Погружение (математика) - Submersion (mathematics)

«Обычная точка» перенаправляется сюда. Относительно «регулярной точки алгебраического многообразия» см. Особая точка алгебраического многообразия.

В математика, а погружение это дифференцируемая карта между дифференцируемые многообразия чья дифференциал везде сюръективный. Это основная концепция в дифференциальная топология. Понятие субмерсии двойственно понятию погружение.

Определение

Позволять M и N быть дифференцируемые многообразия и ${\displaystyle f\colon M\to N}$ быть дифференцируемая карта между ними. Карта ж это погружение в точку ${\displaystyle p\in M}$ если это дифференциал

${\displaystyle Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}$

это сюръективный линейная карта.^[1] В таком случае п называется обычная точка карты ж, в противном случае, п это критическая точка. Точка ${\displaystyle q\in N}$ это обычное значение из ж если все точки п в прообраз ${\displaystyle f^{-1}(q)}$ - правильные точки. Дифференцируемая карта ж это погружение в каждую точку ${\displaystyle p\in M}$ называется погружение. Эквивалентно, ж является субмерсией, если ее дифференциал ${\displaystyle Df_{p}}$ имеет постоянный ранг равный размеру N.

Предупреждение: некоторые авторы используют термин критическая точка описать точку, где ранг из Матрица якобиана из ж в п не является максимальным.^[2] В самом деле, это более полезное понятие в теория сингулярности. Если размер M больше или равен размеру N то эти два понятия критической точки совпадают. Но если размер M меньше размера N, все точки являются критическими согласно приведенному выше определению (дифференциал не может быть сюръективным), но ранг якобиана может быть максимальным (если он равен dim M). Приведенное выше определение используется чаще; например, в формулировке Теорема Сарда.

Теорема о погружении

Учитывая погружение между гладкими многообразиями ${\displaystyle f\colon M\to N}$ то волокна из ${\displaystyle f}$, обозначенный ${\displaystyle M_{x}=f^{-1}(\{p\})}$ может быть снабжен структурой гладкого коллектора. Эта теорема вместе с Теорема вложения Уитни следует, что каждое гладкое многообразие можно описать как слой гладкого отображения ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$.

Например, рассмотрим ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ данный ${\displaystyle f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}.}$ Матрица Якоби есть

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.}$

Он имеет максимальный ранг в каждой точке, кроме ${\displaystyle (0,0,0)}$. Также волокна

${\displaystyle f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$

находятся пустой для ${\displaystyle t<0}$, и равняется точке, когда ${\displaystyle t=0}$. Следовательно, у нас есть только гладкое погружение ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\to \mathbb {R} _{>0},}$ и подмножества ${\displaystyle M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$ - двумерные гладкие многообразия для ${\displaystyle t>0}$.

Примеры

• Любая проекция ${\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}}$
• Локальные диффеоморфизмы
• Римановы субмерсии
• Проекция в гладкой векторный набор или более общий гладкий расслоение. Сюръективность дифференциала - необходимое условие существования локальная тривиализация.

Местная нормальная форма

Если ж: M → N это погружение в п и ж(п) = q ∈ N, то существует открытый район U из п в M, открытый район V из q в N, и местные координаты (Икс₁, …, Икс_м) в п и (Икс₁, …, Икс_п) в q такой, что ж(U) = V, и карта ж в этих локальных координатах - стандартная проекция

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

Отсюда следует, что полный прообраз ж⁻¹(q) в M обычной стоимости q в N под дифференцируемым отображением ж: M → N либо пусто, либо является дифференцируемым многообразием размерности тусклый M - тусклый Nвозможно отключен. Это содержание теорема о регулярном значении (также известный как теорема о погружении). В частности, вывод верен для всех q в N если карта ж это погружение.

Топологические многообразия субмерсий

Погружения также хорошо определены для общих топологические многообразия.^[3] Подмерсия топологического многообразия - это непрерывный сюрприз ж : M → N такое, что для всех п в M, для некоторых непрерывных графиков ψ в п и φ в f (p), карта ψ⁻¹ ∘ f ∘ φ равно карта проекции от р^м к р^п, где м = тусклый (M) ≥ п = тусклый (N).

Смотрите также

• Теорема Эресмана о расслоении

Заметки

1. Крампин и Пирани 1994, п. 243. ду Карму 1994, п. 185. Франкель 1997, п. 181. Галло, Хулин и Лафонтен 2004, п. 12. Косинский 2007, п. 27. Lang 1999, п. 27. Штернберг 2012, п. 378.
2. Арнольд, Гусейн-Заде и Варченко 1985.
3. Lang 1999, п. 27.

использованная литература

• Арнольд, Владимир И.; Гусейн-Заде, Сабир М.; Варченко Александр Николаевич (1985). Особенности дифференцируемых карт: Том 1. Birkhäuser. ISBN  0-8176-3187-9.
• Брюс, Джеймс У .; Гиблин, Питер Дж. (1984). Кривые и особенности. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-42999-4. Г-Н  0774048.
• Крампин, Майкл; Пирани, Феликс Арнольд Эдвард (1994). Применимая дифференциальная геометрия. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-23190-9.
• ду Карму, Манфредо Пердигау (1994). Риманова геометрия. ISBN  978-0-8176-3490-2.
• Франкель, Теодор (1997). Геометрия физики. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-38753-1. Г-Н  1481707.
• Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-20493-0.
• Косинский, Антони Альберт (2007) [1993]. Дифференциальные коллекторы. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-46244-8.
• Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии. Тексты для выпускников по математике. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-98593-0.
• Штернберг, Шломо Цви (2012). Кривизна в математике и физике. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-47855-5.