Банахово многообразие - Banach manifold

В математика, а Банахово многообразие это многообразие по образцу Банаховы пространства. Таким образом, это топологическое пространство в котором каждая точка имеет район гомеоморфный для открытый набор в банаховом пространстве (более сложное и формальное определение дается ниже). Банаховы многообразия - это одна из возможностей расширения многообразий на бесконечный размеры.

Дальнейшее обобщение: Многообразия Фреше, заменяя банаховы пространства на Пространства фреше. С другой стороны, Гильбертово многообразие является частным случаем банахова многообразия, в котором многообразие локально моделируется на Гильбертовы пространства.

Определение

Позволять Икс быть набор. An атлас класса C^р, р ≥ 0, на Икс представляет собой набор пар (называемых диаграммы) (U_я, φ_я), я ∈ я, так что

1. каждый U_я это подмножество из Икс и союз из U_я это весь Икс;
2. каждый φ_я это биекция из U_я на открытое подмножество φ_я(U_я) некоторого банахова пространства E_я, и для любого я и j, φ_я(U_я ∩ U_j) открыт в E_я;
3. карта кроссовера

${\displaystyle \varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \varphi _{j}(U_{i}\cap U_{j})}$

является р-раз непрерывно дифференцируемые функция для каждого я и j в я, т.е. рth Производная Фреше

${\displaystyle \mathrm {d} ^{r}{\big (}\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}{\big )}:\varphi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \mathrm {Lin} {\big (}E_{i}^{r};E_{j}{\big )}}$

существует и является непрерывная функция с уважением к E_я-норма топология на подмножествах E_я и норма оператора топология на Lin (E_я^р; E_j.)

Затем можно показать, что существует уникальный топология на Икс так что каждый U_я открыт и каждый φ_я это гомеоморфизм. Очень часто это топологическое пространство считается Пространство Хаусдорфа, но это не обязательно с точки зрения формального определения.

Если все банаховы пространства E_я равны одному и тому же пространству Eатлас называется E-атлас. Однако это не так априори необходимо, чтобы банаховы пространства E_я быть в том же пространстве, или даже изоморфный в качестве топологические векторные пространства. Однако если две диаграммы (U_я, φ_я) и (U_j, φ_j) таковы, что U_я и U_j иметь непустой пересечение, быстрое изучение производная карты кроссовера

${\displaystyle \varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \varphi _{j}(U_{i}\cap U_{j})}$

показывает, что E_я и E_j действительно должны быть изоморфны как топологические векторные пространства. Кроме того, множество точек Икс ∈ Икс для которого есть диаграмма (U_я, φ_я) с Икс в U_я и E_я изоморфно данному банахову пространству E одновременно открыт и закрыто. Следовательно, без ограничения общности можно предположить, что на каждом связный компонент из Иксатлас - это E-атлас для некоторых фиксированных E.

Новый график (U, φ) называется совместимый с данным атласом {(U_я, φ_я) | я ∈ я } если карта кроссовера

${\displaystyle \varphi _{i}\circ \varphi ^{-1}:\varphi (U\cap U_{i})\to \varphi _{i}(U\cap U_{i})}$

является р-кратно непрерывно дифференцируемая функция для каждого я ∈ я. Два атласа называются совместимыми, если каждая карта в одном совместима с другим атласом. Совместимость определяет отношение эквивалентности по классу всех возможных атласов по Икс.

А C^р-многообразие структура на Икс затем определяется как выбор класса эквивалентности атласов на Икс класса C^р. Если все банаховы пространства E_я изоморфны как топологические векторные пространства (что гарантировано, если Икс является связаны ), то можно найти эквивалентный атлас, для которого все они равны некоторому банаховому пространству E. Икс затем называется E-многообразие, или кто-то говорит, что Икс является смоделированный на E.

Примеры

• Если (Икс, || ⋅ ||) - банахово пространство, то Икс является банаховым многообразием с атласом, содержащим единственную глобально определенную карту ( карта идентичности ).
• Аналогично, если U открытое подмножество некоторого банахова пространства, то U является банаховым многообразием. (См. Классификационную теорему ниже.)

Классификация с точностью до гомеоморфизма

Ни в коем случае нельзя утверждать, что конечномерное многообразие размерности п является глобально гомеоморфен р^п, или даже открытое подмножество р^п. Однако в бесконечномерном окружении можно классифицировать «хорошо воспитанный Банаховы многообразия с точностью до гомеоморфизма довольно красиво. Теорема Дэвида Хендерсона 1969 года утверждает, что каждая бесконечномерная отделяемый, метрика Банахово многообразие Икс возможно встроенный как открытое подмножество бесконечномерного сепарабельного гильбертова пространства, ЧАС (с точностью до линейного изоморфизма существует только одно такое пространство, обычно отождествляемое с ${\displaystyle \ell ^{2}}$). На самом деле результат Хендерсона сильнее: тот же вывод верен для любого метрического многообразия, смоделированного на сепарабельном бесконечномерном Fréchet space.

Гомеоморфизм вложения можно использовать как глобальную карту для Икс. Таким образом, в бесконечномерном сепарабельном метрическом случае «единственные» банаховы многообразия являются открытыми подмножествами гильбертова пространства.

Смотрите также

• Многообразие Фреше

Рекомендации

• Хендерсон, Дэвид В. (1969). «Бесконечномерные многообразия - это открытые подмножества гильбертова пространства». Бык. Амер. Математика. Soc. 75 (4): 759–762. Дои:10.1090 / S0002-9904-1969-12276-7. МИСТЕР  0247634.
• Ланг, Серж (1972). Дифференциальные коллекторы. Рединг, Массачусетс - Лондон - Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.
• Зейдлер, Эберхард (1997). Нелинейный функциональный анализ и его приложения. Том 4. Springer-Verlag New York Inc.
• Авраам, Ральф; Marsden, J. E .; Ратиу, Тюдор (1988). Многообразия, тензорный анализ и приложения. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-96790-7.