Теорема Сардса - Sards theorem

В математика, Теорема Сарда, также известный как Лемма Сарда или Теорема Морса – Сарда., является результатом математический анализ который утверждает, что набор критические значения (это изображение из набора критические точки ) из гладкая функция ж от одного Евклидово пространство или же многообразие другому это нулевой набор, т. е. имеет Мера Лебега 0. Это делает набор критических значений «маленьким» в смысле родовое свойство. Теорема названа в честь Энтони Морс и Артур Сард.

Заявление

Более конкретно,^[1] позволять

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

быть ${\displaystyle C^{k}}$, (то есть, ${\displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируемый ), куда ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$. Позволять ${\displaystyle X}$ обозначить критический набор из ${\displaystyle f,}$ который представляет собой набор точек ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ на котором Матрица якобиана из ${\displaystyle f}$ имеет классифицировать ${\displaystyle <m}$. Тогда изображение ${\displaystyle f(X)}$ имеет меру Лебега 0 в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

Интуитивно говоря, это означает, что хотя ${\displaystyle X}$ может быть большим, его изображение должно быть маленьким в смысле меры Лебега: ${\displaystyle f}$ может иметь много критических точки в домене ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, в нем должно быть несколько критических значения на изображении ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

В более общем плане результат также верен для отображений между дифференцируемые многообразия ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ размеров ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$, соответственно. Критический набор ${\displaystyle X}$ из ${\displaystyle C^{k}}$ функция

${\displaystyle f:N\rightarrow M}$

состоит из тех точек, в которых дифференциал

${\displaystyle df:TN\rightarrow TM}$

имеет ранг ниже, чем ${\displaystyle m}$ как линейное преобразование. Если ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$, то теорема Сарда утверждает, что образ ${\displaystyle X}$ имеет нулевую меру как подмножество ${\displaystyle M}$. Такая формулировка результата следует из версии для евклидовых пространств, когда счетный набор координатных пятен. Заключение теоремы является локальным утверждением, поскольку счетное объединение множеств нулевой меры является множеством нулевой меры, а свойство подмножества координатного пятна, имеющего нулевую меру, инвариантно относительно диффеоморфизм.

Варианты

Есть много вариантов этой леммы, которая играет основную роль в теория сингулярности среди других областей. Дело ${\displaystyle m=1}$ было доказано Энтони П. Морс в 1939 г.,^[2] и общий случай Артур Сард в 1942 г.^[1]

Версия для бесконечномерного Банаховы многообразия было доказано Стивен Смейл.^[3]

Утверждение весьма убедительно, и его доказательство требует анализа. В топология его часто цитируют - как в Теорема Брауэра о неподвижной точке и некоторые приложения в Теория Морса - чтобы доказать более слабое следствие, что «непостоянное гладкое отображение имеет хотя бы один обычное значение ».

В 1965 году Сард далее обобщил свою теорему, заявив, что если ${\displaystyle f:N\rightarrow M}$ является ${\displaystyle C^{k}}$ за ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$ и если ${\displaystyle A_{r}\subseteq N}$ это набор точек ${\displaystyle x\in N}$ такой, что ${\displaystyle df_{x}}$ имеет ранг строго ниже, чем ${\displaystyle r}$, то р-размерный Мера Хаусдорфа из ${\displaystyle f(A_{r})}$ равно нулю.^[4] В частности Хаусдорфово измерение из ${\displaystyle f(A_{r})}$ самое большее р. Предостережение: Хаусдорфово измерение ${\displaystyle f(A_{r})}$ может быть сколь угодно близким к р.^[5]

Смотрите также

• Родовое свойство

Рекомендации

1. Сард, Артур (1942), «Мера критических значений дифференцируемых карт», Бюллетень Американского математического общества, 48 (12): 883–890, Дои:10.1090 / S0002-9904-1942-07811-6, МИСТЕР  0007523, Zbl  0063.06720.
2. Морс, Энтони П. (Январь 1939 г.), «Поведение функции на ее критическом множестве», Анналы математики, 40 (1): 62–70, Дои:10.2307/1968544, JSTOR  1968544, МИСТЕР  1503449.
3. Смейл, Стивен (1965), "Бесконечномерная версия теоремы Сарда", Американский журнал математики, 87 (4): 861–866, Дои:10.2307/2373250, JSTOR  2373250, МИСТЕР  0185604, Zbl  0143.35301.
4. Сард, Артур (1965), "Мера Хаусдорфа критических изображений на банаховых многообразиях", Американский журнал математики, 87 (1): 158–174, Дои:10.2307/2373229, JSTOR  2373229, МИСТЕР  0173748, Zbl  0137.42501 а также Сард, Артур (1965), "Исправление к Хаусдорфовы меры критических образов на банаховых многообразиях", Американский журнал математики, 87 (3): 158–174, Дои:10.2307/2373229, JSTOR  2373074, МИСТЕР  0180649, Zbl  0137.42501.
5. "Покажи это f (C) имеет размерность Хаусдорфа не больше нуля ", Обмен стеком, 18 июля 2013 г.

дальнейшее чтение

• Хирш, Моррис В. (1976), Дифференциальная топология, Нью-Йорк: Springer, стр. 67–84, ISBN  0-387-90148-5.
• Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, МИСТЕР  0193578, Zbl  0129.13102.