Теорема Брауэра о неподвижной точке - Brouwer fixed-point theorem

Теорема Брауэра о неподвижной точке это теорема о неподвижной точке в топология, названный в честь Л. Э. Дж. (Бертус) Брауэр. В нем говорится, что для любого непрерывная функция ${displaystyle f}$ отображение компактный выпуклый набор для себя есть точка ${displaystyle x_{0}}$ такой, что ${displaystyle f(x_{0})=x_{0}}$. Простейшие формы теоремы Брауэра относятся к непрерывным функциям ${displaystyle f}$ с закрытого интервала ${displaystyle I}$ в реальных числах себе или из закрытого диск ${displaystyle D}$ себе. Более общий вид, чем последний, для непрерывных функций из выпуклого компактного подмножества ${displaystyle K}$ из Евклидово пространство себе.

Среди сотен теоремы о неподвижной точке,^[1] Теорема Брауэра особенно хорошо известна, отчасти из-за ее использования во многих областях математики. В своей первоначальной области этот результат является одной из ключевых теорем, характеризующих топологию евклидовых пространств, наряду с Теорема Жордана, то теорема о волосатом шарике и Теорема Борсука – Улама..^[2]Это дает ему место среди основных теорем топологии.^[3] Теорема также используется для доказательства глубоких результатов о дифференциальные уравнения и рассматривается в большинстве вводных курсов по дифференциальная геометрия. Он появляется в маловероятных полях, таких как теория игры. В экономике теорема Брауэра о неподвижной точке и ее расширение, Теорема Какутани о неподвижной точке, играют центральную роль в доказательство существования из общее равновесие в рыночной экономике, разработанной в 1950-х годах лауреатами Нобелевской премии по экономике Кеннет Эрроу и Жерар Дебре.

Теорема была впервые изучена в связи с работой над дифференциальными уравнениями французских математиков из области Анри Пуанкаре и Шарль Эмиль Пикар. Доказательство результатов, таких как Теорема Пуанкаре – Бендиксона требует использования топологических методов. Эта работа конца XIX века открыла несколько последовательных версий теоремы. Общий случай был впервые доказан в 1910 г. Жак Адамар^[4] и по Луитцен Эгбертус Ян Брауэр.^[5]

Заявление

Теорема имеет несколько формулировок в зависимости от контекста, в котором она используется, и степени ее обобщения. Самым простым иногда является следующее:

В плоскости

Каждый непрерывная функция из закрыто диск сам по себе имеет по крайней мере одну фиксированную точку.^[6]

Это можно обобщить на произвольную конечную размерность:

В евклидовом пространстве

Каждая непрерывная функция из закрытый мяч из Евклидово пространство в самом себе имеет фиксированную точку.^[7]

Немного более общая версия выглядит следующим образом:^[8]

Выпуклый компакт

Каждая непрерывная функция из выпуклый компактный подмножество K евклидова пространства на K сам имеет фиксированную точку.^[9]

Еще более общая форма более известна под другим названием:

Теорема Шаудера о неподвижной точке

Всякая непрерывная функция из выпуклого компактного подмножества K из Банахово пространство к K сам имеет фиксированную точку.^[10]

Важность предварительных условий

Теорема верна только для множеств, компактный (таким образом, в частности, ограниченный и замкнутый) и выпуклый (или гомеоморфны выпуклой). Следующие примеры показывают, почему предварительные условия важны.

Ограниченность

Рассмотрим функцию

${displaystyle f(x)=x+1,}$

которая является непрерывной функцией из ${displaystyle mathbb {R} }$ себе. Поскольку он сдвигает каждую точку вправо, у него не может быть фиксированной точки. Космос ${displaystyle mathbb {R} }$ выпукло и замкнуто, но не ограничено.

Закрытость

Рассмотрим функцию

${displaystyle f(x)={frac {x+1}{2}},}$

которая является непрерывной функцией от открытого интервала (−1,1) к себе. В этом интервале каждая точка сдвигается вправо, поэтому не может иметь фиксированной точки. Пространство (−1,1) выпукло и ограничено, но не замкнуто. Функция ж делает имеют неподвижную точку на отрезке [−1,1], а именно ж(1) = 1.

Выпуклость

Выпуклость не является строго необходимой для BFPT. Поскольку задействованные свойства (непрерывность, фиксированная точка) инвариантны относительно гомеоморфизмы, BFPT эквивалентен формам, в которых требуется, чтобы область была замкнутым единичным шаром ${displaystyle D^{n}}$. По той же причине это верно для любого множества, гомеоморфного замкнутому шару (и, следовательно, также закрыто, ограниченный, связаны, без дыр, так далее.).

В следующем примере показано, что BFPT не работает для доменов с дырами. Рассмотрим функцию ${displaystyle f(x)=-x}$, которая является непрерывной функцией от единичной окружности к самой себе. С -x ≠ x выполняется для любой точки единичной окружности, ж не имеет фиксированной точки. Аналогичный пример работает для п-мерная сфера (или любая симметричная область, не содержащая начала координат). Единичная окружность замкнута и ограничена, но в ней есть отверстие (поэтому она не выпуклая). Функция ж делает имеют фиксированную точку для единичного диска, так как он берет начало в себя.

Формальное обобщение BFPT для областей без дырок может быть получено из Теорема Лефшеца о неподвижной точке.^[11]

Примечания

Непрерывная функция в этой теореме не обязана быть биективный или даже сюръективный.

Иллюстрации

Теорема имеет несколько иллюстраций из "реального мира". Вот несколько примеров.

1. Возьмите два листа миллиметровой бумаги одинакового размера с системами координат на них, положите один на стол, скомкайте (не разрывая и не порвав) второй и положите его любым способом поверх первого так, чтобы смятая бумага не выходит за пределы плоской. Тогда будет по крайней мере одна точка смятого листа, которая будет находиться непосредственно над соответствующей точкой (то есть точкой с такими же координатами) плоского листа. Это следствие п = 2 случай теоремы Брауэра, примененной к непрерывной карте, которая присваивает координатам каждой точки смятого листа координаты точки плоского листа непосредственно под ним.

2. Возьмите обычную карту страны и предположите, что эта карта выложена на столе внутри этой страны. На карте всегда будет точка «Вы здесь», которая представляет ту же точку в стране.

3. В трех измерениях следствием теоремы Брауэра о фиксированной точке является то, что независимо от того, сколько вы перемешиваете коктейль в стакане (или думаете о молочном коктейле), когда жидкость остановится, какая-то точка в жидкости будет оказаться в том же самом месте в стакане, что и до того, как вы предприняли какое-либо действие, предполагая, что конечное положение каждой точки является непрерывной функцией ее исходного положения, и что жидкость после перемешивания содержится в пространстве, первоначально занимаемом ею, и что стекло (и форма перемешиваемой поверхности) сохраняют выпуклый объем. Заказ коктейля встряхивается, не перемешивается нарушает условие выпуклости («тряска» определяется как динамическая серия невыпуклых инерционных состояний удержания в свободном свободном пространстве под крышкой). В этом случае теорема неприменима, и, таким образом, все точки расположения жидкости потенциально смещаются из исходного состояния.^{[нужна цитата ]}

Интуитивный подход

Объяснения, приписываемые Брауэру

Предполагается, что эта теорема возникла из наблюдения Брауэра над чашкой кофе.^[12]Если кто-то пытается растворить кусок сахара, оказывается, что всегда есть точка, которая не движется. Он пришел к выводу, что в любой момент на поверхности есть точка, которая не движется.^[13]Фиксированная точка не обязательно является точкой, которая кажется неподвижной, поскольку центр турбулентности немного перемещается. Результат не является интуитивно понятным, поскольку исходная фиксированная точка может стать подвижной, когда появится другая фиксированная точка.

Говорят, что Брауэр добавил: «Я могу сформулировать этот великолепный результат по-разному, я беру горизонтальный лист и другой идентичный, который я сминаю, сплющиваю и кладу на другой. Тогда острие смятого листа находится в том же месте, что и на другом листе ".^[13]Брауэр «расплющивает» лист, как утюг, не удаляя складок и складок. В отличие от примера с кофейной чашкой, пример мятой бумаги также демонстрирует, что может существовать более одной фиксированной точки. Это отличает результат Брауэра от других теорем о неподвижной точке, таких как Стефан Банах Х, что гарантирует уникальность.

Одномерный случай

В одном измерении результат интуитивно понятен и легко доказывается. Непрерывная функция ж определяется на отрезке [а, б] и принимает значения в том же интервале. Сказать, что эта функция имеет фиксированную точку, означает сказать, что ее график (темно-зеленый на рисунке справа) пересекает график функции, определенной на том же интервале [а, б] который отображает Икс к Икс (светло-зеленый).

Интуитивно понятно, что любая непрерывная линия от левого края квадрата до правого края обязательно должна пересекать зеленую диагональ. Чтобы доказать это, рассмотрим функцию грамм который отображает Икс к ж(Икс) - Икс. Это ≥ 0 на а и ≤ 0 наб. Посредством теорема о промежуточном значении, грамм имеет нуль в [а, б]; этот ноль - неподвижная точка.

Говорят, что Брауэр выразил это следующим образом: «Вместо того, чтобы исследовать поверхность, мы докажем теорему о куске струны. Давайте начнем со струны в развернутом состоянии, а затем перегибаем ее. Давайте сплющим перевернутую струну. Опять же, точка нити не изменила своего положения относительно своего исходного положения на развернутой нити ".^[13]

История

Теорема Брауэра о неподвижной точке была одним из первых достижений алгебраическая топология, и является основой более общих теоремы о неподвижной точке которые важны в функциональный анализ. Дело п = 3 впервые было доказано Пирс Бол в 1904 г. (опубликовано в Журнал für die reine und angewandte Mathematik ).^[14] Позже это было доказано Л. Э. Дж. Брауэр в 1909 г. Жак Адамар доказал общий случай в 1910 г.,^[4] и Брауэр в том же году нашел другое доказательство.^[5] Поскольку все эти ранние доказательства были неконструктивный косвенные доказательства, они противоречили утверждениям Брауэра интуиционист идеалы. Хотя существование неподвижной точки не является конструктивным в смысле конструктивизм в математике, методы приблизительный неподвижные точки, гарантированные теоремой Брауэра, теперь известны.^[15][16]

Предыстория

Для потоков в неограниченной области или в области с «дырой» теорема неприменима.

Теорема применима к любой области в форме диска, где она гарантирует наличие неподвижной точки.

Чтобы понять предысторию теоремы Брауэра о неподвижной точке, необходимо пройти через дифференциальные уравнения. В конце 19 века старая проблема^[17] из стабильность солнечной системы вернулся в фокус математического сообщества.^[18]Для ее решения потребовались новые методы. Как отмечает Анри Пуанкаре, который работал над проблема трех тел, нет никакой надежды найти точное решение: «Нет ничего более подходящего, чтобы дать нам представление о сложности проблемы трех тел и вообще всех проблем динамики, где нет равномерного интеграла и ряды Болина расходятся. "^[19]Он также отметил, что поиск приближенного решения не более эффективен: «чем больше мы стремимся получить точные приближения, тем больше будет отклоняться результат в сторону возрастающей неточности».^[20]

Он изучал вопрос, аналогичный вопросу о движении поверхности чашки кофе. Что вообще можно сказать о траекториях на поверхности, анимированных постоянным поток ?^[21] Пуанкаре обнаружил, что ответ можно найти в том, что мы сейчас называем топологический свойства в области, содержащей траекторию. Если эта область компактный, т.е. оба закрыто и ограниченный, то траектория либо становится стационарной, либо приближается к предельный цикл.^[22] Пуанкаре пошел еще дальше; если область такого же типа, как диск, как в случае с чашкой кофе, обязательно должна быть фиксированная точка. Эта неподвижная точка инвариантна относительно всех функций, которые связывают каждой точке исходной поверхности ее положение через короткий промежуток времени.т. Если область представляет собой круговую полосу или если она не закрыта,^[23] тогда это не обязательно так.

Чтобы лучше понять дифференциальные уравнения, родился новый раздел математики. Пуанкаре назвал это место анализа. Французский Encyclopdia Universalis определяет его как ветвь, которая «обрабатывает свойства объекта, которые остаются неизменными, если он деформируется непрерывно, без разрывов».^[24] В 1886 году Пуанкаре доказал результат, эквивалентный теореме Брауэра о неподвижной точке:^[25] хотя связь с предметом этой статьи еще не была очевидна.^[26] Чуть позже он разработал один из фундаментальных инструментов для лучшего понимания места анализа, теперь известный как фундаментальная группа или иногда группа Пуанкаре.^[27] Этот метод можно использовать для очень компактного доказательства обсуждаемой теоремы.

Метод Пуанкаре был аналогичен методу Эмиль Пикар, современный математик, обобщивший Теорема Коши – Липшица..^[28] Подход Пикарда основан на результате, который позже будет формализован другая теорема о неподвижной точке, названный в честь Банах. Вместо топологических свойств области в этой теореме используется тот факт, что рассматриваемая функция является сокращение.

Первые доказательства

Жак Адамар помог Брауэру формализовать свои идеи.

На заре 20-го века интерес к анализу места не остался незамеченным. Однако необходимость теоремы, эквивалентной обсуждаемой в этой статье, еще не была очевидна. Пирс Бол, а Латышский математик, применил топологические методы к изучению дифференциальных уравнений.^[29] В 1904 году он доказал трехмерный случай нашей теоремы:^[14] но его публикация не была замечена.^[30]

Наконец, Брауэр дал этой теореме первый патент на благородство. Его цели отличались от целей Пуанкаре. Этот математик был вдохновлен основами математики, особенно математическая логика и топология. Его первоначальный интерес заключался в попытке решить Пятая проблема Гильберта.^[31] В 1909 году во время путешествия в Париж он встретил Анри Пуанкаре, Жак Адамар, и Эмиль Борель. Последовавшие за этим обсуждения убедили Брауэра в важности лучшего понимания евклидовых пространств и стали началом плодотворного обмена письмами с Адамаром. В течение следующих четырех лет он сосредоточился на доказательстве некоторых великих теорем по этому вопросу. В 1912 году он доказал теорема о волосатом шарике для двумерной сферы, а также тот факт, что каждое непрерывное отображение двумерного шара в себя имеет фиксированную точку.^[32] Эти два результата сами по себе не были новостью. Как заметил Адамар, Пуанкаре показал теорему, эквивалентную теореме о волосатом шарике.^[33] Революционным аспектом подхода Брауэра было его систематическое использование недавно разработанных инструментов, таких как гомотопия, лежащая в основе концепции группы Пуанкаре. В следующем году Адамар обобщил обсуждаемую теорему на произвольную конечную размерность, но использовал другие методы. Ганс Фройденталь комментирует соответствующие роли следующим образом: «По сравнению с революционными методами Брауэра методы Адамара были очень традиционными, но участие Адамара в рождении идей Брауэра больше похоже на акушерку, чем на простого зрителя».^[34]

Подход Брауэра принес свои плоды, и в 1910 году он также нашел доказательство, справедливое для любого конечного измерения,^[5] а также другие ключевые теоремы, такие как неизменность размерности.^[35] В контексте этой работы Брауэр также обобщил Теорема Жордана к произвольной размерности и установили свойства, связанные с степень непрерывного отображения.^[36] Этот раздел математики, первоначально задуманный Пуанкаре и развитый Брауэром, изменил свое название. В 1930-х годах место проведения анализа стало алгебраическая топология.^[37]

Прием

Джон Нэш использовал теорему в теория игры для доказательства существования профиля равновесной стратегии.

Теорема доказала свою ценность более чем одним способом. В течение 20 века было разработано множество теорем о неподвижной точке, и даже раздел математики, названный теория неподвижной точки.^[38]Теорема Брауэра, вероятно, самая важная.^[39] Это также одна из основных теорем о топологии топологические многообразия и часто используется для доказательства других важных результатов, таких как Теорема Жордана.^[40]

Помимо теорем о неподвижной точке для более или менее договор функций, многие из них возникли прямо или косвенно из обсуждаемого результата. Непрерывное отображение замкнутого шара евклидова пространства на его границу не может быть тождественным на границе. Точно так же Теорема Борсука – Улама. говорит, что непрерывная карта из п-мерная сфера до р^п имеет пару противоположных точек, которые отображаются в одну точку. В конечномерном случае Теорема Лефшеца о неподвижной точке предоставил с 1926 г. метод подсчета фиксированных точек. В 1930 году теорема Брауэра о неподвижной точке была обобщена на Банаховы пространства.^[41] Это обобщение известно как Теорема Шаудера о неподвижной точке, результат, обобщенный С. Какутани на многозначные функции.^[42] Встречается также теорема и ее варианты вне топологии. Его можно использовать для доказательства Теорема Хартмана-Гробмана, который описывает качественное поведение некоторых дифференциальных уравнений вблизи определенных положений равновесия. Аналогичным образом теорема Брауэра используется для доказательства Центральная предельная теорема. Теорема также может быть найдена в доказательствах существования решений некоторых уравнения в частных производных.^[43]

Затронуты и другие области. В теория игры, Джон Нэш использовал теорему, чтобы доказать, что в игре Hex у белых есть выигрышная стратегия.^[44] В области экономики П. Бич объясняет, что некоторые обобщения теоремы показывают, что ее использование полезно для некоторых классических задач теории игр и в целом для состояний равновесия (Закон Хотеллинга ), финансовое равновесие и неполные рынки.^[45]

Знаменитость Брауэра связана не только с его топологической работой. Доказательства его великих топологических теорем являются неконструктивный,^[46] и неудовлетворенность Брауэра этим отчасти побудила его сформулировать идею конструктивность. Он стал создателем и ревностным защитником способа формализации математики, известного как интуиционизм, который в то время выступал против теория множеств.^[47] Брауэр отказался от своего первоначального доказательства теоремы о неподвижной точке. Первый алгоритм аппроксимации фиксированной точки был предложен Шарф Herbert.^[48] Тонкий аспект алгоритма Скарфа заключается в том, что он находит точку, почти исправлено функцией ж, но, как правило, не может найти точку, близкую к реальной фиксированной точке. На математическом языке, если ε выбрано очень маленьким, алгоритм Скарфа может быть использован для поиска точки Икс такой, что ж(Икс) очень близко к Икс, т.е. ${displaystyle d(f(x),x)<varepsilon }$. Но алгоритм Шарфа не может быть использован для поиска точки. Икс такой, что Икс очень близко к фиксированной точке: мы не можем гарантировать ${displaystyle d(x,y)<varepsilon ,}$ куда ${displaystyle f(y)=y.}$ Часто это последнее условие подразумевается под неформальной фразой «приближение к фиксированной точке».^{[нужна цитата ]}.

Очертания доказательств

Доказательство с использованием степени

Первоначальное доказательство Брауэра 1911 года основывалось на понятии степень непрерывного отображения. Современные версии доказательства также можно найти в литературе.^[49]

Позволять ${displaystyle K={overline {B(0)}}}$ обозначим замкнутый единичный шар в ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ с центром в начале координат. Предположим просто, что ${displaystyle f:K o K}$ непрерывно дифференцируемо. А обычное значение из ${displaystyle f}$ это точка ${displaystyle pin B(0)}$ так что Якобиан из ${displaystyle f}$ неособа в каждой точке прообраза ${displaystyle p}$. В частности, теорема об обратной функции, каждая точка прообраза ${displaystyle f}$ лежит в ${displaystyle B(0)}$ (интерьер ${displaystyle K}$). Степень ${displaystyle f}$ по обычной цене ${displaystyle pin B(0)}$ определяется как сумма знаков Определитель якобиана из ${displaystyle f}$ по прообразам ${displaystyle p}$ под ${displaystyle f}$:

${displaystyle operatorname {deg} _{p}(f)=sum _{xin f^{-1}(p)}operatorname {sign} left(det(Df(x))ight).}$

Степень - это, грубо говоря, количество «листов» прообраза. ж лежа на небольшой открытой площадке вокруг пс противоположным счетом листов, если они ориентированы противоположно. Таким образом, это обобщение номер намотки в более высокие измерения.

Степень удовлетворяет свойству гомотопическая инвариантность: позволять ${displaystyle f}$ и ${displaystyle g}$ - две непрерывно дифференцируемые функции, и ${displaystyle H_{t}(x)=tf+(1-t)g}$ за ${displaystyle 0leq tleq 1}$. Предположим, что точка ${displaystyle p}$ является обычным значением ${displaystyle H_{t}}$ для всех т. потом ${displaystyle deg _{p}f=deg _{p}g}$.

Если нет неподвижной точки границы ${displaystyle K}$, то функция

${displaystyle g(x)={frac {x-f(x)}{sup _{xin K}left|x-f(x)ight|}}}$

хорошо определен, и

${displaystyle H(t,x)={frac {x-tf(x)}{sup _{xin K}left|x-tf(x)ight|}}}$

определяет гомотопию от тождественной функции к ней. Функция идентичности имеет степень один в каждой точке. В частности, тождественная функция имеет степень один в начале координат, поэтому ${displaystyle g}$ также имеет степень один в начале координат. Как следствие, прообраз ${displaystyle g^{-1}(0)}$ не пусто. Элементы ${displaystyle g^{-1}(0)}$ в точности неподвижные точки исходной функции ж.

Это требует некоторой работы, чтобы сделать его полностью общим. Определение степени необходимо распространить на особые значения ж, а затем к непрерывным функциям. Более современное появление теория гомологии упрощает построение степени и поэтому стало стандартным доказательством в литературе.

Доказательство с использованием гомологии

Доказательство использует наблюдение, что граница из п-диск D^п является S^п−1, (п − 1)-сфера.

Иллюстрация ретракции F

Предположим от противного, что непрерывная функция ж : D^п → D^п имеет нет фиксированная точка. Это означает, что для каждой точки x в D^п, точки Икс и ж(Икс) различны. Поскольку они различны, для каждой точки x в D^п, мы можем построить уникальный луч из ж(Икс) к Икс и следуйте за лучом, пока он не пересечет границу S^п−1 (см. иллюстрацию). Называя эту точку пересечения F(Икс) определим функцию F : D^п → S^п−1 отправляя каждую точку на диске в соответствующую точку пересечения на границе. Как частный случай, когда x сам находится на границе, то точка пересечения F(Икс) должно быть Икс.

Следовательно, F - это особый тип непрерывной функции, известный как втягивание: каждая точка codomain (в этом случае S^п−1) - неподвижная точка F.

Интуитивно кажется маловероятным, что может произойти отказ от D^п на S^п−1, а в случае п = 1, невозможность более очевидна, потому что S⁰ (т. е. конечные точки отрезка D¹) даже не связано. Дело п = 2 менее очевидно, но может быть доказано с помощью основных аргументов, связанных с фундаментальные группы соответствующих пространств: ретракция вызовет инъективную групповой гомоморфизм из фундаментальной группы S¹ к тому из D², но первая группа изоморфна Z в то время как последняя группа тривиальна, поэтому это невозможно. Дело п = 2 также можно доказать от противного на основе теоремы о ненулевом векторные поля.

За п > 2, однако доказать невозможность ретракции сложнее. Один из способов - использовать группы гомологии: гомология ЧАС_п − 1(D^п) тривиально, а ЧАС_п − 1(S^п−1) бесконечно циклический. Это показывает, что ретракция невозможна, потому что снова ретракция индуцирует инъективный групповой гомоморфизм от последней к первой группе.

Доказательство с использованием теоремы Стокса

Чтобы доказать, что непрерывное отображение ${displaystyle F}$ имеет неподвижные точки, можно считать, что она гладкая, потому что если карта не имеет неподвижных точек, то ${displaystyle F_{epsilon }:=Fstar varphi _{epsilon }}$, его свертка с соответствующим успокаивающее средство (гладкая функция с достаточно малой опорой и целочисленная), даст гладкую функцию без неподвижных точек. Как и в доказательстве с использованием гомологии, проблема сводится к доказательству отсутствия гладкой ретракции ${displaystyle F}$ с бала ${displaystyle B}$ на его границу ${displaystyle partial B}$. Если ${displaystyle omega }$ это объемная форма на границе, то по Теорема Стокса,

${displaystyle 0<int _{partial B}omega =int _{partial B}F^{*}(omega )=int _{B}dF^{*}(omega )=int _{B}F^{*}(domega )=int _{B}F^{*}(0)=0}$

давая противоречие.

В более общем плане это показывает, что не существует гладкого ретракции с любого непустого гладкого ориентируемого компактного многообразия на его границу. Доказательство с использованием теоремы Стокса тесно связано с доказательством с использованием гомологии, потому что форма ${displaystyle omega }$ генерирует группа когомологий де Рама ${displaystyle H^{n-1}(partial B)}$ которая изоморфна группе гомологий ${displaystyle H_{n-1}(partial B)}$ к Теорема де Рама.

Комбинаторное доказательство

BFPT можно доказать, используя Лемма Спернера. Приведем схему доказательства для частного случая, когда ж функция из стандарта п-симплекс, ${displaystyle Delta ^{n},}$ себе, где

${displaystyle Delta ^{n}=left{Pin mathbb {R} ^{n+1}mid sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1{ ext{ and }}P_{i}geq 0{ ext{ for all }}iight}.}$

За каждую точку ${displaystyle Pin Delta ^{n},}$ также ${displaystyle f(P)in Delta ^{n}.}$ Следовательно, сумма их координат равна:

${displaystyle sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1=sum _{i=0}^{n}{f(P)_{i}}}$

Следовательно, по принципу "ячеек" для каждого ${displaystyle Pin Delta ^{n},}$ должен быть индекс ${displaystyle jin {0,ldots ,n}}$ так что ${displaystyle j}$-я координата ${displaystyle P}$ больше или равно ${displaystyle j}$-я координата его изображения под ж:

${displaystyle P_{j}geq f(P)_{j}.}$

Более того, если ${displaystyle P}$ лежит на k-размерная часть ${displaystyle Delta ^{n},}$ то по тому же аргументу индекс ${displaystyle j}$ можно выбрать из k + 1 координаты, которые не равны нулю на этой части лица.

Теперь воспользуемся этим фактом для построения раскраски Спернера. Для каждой триангуляции ${displaystyle Delta ^{n},}$ цвет каждой вершины ${displaystyle P}$ это индекс ${displaystyle j}$ такой, что ${displaystyle f(P)_{j}leq P_{j}.}$

По построению это раскраска Спернера. Следовательно, по лемме Шпернера существует п-мерный симплекс, вершины которого раскрашены всем множеством п + 1 доступные цвета.

Потому что ж непрерывен, этот симплекс можно сделать сколь угодно малым, выбрав сколь угодно тонкую триангуляцию. Следовательно, должна быть точка ${displaystyle P}$ которое удовлетворяет условию разметки во всех координатах: ${displaystyle f(P)_{j}leq P_{j}}$ для всех ${displaystyle j.}$

Поскольку сумма координат ${displaystyle P}$ и ${displaystyle f(P)}$ должны быть равны, все эти неравенства на самом деле должны быть равенствами. Но это значит, что:

${displaystyle f(P)=P.}$

То есть, ${displaystyle P}$ неподвижная точка ${displaystyle f.}$

Доказательство Хирша

Есть также быстрое доказательство Моррис Хирш, исходя из невозможности дифференцируемой ретракции. В косвенное доказательство начинается с того, что карта ж может быть аппроксимирован гладкой картой, сохраняющей свойство не фиксировать точку; это можно сделать с помощью Аппроксимационная теорема Вейерштрасса, Например. Затем определяется ретракция, как указано выше, которая теперь должна быть дифференцируемой. Такой отзыв должен иметь неособое значение, по Теорема Сарда, которое также не является сингулярным для ограничения на границу (что и является тождеством). Таким образом, прообраз будет 1-многообразием с краем. Граница должна содержать по крайней мере две конечные точки, обе из которых должны лежать на границе исходного шара, что невозможно при ретракции.

Р. Брюс Келлог, Тянь-Иен Ли и Джеймс А. Йорк превратил доказательство Хирша в вычислимый доказательство, наблюдая, что ретракт фактически определен везде, кроме неподвижных точек.^[50] Практически в любой точке qна границе (при условии, что это не неподвижная точка) одно многообразие с краем, упомянутым выше, действительно существует, и единственная возможность состоит в том, что оно ведет из q к фиксированной точке. Проследить такой путь от q к фиксированной точке, поэтому метод по существу вычислим.^[51] дал концептуально аналогичную версию доказательства гомотопии, которая распространяется на широкий круг связанных проблем.

Доказательство использования ориентированной области

Вариант предыдущего доказательства не использует теорему Сарда и выглядит следующим образом. Если ${displaystyle rcolon B o partial B}$ - плавный отвод, считается плавная деформация ${displaystyle g^{t}(x):=tr(x)+(1-t)x,}$ и гладкая функция

${displaystyle varphi (t):=int _{B}det Dg^{t}(x),dx.}$

Дифференцируя под знаком интеграла, нетрудно проверить, что φ′(т) = 0 для всех т, так φ - постоянная функция; противоречие, поскольку φ(0) - это п-размерный объем мяча, при этом φ(1) равен нулю. Геометрическая идея состоит в том, что φ(т) - ориентированная область грамм^т(B) (т.е. мера Лебега образа шара через грамм^тс учетом множественности и ориентации) и должна оставаться постоянной (как это очень ясно в одномерном случае). С другой стороны, поскольку параметр т передает форму от 0 до 1 на карте грамм^т непрерывно преобразуется от тождественной карты мяча к ретракции р, что является противоречием, поскольку ориентированная область единицы совпадает с объемом шара, а ориентированная область р обязательно равен 0, так как его изображение является границей шара, множества нулевой меры.

Доказательство с использованием игрового гекса

Совершенно другое доказательство, данное Дэвид Гейл основан на игре Hex. Основная теорема о Hex заключается в том, что ни одна игра не может закончиться ничьей. Это эквивалентно теореме Брауэра о неподвижной точке для размерности 2. Рассматривая п-мерные версии Hex, можно в общем доказать, что теорема Брауэра эквивалентна определенность Теорема для Hex.^[52]

Доказательство с использованием теоремы Лефшеца о неподвижной точке

Теорема Лефшеца о неподвижной точке утверждает, что если непрерывное отображение ж из конечного симплициального комплекса B имеет только изолированные фиксированные точки, то количество фиксированных точек, подсчитанных с кратностями (которые могут быть отрицательными), равно числу Лефшеца

${displaystyle displaystyle sum _{n}(-1)^{n}operatorname {Tr} (f|H_{n}(B))}$

и, в частности, если число Лефшеца не равно нулю, то ж должна иметь фиксированную точку. Если B является шаром (или, в более общем смысле, стягиваемым), то число Лефшеца равно единице, потому что единственная ненулевая группа гомологий:${displaystyle H_{0}(B)}$ и ж действует как личность в этой группе, поэтому ж имеет фиксированную точку.

Доказательство в слабой логической системе

В обратная математика, Теорема Брауэра доказывается в системе WKL₀, и наоборот, по базовой системе RCA₀ Из теоремы Брауэра для квадрата следует слабая лемма Кёнига, так что это дает точное описание силы теоремы Брауэра.

Обобщения

Теорема Брауэра о неподвижной точке является отправной точкой для ряда более общих теоремы о неподвижной точке.

Прямое обобщение на бесконечные измерения, т. Е. Использование единичного шара произвольной Гильбертово пространство вместо евклидова пространства, неверно. Основная проблема здесь в том, что единичные шары бесконечномерных гильбертовых пространств не являются компактный. Например, в гильбертовом пространстве ℓ² суммируемых с квадратом вещественных (или комплексных) последовательностей, рассмотрим карту ж : ℓ² → ℓ² который отправляет последовательность (Икс_п) из замкнутого единичного шара² к последовательности (у_п) определяется

${displaystyle y_{0}={sqrt {1-|x|_{2}^{2}}}qquad { ext{ and }}qquad y_{n}=x_{n-1}quad { ext{ for }}quad ngeq 1.}$

Нетрудно проверить, что это отображение непрерывно, имеет свой образ в единичной сфере², но не имеет фиксированной точки.

Таким образом, все обобщения теоремы Брауэра о неподвижной точке на бесконечномерные пространства включают в себя некоторое предположение компактности, а также часто предположение выпуклость. Видеть теоремы о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах для обсуждения этих теорем.

Существует также конечномерное обобщение на более широкий класс пространств: если ${displaystyle X}$ является произведением конечного числа цепных континуумов, то каждая непрерывная функция ${displaystyle f:Xightarrow X}$ имеет фиксированную точку,^[53] где цепной континуум - это (обычно, но в этом случае не обязательно метрика ) компактный Пространство Хаусдорфа из которых каждый открытая крышка имеет конечное открытое уточнение ${displaystyle {U_{1},ldots ,U_{m}}}$, так что ${displaystyle U_{i}cap U_{j}eq emptyset }$ если и только если ${displaystyle |i-j|leq 1}$. Примеры цепных континуумов включают компактные связные линейно упорядоченные пространства и, в частности, отрезки действительных чисел.

В Теорема Какутани о неподвижной точке обобщает теорему Брауэра о неподвижной точке в другом направлении: она остается в р^п, но считает верхний полунепрерывный многозначные функции (функции, которые назначают каждой точке набора подмножество набора). Также это требует компактности и выпуклости набора.

В Теорема Лефшеца о неподвижной точке применяется к (почти) произвольным компактным топологическим пространствам и дает условие в терминах особые гомологии что гарантирует наличие неподвижных точек; это условие тривиально выполняется для любого отображения в случае D^п.

Эквивалентные результаты

Существует несколько теорем о неподвижной точке, которые представлены в трех эквивалентных вариантах: алгебраическая топология вариант, комбинаторный вариант и вариант покрытия множества. Каждый вариант можно доказать отдельно, используя совершенно разные аргументы, но каждый вариант также можно свести к другим вариантам в своем ряду. Кроме того, каждый результат в верхней строке можно вывести из результата под ним в том же столбце.^[54]

Алгебраическая топология	Комбинаторика	Установить покрытие
Теорема Брауэра о неподвижной точке	Лемма Спернера	Лемма Кнастера – Куратовского – Мазуркевича.
Теорема Борсука – Улама.	Лемма Такера	Теорема Люстерника – Шнирельмана.

Смотрите также

• Теорема Банаха о неподвижной точке
• Бесконечные композиции аналитических функций
• равновесие по Нэшу
• Теорема Пуанкаре – Миранды - эквивалент теоремы Брауэра о неподвижной точке
• Топологическая комбинаторика

Примечания

1. Например. Ф & В Баярт Théorèmes du point fixe на [email protected] В архиве 26 декабря 2008 г. Wayback Machine
2. См. Страницу 15 из: D. Leborgne Рассчитать différentiel et géométrie Пуф (1982) ISBN  2-13-037495-6
3. Точнее, согласно Encyclopédie Universalis: Il en a démontré l'un des plus beaux théorèmes, le théorème du point fixe, dont les applications et généralisations, de la théorie des jeux aux équations différentielles, se sont révélées fondamentales. Луизен Брауэр Г. Саббаг
4. Жак Адамар: Примечание о приложениях индексов Кронекера в Жюль Кожевников: Введение в теорию функций переменных (Том 2), 2-е издание, A. Hermann & Fils, Париж, 1910, стр. 437–477 (французский)
5. Брауэр, Л. Э. Дж. (1911). "Über Abbildungen von Mannigfaltigkeiten". Mathematische Annalen (на немецком). 71: 97–115. Дои:10.1007 / BF01456931.
6. Д. Виолетт Applications du lemme de Sperner pour les triangles Бюллетень AMQ, V. XLVI N ° 4, (2006) стр.17. В архиве 8 июня 2011 г. Wayback Machine
7. Страница 15 из: D. Leborgne Рассчитать différentiel et géométrie Пуф (1982) ISBN  2-13-037495-6.
8. Эта версия непосредственно следует из предыдущей, потому что каждое выпуклое компактное подмножество евклидова пространства гомеоморфно замкнутому шару той же размерности, что и подмножество; видеть Флоренцано, Моник (2003). Анализ общего равновесия: существование и свойства оптимальности равновесий. Springer. п. 7. ISBN  9781402075124. Получено 2016-03-08.
9. В. и Ф. Баярт Point fixe, et théorèmes du point fixe на Bibmath.net. В архиве 26 декабря 2008 г. Wayback Machine
10. К. Минаццо К. Райдер Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Différentielles Université de Nice-Sophia Antipolis.
11. Белк, Джим. «Почему для неподвижных точек Брауэра требуется выпуклость?». Math StackExchange. Получено 22 мая 2015.
12. Этот анекдот интересен его интуитивным и дидактическим характером, но его точность вызывает сомнения. Как показывает исторический раздел, теорема возникла не из рук Брауэра. Более 20 лет назад Анри Пуанкаре доказал эквивалентный результат, а за 5 лет до этого Брауэр П. Бол доказал трехмерный случай.
13. Эта цитата взята из телевизионной передачи: Архимед, Arte, 21 сентября 1999 г.
14. Бол, П. (1904). "Über die Bewegung eines Mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage". J. Reine Angew. Математика. 127 (3/4): 179–276.
15. Карамардян, Стефан (1977). Фиксированные точки: алгоритмы и приложения. Нью-Йорк: Academic Press. ISBN  978-0-12-398050-2.
16. Истрэшеску, Василе (1981). Теория фиксированной точки. Дордрехт-Бостон, Массачусетс: D. Reidel Publishing Co. ISBN  978-90-277-1224-0.
17. См. Ф. Брехенмахер. L'identité algébrique d'une pratique portée par la Discation Sur l'équation à l'aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des planètes CNRS Fédération de Recherche Mathématique du Nord-Pas-de-Calais
18. Анри Пуанкаре выиграл Король Швеции математический конкурс в 1889 году за его работы по родственной проблема трех тел: Жак Титс Célébrations nationales 2004 Site du Ministère Культура и коммуникации
19. Анри Пуанкаре Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste Т. Готье-Виллар, Том 3, стр. 389 (1892), новое издание, Париж: Бланшар, 1987.
20. Цитата из Анри Пуанкаре взято из: П. А. Микель La catégorie de désordre В архиве 2016-03-03 в Wayback Machine, на веб-сайте Ассоциации румянских франкофонов и научных работников.
21. Этот вопрос изучался в: Пуанкаре, Х. (1886). "Sur les Courbes définies par les équations différentielles". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 2 (4): 167–244.
22. Это следует из Теорема Пуанкаре – Бендиксона.
23. Умножение на 1/2 на] 0, 1 [² не имеет фиксированной точки.
24. "Concerne les propriétés invariantes d'une figure lorsqu'on la déforme de manière continue quelconque, sans déchirure (par instance, dans le cas de la deformation de la sphère, les propriétés corrélatives des objets tracés sur sa surface". Из К. Хузеля). М. Пэти Пуанкаре, Анри (1854–1912) В архиве 2010-10-08 на Wayback Machine Универсальная энциклопедия Альбина Мишеля, Париж, 1999, стр. 696–706
25. Теорема Пуанкаре изложена в: I. Istratescu Теория фиксированной точки - введение Kluwer Academic Publishers (издание 2001 г.) стр. 113 ISBN  1-4020-0301-3
26. М.И. Войцеховский Теорема Брауэра Энциклопедия математики ISBN  1-4020-0609-8
27. Дьедонне, Жан (1989). История алгебраической и дифференциальной топологии, 1900–1960 гг.. Бостон: Биркхойзер. стр.17–24. ISBN  978-0-8176-3388-2.
28. См. Например: Эмиль Пикар Sur l'application des méthodes d'approximations, l'étude de specifices équations différentielles ordinaires В архиве 2011-07-16 на Wayback Machine Journal de Mathématiques, стр. 217 (1893 г.)
29. Дж. Дж. О'Коннор Э. Ф. Робертсон Пирс Бол
30. Myskis, A.D .; Рабинович, И. М. (1955). "Первое доказательство теоремы о неподвижной точке при непрерывном отображении шара себя, заданным латышским математиком П.Голем. [Первое доказательство теоремы о неподвижной точке для непрерывного отображения сферы в себя, данное латвийским математиком П. Г. Болем]. Успехи математических наук (на русском). 10 (3): 188–192.
31. Дж. Дж. О'Коннор Э. Ф. Робертсон Луитцен Эгбертус Ян Брауэр
32. Фройденталь, Ганс (1975). «Колыбель современной топологии согласно inedita Брауэра». Historia Mathematica. 2 (4): 495–502 [стр. 495]. Дои:10.1016/0315-0860(75)90111-1.
33. Фройденталь, Ганс (1975). «Колыбель современной топологии согласно inedita Брауэра». Historia Mathematica. 2 (4): 495–502 [стр. 495]. Дои:10.1016/0315-0860(75)90111-1. ... cette dernière propriété, bien que sous des hypothèses plus grosières, ait été démontré par H. Poincaré
34. Фройденталь, Ганс (1975). «Колыбель современной топологии согласно inedita Брауэра». Historia Mathematica. 2 (4): 495–502 [стр. 501]. Дои:10.1016/0315-0860(75)90111-1.
35. Если открытое подмножество многообразие является гомеоморфный открытому подмножеству евклидова пространства размерности п, и если п положительное целое число, отличное от п, то открытое множество никогда не гомеоморфно открытому подмножеству евклидова пространства размерности п.
36. Дж. Дж. О'Коннор Э. Ф. Робертсон Луитцен Эгбертус Ян Брауэр.
37. Период, термин алгебраическая топология впервые появился в 1931 году под пером Дэвида ван Данцига: Дж. Миллер. Топологическая алгебра на сайте «Самые ранние известные применения некоторых слов математики» (2007)
38. В. И. Истратеску Теория неподвижной точки. Введение Kluwer Academic Publishers (новое издание 2001 г.) ISBN  1-4020-0301-3.
39. «... Теорема Брауэра о неподвижной точке, возможно, самая важная теорема о неподвижной точке». p xiii В. И. Истратеску Теория фиксированной точки - введение Kluwer Academic Publishers (новое издание 2001 г.) ISBN  1-4020-0301-3.
40. Например: С. Гринвуд Дж. Цао Теорема Брауэра о неподвижной точке и теорема о кривой Жордана Оклендский университет, Новая Зеландия.
41. Шаудер, Дж. (1930). "Der Fixpunktsatz in Funktionsräumen". Studia Mathematica. 2: 171–180. Дои:10.4064 / см-2-1-171-180.
42. Какутани, С. (1941). «Обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке». Математический журнал герцога. 8 (3): 457–459. Дои:10.1215 / S0012-7094-41-00838-4.
43. Эти примеры взяты из: F. Boyer Теории фиксированных точек и приложений CMI Université Поль Сезанн (2008–2009) Архивная копия в WebCite (1 августа 2010 г.).
44. Контекст и ссылки см. В статье Hex (настольная игра).
45. П. Бич Une extension discontinue du théorème du point fixe de Schauder, et quelques applications en économie В архиве 11 июня 2011 г. Wayback Machine Институт Анри Пуанкаре, Париж (2007)
46. Подробное объяснение см .: Дубукс, Дж. П. (1988). "Л. Дж. Э. Брауэр: топология и конструктивизм". Revue d'Histoire des Sciences. 41 (2): 133–155. Дои:10.3406 / справа.1988.4094.
47. Позже будет показано, что формализм, с которым боролся Брауэр, также может служить для формализации интуиционизма с некоторыми изменениями. Подробнее см. конструктивная теория множеств.
48. Х. Скарф нашел первое алгоритмическое доказательство: М.И. Войцеховский Теорема Брауэра Энциклопедия математики ISBN  1-4020-0609-8.
49. Тешл, Джеральд (2005), «14.4: Теорема Брауэра о неподвижной точке», Темы реального и функционального анализа, получено 2016-03-08
50. Келлог, Ли и Йорк, 1976.
51. Чоу, Маллет-Парет и Йорк 1978.
52. Дэвид Гейл (1979). "Игра шестиугольника и теорема Брауэра о неподвижной точке". Американский математический ежемесячник. 86 (10): 818–827. Дои:10.2307/2320146. JSTOR  2320146.
53. Элдон Дайер (1956). «Теорема о неподвижной точке». Труды Американского математического общества. 7 (4): 662–672. Дои:10.1090 / S0002-9939-1956-0078693-4.
54. Nyman, Kathryn L .; Су, Фрэнсис Эдвард (2013), «Эквивалент Борсука – Улама, из которого непосредственно следует лемма Спернера», Американский математический ежемесячный журнал, 120 (4): 346–354, Дои:10.4169 / amer.math.monthly.120.04.346, МИСТЕР  3035127

Рекомендации

• Чоу, Шуй Ни; Маллет-Парет, Джон; Йорк, Джеймс А. (1978). «Нахождение нулей карт: методы гомотопии, конструктивные с вероятностью единица». Математика вычислений. 32 (143): 887–899. Дои:10.1090 / S0025-5718-1978-0492046-9. МИСТЕР  0492046.
• Гейл, Д. (1979). "Игра шестиугольника и теорема Брауэра о неподвижной точке". Американский математический ежемесячник. 86 (10): 818–827. Дои:10.2307/2320146. JSTOR  2320146.
• Хирш, Моррис В. (1988). Дифференциальная топология. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90148-0. (Доказательство Хирша, использующее отсутствие дифференцируемой ретракции, см. на стр. 72–73)
• Истрэшеску, Василий И. (1981). Теория фиксированной точки. Математика и ее приложения. 7. Дордрехт – Бостон, Массачусетс: Д. Рейдел. ISBN  978-90-277-1224-0. МИСТЕР  0620639.
• Карамардян, С., ред. (1977). Фиксированные точки: алгоритмы и приложения. Академическая пресса. ISBN  978-0-12-398050-2.
• Келлог, Р. Брюс; Ли, Тянь-Иен; Йорк, Джеймс А. (1976). «Конструктивное доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке и результаты вычислений». Журнал SIAM по численному анализу. 13 (4): 473–483. Дои:10.1137/0713041. МИСТЕР  0416010.
• Леони, Джованни (2017). Первый курс в пространствах Соболева: Издание второе. Аспирантура по математике. 181. Американское математическое общество. С. 734. ISBN  978-1-4704-2921-8
• Соболев, Владимир Иванович (2001) [1994], «Теорема Брауэра», Энциклопедия математики, EMS Press

внешняя ссылка

• Теорема Брауэра о неподвижной точке для треугольников в завязать узел
• Теорема Брауэра, из PlanetMath с приложенным доказательством.
• Реконструкция Брауэра на MathPages
• Теорема Брауэра о неподвижной точке в Math Images.