Гауссово изопериметрическое неравенство - Gaussian isoperimetric inequality

В математике Гауссово изопериметрическое неравенство, доказано Борис Цирельсон и Владимир Судаков,^[1] а позже независимо Кристер Борелл,^[2] утверждает, что среди всех наборов данных Гауссова мера в п-размерный Евклидово пространство, полупространства имеют минимальный гауссовский граничная мера.

Математическая формулировка

Позволять ${\displaystyle \scriptstyle A}$ быть измеримый подмножество ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} ^{n}}$ наделен стандартной гауссовой мерой ${\displaystyle \gamma ^{n}}$ с плотностью ${\displaystyle {\exp(-\|x\|^{2}/2)}/(2\pi )^{n/2}}$. Обозначим через

${\displaystyle A_{\varepsilon }=\left\{x\in \mathbf {R} ^{n}\,|\,{\text{dist}}(x,A)\leq \varepsilon \right\}}$

ε-продолжение А. Тогда Гауссово изопериметрическое неравенство утверждает, что

${\displaystyle \liminf _{\varepsilon \to +0}\varepsilon ^{-1}\left\{\gamma ^{n}(A_{\varepsilon })-\gamma ^{n}(A)\right\}\geq \varphi (\Phi ^{-1}(\gamma ^{n}(A))),}$

куда

${\displaystyle \varphi (t)={\frac {\exp(-t^{2}/2)}{\sqrt {2\pi }}}\quad {\rm {and}}\quad \Phi (t)=\int _{-\infty }^{t}\varphi (s)\,ds.}$

Доказательства и обобщения

Первоначальные доказательства Судакова, Цирельсона и Борелла основывались на Поль Леви с сферическое изопериметрическое неравенство.

Сергей Бобков доказал функциональное обобщение гауссовского изопериметрического неравенства из некоего «двухточечного аналитического неравенства».^[3] Бакри и Леду дали еще одно доказательство функционального неравенства Бобкова на основе полугруппа методы, которые работают в гораздо более абстрактной обстановке.^[4] Позже Барт и Мори дали еще одно доказательство, используя Броуновское движение.^[5]

Изопериметрическое неравенство Гаусса также следует из Неравенство Эрхарда.^[6][7]

Смотрите также

• Концентрация меры
• Неравенство Борелла – ТИС

Рекомендации

1. Судаков, В. Н .; Цирельсон Б.С. (1978-01-01) [Перевод из Записок научных семинаров Ленинградского отделения Математического института им. Стеклова АН СССР, Vol. 41, с. 14–24, 1974]. «Экстремальные свойства полупространств для сферически инвариантных мер». Журнал советской математики. 9 (1): 9–18. Дои:10.1007 / BF01086099. ISSN  1573-8795.
2. Борелл, Кристер (1975). "Неравенство Брунна-Минковского в пространстве Гаусса". Inventiones Mathematicae. 30 (2): 207–216. Дои:10.1007 / BF01425510. ISSN  0020-9910.
3. Бобков, С. Г. (1997). «Изопериметрическое неравенство на дискретном кубе и элементарное доказательство изопериметрического неравенства в пространстве Гаусса». Анналы вероятности. 25 (1): 206–214. Дои:10.1214 / aop / 1024404285. ISSN  0091-1798.
4. Бакры, Д .; Леду, М. (1996-02-01). "Изопериметрическое неравенство Леви – Громова для бесконечномерного диффузионного генератора". Inventiones Mathematicae. 123 (2): 259–281. Дои:10.1007 / s002220050026. ISSN  1432-1297.
5. Barthe, F .; Мори, Б. (2000-07-01). «Некоторые замечания по изопериметрии гауссовского типа». Annales de l'Institut Henri Poincaré B. 36 (4): 419–434. Дои:10.1016 / S0246-0203 (00) 00131-X. ISSN  0246-0203.
6. Латала, Рафал (1996). «Заметка о неравенстве Эрхарда». Studia Mathematica. 2 (118): 169–174. ISSN  0039-3223.
7. Борелл, Кристер (15 ноября 2003 г.). «Неравенство Эрхарда». Comptes Rendus Mathématique. 337 (10): 663–666. Дои:10.1016 / j.crma.2003.09.031. ISSN  1631-073X.