)=\mathrm {per} (S).}$ Например, «корона» может быть кривой.

Доказательство неравенства следует непосредственно из Неравенство Брунна – Минковского. между набором ${\displaystyle S}$ и шар с радиусом ${\displaystyle \epsilon }$, т.е. ${\displaystyle B_{\epsilon }=\epsilon B_{1}}$. Взяв неравенство Брунна – Минковского в степень ${\displaystyle n}$, вычитая ${\displaystyle \mathrm {vol} (S)}$ с обеих сторон, разделив их на ${\displaystyle \epsilon }$, и принимая предел как ${\displaystyle \epsilon \to 0.}$ (Оссерман (1978); Федерер (1969, §3.2.43)).

В полной общности (Федерер 1969, §3.2.43), изопериметрическое неравенство утверждает, что для любого множества ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ чей закрытие имеет конечный Мера Лебега

${\displaystyle n\,\omega _{n}^{\frac {1}{n}}L^{n}({\bar {S}})^{\frac {n-1}{n}}\leq M_{*}^{n-1}(\partial S)}$

куда ${\displaystyle M_{*}^{n-1}}$ это (п-1) -мерный Минковский контент, L^п это п-мерная мера Лебега и ω_п объем единичный мяч в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Если граница S является исправимый, то содержанием Минковского будет (п-1) -мерный Мера Хаусдорфа.

В п-мерное изопериметрическое неравенство эквивалентно (для достаточно гладких областей) неравенству Неравенство Соболева на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с оптимальной константой:

${\displaystyle \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{\frac {n}{n-1}}\right)^{\frac {n-1}{n}}\leq n^{-1}\omega _{n}^{-{\frac {1}{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|}$

для всех ${\displaystyle u\in W^{1,1}(\mathbb {R} ^{n})}$.

В многообразиях Картана-Адамара

Многообразия Картана-Адамара являются полными односвязными многообразиями неположительной кривизны. Таким образом, они обобщают евклидово пространство. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, которое является многообразием Картана-Хадмара с нулевой кривизной. В 1970-х и начале 80-х годов Тьерри Обен, Миша Громов, Юрий Бураго, и Виктор Залгаллер предположил, что евклидово изопериметрическое неравенство

${\displaystyle \mathrm {per} (S)\geq n\mathrm {vol} (S)^{\frac {n-1}{n}}\mathrm {vol} (B_{1})^{\frac {1}{n}}}$

выполняется для ограниченных множеств ${\displaystyle S}$ в многообразиях Картана-Адамара, получившее название Гипотеза Картана – Адамара. В измерении 2 это было установлено еще в 1926 г. Андре Вайль, который был учеником Адамар в то время. В размерностях 3 и 4 гипотеза была доказана Брюс Кляйнер в 1992 г. и Крис Кроук в 1984 г. соответственно.

В пространстве с метрической мерой

Большая часть работ по изопериметрической проблеме была выполнена в контексте гладких областей в Евклидовы пространства или, в более общем смысле, в Римановы многообразия. Однако изопериметрическая проблема может быть сформулирована в гораздо большей общности, используя понятие Минковский контент. Позволять ${\displaystyle (X,\mu ,d)}$ быть метрическое пространство меры: Икс это метрическое пространство с метрика d, и μ это Мера Бореля на Икс. В граничная мера, или же Минковский контент, из измеримый подмножество А из Икс определяется как lim inf

${\displaystyle \mu ^{+}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0+}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon }},}$

куда

${\displaystyle A_{\varepsilon }=\{x\in X|d(x,A)\leq \varepsilon \}}$

является ε-расширение из А.

Изопериметрическая задача в Икс спрашивает, насколько маленьким может ${\displaystyle \mu ^{+}(A)}$ быть для данного μ(А). Если Икс это Евклидова плоскость с обычным расстоянием и Мера Лебега то этот вопрос обобщает классическую изопериметрическую задачу на плоские области, граница которых не обязательно гладкая, хотя ответ оказывается тем же самым.

Функция

${\displaystyle I(a)=\inf\{\mu ^{+}(A)|\mu (A)=a\}}$

называется изопериметрический профиль метрического пространства меры ${\displaystyle (X,\mu ,d)}$. Изопериметрические профили исследованы для Графики Кэли из дискретные группы и для специальных классов римановых многообразий (где обычно только области А с регулярной границей).

Для графиков

Основная статья: График расширителя

В теория графов, изопериметрические неравенства лежат в основе изучения графики расширения, которые разреженные графики которые имеют сильные свойства связности. Конструкции расширителей породили исследования в чистой и прикладной математике с несколькими приложениями для теория сложности, конструкция прочной компьютерная сеть, и теория коды с исправлением ошибок.^[6]

Изопериметрические неравенства для графов связывают размер подмножеств вершин с размером их границы, который обычно измеряется числом ребер, выходящих из подмножества (расширение ребер), или числом соседних вершин (расширение вершин). Для графика ${\displaystyle G}$ и ряд ${\displaystyle k}$, ниже приведены два стандартных изопериметрических параметра для графиков.^[7]

• Изопериметрический параметр края:

${\displaystyle \Phi _{E}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|E(S,{\overline {S}})|:|S|=k\right\}}$

• Изопериметрический параметр вершины:

${\displaystyle \Phi _{V}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|\Gamma (S)\setminus S|:|S|=k\right\}}$

Здесь ${\displaystyle E(S,{\overline {S}})}$ обозначает множество ребер, выходящих ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle \Gamma (S)}$ обозначает множество вершин, у которых есть сосед в ${\displaystyle S}$. Изопериметрическая проблема состоит в понимании того, как параметры ${\displaystyle \Phi _{E}}$ и ${\displaystyle \Phi _{V}}$ ведут себя для естественных семейств графов.

Пример: изопериметрические неравенства для гиперкубов

В ${\displaystyle d}$-размерный гиперкуб ${\displaystyle Q_{d}}$ это граф, вершинами которого являются все булевы векторы длины ${\displaystyle d}$, то есть множество ${\displaystyle \{0,1\}^{d}}$. Два таких вектора соединены ребром в ${\displaystyle Q_{d}}$ если они равны с точностью до одного битового переворота, то есть их Расстояние Хэмминга ровно единица. Ниже приведены изопериметрические неравенства для булевого гиперкуба.^[8]

Краевое изопериметрическое неравенство

Реберное изопериметрическое неравенство гиперкуба имеет вид ${\displaystyle \Phi _{E}(Q_{d},k)\geq k(d-\log _{2}k)}$. Эта граница жесткая, о чем свидетельствует каждый набор ${\displaystyle S}$ то есть множество вершин любого подкуба ${\displaystyle Q_{d}}$.

Вершинное изопериметрическое неравенство

Теорема Харпера^[9] Говорит, что Шары Хэмминга имеют самую маленькую границу вершины среди всех наборов заданного размера. Шары Хэмминга - это множества, содержащие все точки Вес Хэмминга в большинстве ${\displaystyle r}$ и нет точек веса Хэмминга больше, чем ${\displaystyle r+1}$ для некоторого целого числа ${\displaystyle r}$. Из этой теоремы следует, что любое множество ${\displaystyle S\subseteq V}$ с

${\displaystyle |S|\geq \sum _{i=0}^{r}{d \choose i}}$

удовлетворяет

${\displaystyle |S\cup \Gamma (S)|\geq \sum _{i=0}^{r+1}{d \choose i}.}$^[10]

В качестве особого случая рассмотрите набор размеров ${\displaystyle k=|S|}$ формы

${\displaystyle k={d \choose 0}+{d \choose 1}+\dots +{d \choose r}}$

для некоторого целого числа ${\displaystyle r}$. Тогда из сказанного выше следует, что точный изопериметрический параметр вершины равен

${\displaystyle \Phi _{V}(Q_{d},k)={d \choose r+1}.}$^[11]

Изопериметрическое неравенство для треугольников

Изопериметрическое неравенство для треугольников по периметру п и площадь Т утверждает, что^[12][13]

${\displaystyle p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T,}$

с равенством равносторонний треугольник. Это подразумевается через AM – GM неравенство, более сильным неравенством, которое также назвали изопериметрическим неравенством для треугольников:^[14]

${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{\frac {2}{3}}.}$

Смотрите также

• Теорема Бляшке – Лебега
• Проблема Чаплыгина
• Кривая-укорачивание потока
• График расширителя
• Гауссово изопериметрическое неравенство
• Изопериметрический размер
• Изопериметрическая точка
• Список неравенств треугольника
• Теорема о плоском сепараторе
• Смешанный объем

Примечания

1. Blåsjö, Виктор (2005). «Эволюция изопериметрической проблемы». Амер. Математика. Ежемесячно. 112 (6): 526–566. Дои:10.2307/30037526. JSTOR  30037526.
2. Дж. Штайнер, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze, J. Reine Angew Math. 18, (1838), стр. 281–296; и Gesammelte Werke Vol. 2, стр. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).
3. Звежинский, Михал (2016). «Улучшенное изопериметрическое неравенство и каустика Вигнера плоских овалов». J. Math. Анальный. Приложение. 442 (2): 726–739. arXiv:1512.06684. Дои:10.1016 / j.jmaa.2016.05.016.
4. Громов Михаил; Пансу, Пьер (2006). «Приложение C. Изопериметрическое неравенство Пола Леви». Метрические структуры для римановых и неримановых пространств. Современная классика Биркхойзера. Дордрехт: Спрингер. п. 519. ISBN  9780817645830.
5. Оссерман, Роберт. «Изопериметрическое неравенство». Бюллетень Американского математического общества. 84,6 (1978) http://www.ams.org/journals/bull/1978-84-06/S0002-9904-1978-14553-4/S0002-9904-1978-14553-4.pdf
6. Хори, Линиал и Виджерсон (2006)
7. Определения 4.2 и 4.3 Хори, Линиал и Виджерсон (2006)
8. Видеть Боллобаш (1986) и раздел 4 в Хори, Линиал и Виджерсон (2006)
9. Ср. Калабро (2004) или же Боллобаш (1986)
10. ср. Лидер (1991)
11. Также указано в Хори, Линиал и Виджерсон (2006)
12. Чакериан Г. Д. "Искаженное представление о геометрии". Гл. 7 дюйм Математические сливы (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.
13. «Изопериметрическое неравенство для треугольников».
14. Драгутин Свртан и Дарко Вельян, «Неевклидовы версии некоторых классических треугольных неравенств», Форум Geometricorum 12, 2012, 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217.pdf

Рекомендации

• Blaschke и Leichtweiß, Элементарная дифференциальная геометрия (на немецком языке), 5-е издание, полностью переработано К. Лейхтвейсом. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 1. Springer-Verlag, Нью-Йорк Гейдельберг Берлин, 1973 ISBN  0-387-05889-3
• Боллобаш, Бела (1986). Комбинаторика: системы множеств, гиперграфы, семейства векторов и комбинаторная вероятность. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-33703-8.
• Бураго (2001) [1994], «Изопериметрическое неравенство», Энциклопедия математики, EMS Press
• Калабро, Крис (2004). "Теорема Харпера" (PDF). Получено 8 февраля 2011.
• Капогна, Лука; Донателла Даниелли; Скотт Полс; Джереми Тайсон (2007). Введение в группу Гейзенберга и субриманову изопериметрическую проблему. Birkhäuser Verlag. ISBN  978-3-7643-8132-5.
• Фенчел, Вернер; Боннесен, Томми (1934). Theorie der konvexen Körper. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Берлин: 1. Verlag von Julius Springer.
• Фенчел, Вернер; Боннесен, Томми (1987). Теория выпуклых тел. Москва, Айдахо: Л. Борон, К. Кристенсон, Б. Смит. BCS Associates.
• Федерер, Герберт (1969). Геометрическая теория меры. Springer-Verlag. ISBN  3-540-60656-4..
• Громов, М.: "Изопериметрическое неравенство Пола Леви". Приложение C в Метрические структуры для римановых и неримановых пространств. На основе французского оригинала 1981 года. С приложениями М. Каца, П. Пансу и С. Семмеса. Перевод с французского Шона Майкла Бейтса. Прогресс в математике, 152. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1999.
• Хадвигер, Хьюго (1957). Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. Springer-Verlag..
• Хори, Шломо; Линиал, Натан; Виджерсон, Ави (2006). «Графики-расширители и их приложения» (PDF). Бюллетень (новая серия) Американского математического общества. 43 (4): 439–561. Дои:10.1090 / S0273-0979-06-01126-8.
• Лидер, Имре (1991). «Дискретные изопериметрические неравенства». Материалы симпозиумов по прикладной математике. 44. С. 57–80.
• Оссерман, Роберт (1978). «Изопериметрическое неравенство». Бык. Амер. Математика. Soc. 84 (6): 1182–1238. Дои:10.1090 / S0002-9904-1978-14553-4..
• Звежинский, Михал (2016). «Улучшенное изопериметрическое неравенство и каустика Вигнера плоских овалов». J. Math. Анальный. Приложение. 442 (2): 726–739. arXiv:1512.06684. Дои:10.1016 / j.jmaa.2016.05.016.
• Шмидт, Эрхард (1949). "Die Brunn-Minkowskische Ungleichung und ihr Spiegelbild sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Hugel in der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie. II". Математика. Nachr. 2 (3–4): 171–244. Дои:10.1002 / мана.19490020308..
• Бэблер, Ф. (1957). «Zum isoperimetrischen Problem». Arch. Математика. (Базель). 8: 52–65. Дои:10.1007 / BF01898439..

внешняя ссылка

• История изопериметрической проблемы в Конвергенция
• Трейберг: Несколько доказательств изопериметрического неравенства
• Изопериметрическая теорема в завязать узел