Обратная математика - Reverse mathematics

Обратная математика это программа в математическая логика который пытается определить, какие аксиомы необходимы для доказательства теорем математики. Его метод определения вкратце можно описать как «движение назад от теоремы к аксиомы ", в отличие от обычной математической практики вывода теорем из аксиом. Его можно концептуализировать как вылепление необходимо условия от достаточный ед.

Программа обратной математики была предвосхищена результатами в теории множеств, такими как классическая теорема о том, что аксиома выбора и Лемма Цорна эквивалентны по Теория множеств ZF. Однако цель обратной математики состоит в том, чтобы изучить возможные аксиомы обычных теорем математики, а не возможные аксиомы теории множеств.

Обратная математика обычно выполняется с использованием подсистем арифметика второго порядка, где многие его определения и методы основаны на предыдущих работах в конструктивный анализ и теория доказательств. Использование арифметики второго порядка также позволяет использовать многие методы из теория рекурсии быть трудоустроенным; многие результаты в обратной математике имеют соответствующие результаты в вычислимый анализ. Недавно, более высокого порядка была введена обратная математика, в которой основное внимание уделяется подсистемам арифметика высшего порядка, и связанный более богатый язык.

Программа была основана Харви Фридман (1975, 1976 ) и выдвинут Стив Симпсон. Стандартный справочник по теме (Симпсон 2009 ), а для неспециалистов - (Стиллвелл 2018 ). Введение в обратную математику высшего порядка, а также основополагающий документ: (Коленбах (2005) ).

Общие принципы

В обратной математике каждый начинает с каркасного языка и базовой теории - базовой системы аксиом, - которая слишком слаба для доказательства большинства интересующих вас теорем, но все же достаточно мощна, чтобы разработать определения, необходимые для формулировки этих теорем. Например, чтобы изучить теорему «Каждая ограниченная последовательность действительные числа имеет супремум «Необходимо использовать базовую систему, которая может говорить о действительных числах и последовательностях действительных чисел.

Для каждой теоремы, которая может быть сформулирована в базовой системе, но не доказуема в базовой системе, цель состоит в том, чтобы определить конкретную систему аксиом (более сильную, чем базовая система), которая необходима для доказательства этой теоремы. Чтобы показать, что система S требуется для доказательства теоремы Т, требуются два доказательства. Первое доказательство показывает Т можно доказать из S; это обычное математическое доказательство вместе с обоснованием того, что оно может быть выполнено в системе S. Второе доказательство, известное как разворот, показывает, что Т сам по себе подразумевает S; это доказательство проводится в базовой системе. Обращение устанавливает, что никакая система аксиом S ′ который расширяет базовую систему, может быть слабее, чем S пока все еще доказываетТ.

Использование арифметики второго порядка

Большинство исследований обратной математики сосредоточено на подсистемах арифметика второго порядка. Исследования в области обратной математики показали, что слабых подсистем арифметики второго порядка достаточно для формализации почти всей математики на уровне бакалавриата. В арифметике второго порядка все объекты могут быть представлены как натуральные числа или наборы натуральных чисел. Например, чтобы доказать теоремы о действительных числах, действительные числа можно представить в виде Последовательности Коши из рациональное число, каждое из которых может быть представлено в виде набора натуральных чисел.

Системы аксиом, наиболее часто рассматриваемые в обратной математике, определяются с помощью схемы аксиом называется схемы понимания. Такая схема утверждает, что существует любой набор натуральных чисел, определяемых формулой заданной сложности. В этом контексте сложность формул измеряется с помощью арифметическая иерархия и аналитическая иерархия.

Причина того, что обратная математика не проводится с использованием теории множеств в качестве базовой системы, заключается в том, что язык теории множеств слишком выразителен. Чрезвычайно сложные наборы натуральных чисел могут быть определены простыми формулами на языке теории множеств (которые могут количественно определять по произвольным множествам). В контексте арифметики второго порядка такие результаты, как Теорема Поста установить тесную связь между сложностью формулы и (не) вычислимостью множества, которое она определяет.

Другой эффект использования арифметики второго порядка - необходимость ограничить общие математические теоремы формами, которые могут быть выражены в рамках арифметики. Например, арифметика второго порядка может выражать принцип «Все счетные векторное пространство имеет основу », но не может выражать принцип« Каждое векторное пространство имеет основу ». На практике это означает, что теоремы алгебры и комбинаторики ограничиваются счетными структурами, в то время как теоремы анализа и топологии ограничиваются разделимые пространства. Многие принципы, подразумевающие аксиома выбора в их общей форме (например, «Каждое векторное пространство имеет основу») становятся доказуемыми в слабых подсистемах арифметики второго порядка, когда они ограничены. Например, «каждое поле имеет алгебраическое замыкание» не доказуемо в теории множеств ZF, но ограниченная форма «каждое счетное поле имеет алгебраическое замыкание» доказуема в RCA.₀, самая слабая система, обычно используемая в обратной математике.

Использование арифметики высшего порядка

Недавняя цепочка более высокого порядка обратное математическое исследование, инициированное Ульрих Коленбах, фокусируется на подсистемах арифметика высшего порядка (Коленбах (2005) ). Из-за более богатого языка арифметики высшего порядка использование представлений (также называемых «кодами»), общих в арифметике второго порядка, значительно сокращается. Например, непрерывная функция на Канторовское пространство это просто функция, которая отображает двоичные последовательности в двоичные последовательности, и которая также удовлетворяет обычному «эпсилон-дельта» -определению непрерывности.

Обратная математика более высокого порядка включает версии схем понимания более высокого порядка (второго порядка). Такая аксиома высшего порядка утверждает существование функционала, определяющего истинность или ложность формул заданной сложности. В этом контексте сложность формул также измеряется с помощью арифметическая иерархия и аналитическая иерархия. Аналоги более высокого порядка основных подсистем арифметики второго порядка обычно доказывают те же предложения второго порядка (или большое подмножество), что и исходные системы второго порядка (см. Коленбах (2005) и Охотник (2008) ). Например, базовая теория обратной математики высшего порядка, называемая RCA^{${ displaystyle omega}$}
₀, доказывает те же предложения, что и RCA₀, вплоть до языка.

Как отмечалось в предыдущем абзаце, аксиомы понимания второго порядка легко обобщаются на структуру более высокого порядка. Однако теоремы, выражающие компактность базовых пространств ведут себя совершенно по-разному в арифметике второго и более высокого порядка: с одной стороны, при ограничении счетными покрытиями / языком арифметики второго порядка компактность единичного интервала доказуема в WKL.₀ из следующего раздела. С другой стороны, учитывая несчетные покрытия / язык арифметики высшего порядка, компактность единичного интервала доказуема только из (полной) арифметики второго порядка (Норманн-Сандерс (2018)). Другие леммы о покрытии (например, из-за Линделёф, Виталий, Безикович и т. д.) демонстрируют такое же поведение, и многие основные свойства калибровочный интеграл эквивалентны компактности основного пространства.

Большая пятерка подсистем арифметики второго порядка

Арифметика второго порядка является формальной теорией натуральных чисел и множеств натуральных чисел. Многие математические объекты, такие как счетный кольца, группы, и поля, а также точки в эффективные польские пространства, могут быть представлены как наборы натуральных чисел, и по модулю это представление может быть изучено в арифметике второго порядка.

Обратная математика использует несколько подсистем арифметики второго порядка. Типичная обратная математическая теорема показывает, что конкретная математическая теорема Т эквивалентно определенной подсистеме S арифметики второго порядка над более слабой подсистемой B. Эта более слабая система B известен как базовая система за результат; для того, чтобы результат обратной математики имел смысл, эта система не должна быть способна доказать математическую теорему. Т.^{[нужна цитата ]}

Симпсон (2009) описывает пять частных подсистем арифметики второго порядка, которые он называет Большая Пятерка, которые часто встречаются в обратной математике. В порядке возрастания силы эти системы названы инициализмами RCA.₀, WKL₀, ACA₀, ATR₀, и Π¹
₁-CA₀.

В следующей таблице приведены системы «большой пятерки» (Симпсон (2009), стр.42)) и перечисляет аналогичные системы в арифметике более высокого порядка (Коленбах (2008)). Последние обычно доказывают те же предложения второго порядка (или большое подмножество), что и исходные системы второго порядка (см. Коленбах (2005) и Охотник (2008) ).

Подсистема	Стенды для	Порядковый	Примерно соответствует	Комментарии	Копия высшего порядка
RCA₀	Аксиома рекурсивного понимания	ω^ω	Конструктивная математика (Бишоп)	Базовая теория	RCA $ω 0$ ; доказывает те же предложения второго порядка, что и RCA₀
WKL₀	Лемма слабого Кёнига	ω^ω	Конечный редукционизм (Гильберт)	Консервативный PRA (соответственно RCA₀) за $Π 02$ (соотв. $Π 11$ ) фразы	Функционал вентилятора; вычисляет модуль равномерной непрерывности на ${ Displaystyle 2 ^ { mathbb {N}}}$ для непрерывных функций
ACA₀	Аксиома арифметического понимания	ε₀	Предикативизм (Вейль, Феферман)	Консервативная арифметика Пеано для арифметических предложений	Функционал `` скачок Тьюринга '' ${ Displaystyle существует ^ {2}}$ выражает существование разрывной функции на ${ Displaystyle mathbb {R}}$
ATR₀	Арифметическая трансфинитная рекурсия	Γ₀	Предикативный редукционизм (Фридман, Симпсон)	Консервативный по системе Фефермана IR для $Π 11$ фразы	Функционал 'трансфинитной рекурсии' выводит набор, о существовании которого заявляет ATR.₀.
Π¹ ₁-CA₀	Π¹ ₁ аксиома понимания	Ψ₀(Ω_ω)	Импредикативизм		Функционал Суслина ${ Displaystyle S ^ {2}}$ решает $Π 11$ -формулы (ограниченные параметрами второго порядка).

Нижний индекс ₀ в этих именах означает, что индукционная схема была ограничена от полной индукционной схемы второго порядка (Симпсон 2009, п. 6). Например, ACA₀ включает аксиому индукции $(0 \in Икс \land \forall п (п \in Икс \to п + 1 \in Икс)) \to \forall п п \in X$ . Это вместе с аксиомой полного понимания арифметики второго порядка дает полную схему индукции второго порядка, задаваемую универсальным замыканием $(φ (0) \land \forall п (φ (п) \to φ (п +1))) \to \forall п φ (п)$ для любой формулы второго порядка φ. Однако ACA₀ не имеет аксиомы полного понимания, а нижний индекс ₀ является напоминанием о том, что в нем также нет полной индукционной схемы второго порядка. Это ограничение важно: системы с ограниченной индукцией имеют значительно меньшую порядковые порядковые номера теории доказательств чем системы с полной схемой индукции второго порядка.

Базовая система RCA₀

RCA₀ является фрагментом арифметики второго порядка, аксиомы которого являются аксиомами Арифметика Робинсона, индукция для $Σ$ ⁰
₁ формулы и понимание для Δ⁰
₁ формулы.

Подсистема RCA₀ наиболее часто используется в качестве базовой системы для обратной математики. Инициалы «RCA» означают «аксиома рекурсивного понимания», где «рекурсивный» означает «вычислимый», как в рекурсивная функция. Это имя используется потому, что RCA₀ неформально соответствует «вычислимой математике». В частности, любой набор натуральных чисел, существование которого может быть доказано в RCA₀ вычислимо, и, следовательно, любая теорема, из которой следует, что невычислимые множества существуют, недоказуема в RCA₀. В этом смысле RCA₀ является конструктивной системой, хотя и не отвечает требованиям программы конструктивизм потому что это теория классической логики, включающая закон исключенного третьего.

Несмотря на кажущуюся слабость (отсутствие доказательства существования невычислимых множеств), RCA₀ достаточно для доказательства ряда классических теорем, которые, следовательно, требуют лишь минимальной логической прочности. Эти теоремы в некотором смысле недосягаемы для предприятий обратной математики, потому что они уже доказуемы в базовой системе. Классические теоремы, доказуемые в RCA₀ включают:

Основные свойства натуральных, целых и рациональных чисел (например, что последние образуют упорядоченное поле ).
Основные свойства действительных чисел (действительные числа являются Архимедов упорядоченное поле; любой вложенная последовательность закрытых интервалов длина которого стремится к нулю, имеет единственную точку пересечения; действительные числа не считаются).
В Теорема Бэра о категории для полный отделяемый метрическое пространство (условие отделимости необходимо даже для формулировки теоремы на языке арифметики второго порядка).
В теорема о промежуточном значении о непрерывных действительных функциях.
В Теорема Банаха – Штейнгауза для последовательности непрерывных линейных операторов в сепарабельных банаховых пространствах.
Слабая версия Теорема Гёделя о полноте (для набора предложений на счетном языке, который уже закрыт по следствию).
Существование алгебраическое замыкание для счетного поля (но не его уникальности).
Существование и уникальность реальное закрытие счетного упорядоченного поля.

Часть первого порядка RCA₀ (теоремы системы, не использующие никаких наборов переменных) - это набор теорем арифметики Пеано первого порядка с индукцией, ограниченной до $Σ$ ⁰
₁ формулы. Это доказуемо согласованно, как и RCA₀, в полной арифметике Пеано первого порядка.

Слабая лемма Кёнига WKL₀

Подсистема WKL₀ состоит из RCA₀ плюс слабая форма Лемма Кёнига, а именно утверждение, что каждое бесконечное поддерево полного двоичного дерева (дерево всех конечных последовательностей нулей и единиц) имеет бесконечный путь. Это предложение, известное как слабая лемма Кёнига, легко сформулировать на языке арифметики второго порядка. WKL₀ можно также определить как принцип $Σ$ ⁰
₁ разделение (учитывая два $Σ$ ⁰
₁ формулы свободной переменной п которые являются исключительными, существует класс, содержащий все п удовлетворение того и нет п удовлетворение другого).

Следующее замечание по терминологии уместно. Термин «слабая лемма Кёнига» относится к предложению, в котором говорится, что любое бесконечное поддерево двоичного дерева имеет бесконечный путь. Когда эта аксиома добавляется к RCA₀, получившаяся подсистема называется WKL₀. Подобное различие между отдельными аксиомами, с одной стороны, и подсистемами, включая основные аксиомы и индукцию, с другой стороны, проводится для более сильных подсистем, описанных ниже.

В некотором смысле слабая лемма Кёнига является формой аксиома выбора (хотя, как указано, это может быть доказано в классической теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора). Это не является конструктивным в некоторых смыслах слова «конструктивный».

Чтобы показать, что WKL₀ на самом деле сильнее, чем (не доказывается в) RCA₀, достаточно показать теорему WKL₀ откуда следует, что невычислимые множества существуют. Это не сложно; WKL₀ подразумевает существование разделяющих множеств для эффективно неразделимых рекурсивно перечислимых множеств.

Оказывается, RCA₀ и WKL₀ имеют одинаковую часть первого порядка, что означает, что они доказывают одни и те же предложения первого порядка. WKL₀ может доказать большое количество классических математических результатов, которые не следуют из RCA₀, тем не мение. Эти результаты не могут быть выражены как операторы первого порядка, но могут быть выражены как операторы второго порядка.

Следующие результаты эквивалентны слабой лемме Кёнига и, следовательно, WKL₀ через RCA₀:

В Теорема Гейне – Бореля для замкнутого единичного действительного интервала в следующем смысле: каждое покрытие последовательностью открытых интервалов имеет конечное подпокрытие.
Теорема Гейне – Бореля для полных вполне ограниченных сепарабельных метрических пространств (где покрытие осуществляется последовательностью открытых шаров).
Непрерывная вещественная функция на замкнутом единичном интервале (или на любом компактном сепарабельном метрическом пространстве, как указано выше) ограничена (или: ограничена и достигает своих границ).
Непрерывная действительная функция на отрезке единичной единицы может быть равномерно приближена полиномами (с рациональными коэффициентами).
Непрерывная действительная функция на замкнутом единичном интервале равномерно непрерывна.
Непрерывная действительная функция на замкнутом единичном интервале есть Риман интегрируемый.
В Теорема Брауэра о неподвижной точке (для непрерывных функций на конечном произведении копий замкнутого единичного интервала).
Отделяемый Теорема Хана – Банаха в виде: ограниченная линейная форма на подпространстве сепарабельного банахова пространства продолжается до ограниченной линейной формы на всем пространстве.
В Теорема Жордана
Теорема Гёделя о полноте (для счетного языка).
Детерминированность для открытых (или даже открытых) игр на {0,1} длины ω.
Каждый счетный коммутативное кольцо имеет главный идеал.
Каждое счетное формально вещественное поле можно упорядочить.
Единственность алгебраического замыкания (для счетного поля).

Арифметическое понимание ACA₀

ACA₀ RCA₀ плюс схема понимания арифметических формул (которую иногда называют «аксиомой арифметического понимания»). То есть ACA₀ позволяет нам сформировать набор натуральных чисел, удовлетворяющий произвольной арифметической формуле (формулу без связанных переменных набора, хотя, возможно, содержащую параметры набора). Собственно, достаточно добавить в RCA₀ схема понимания для $Σ$ ₁ формулы, чтобы получить полное арифметическое понимание.

Часть первого порядка ACA₀ является арифметикой Пеано первого порядка; ACA₀ это консервативный расширение арифметики Пеано первого порядка. Две системы доказуемо (в слабой системе) равносогласованы. ACA₀ можно рассматривать как структуру предикативный математике, хотя есть предикативно доказуемые теоремы, которые нельзя доказать в ACA₀. Большинство фундаментальных результатов о натуральных числах и многие другие математические теоремы могут быть доказаны в этой системе.

Один из способов увидеть, что ВДА₀ сильнее чем WKL₀ представляет модель WKL₀ который не содержит всех арифметических множеств. Фактически, можно построить модель WKL.₀ состоящий полностью из низкие наборы с использованием теорема о низком базисе, поскольку низкие наборы по сравнению с низкими наборами низкие.

Следующие утверждения эквивалентны ACA₀через RCA₀:

Последовательная полнота действительных чисел (каждая ограниченная возрастающая последовательность действительных чисел имеет предел).
В Теорема Больцано – Вейерштрасса.
Теорема Асколи: каждая ограниченная равностепенно непрерывная последовательность вещественных функций на единичном интервале имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность.
Каждое счетное коммутативное кольцо имеет максимальный идеал.
Каждое счетное векторное пространство над рациональными числами (или над любым счетным полем) имеет базис.
Каждое счетное поле имеет основа трансцендентности.
Лемма Кёнига (для произвольных конечно ветвящихся деревьев, в отличие от слабой версии, описанной выше).
Различные теоремы комбинаторики, такие как определенные формы Теорема Рамсея (Hirschfeldt 2014 ).

Арифметическая трансфинитная рекурсия ATR₀

Система ATR₀ добавляет в ACA₀ аксиома, которая неформально утверждает, что любой арифметический функционал (имеется в виду любая арифметическая формула со свободной числовой переменной п и переменная свободного класса Икс, рассматривается как оператор, принимающий Икс к набору п удовлетворяющие формуле) можно повторять трансконечно по любой счетной хорошо заказывая начиная с любого набора. ATR₀ эквивалентно над ACA₀ к принципу $Σ$ ¹
₁ разделение. ATR₀ является непредсказуемым и имеет теоретико-доказательственный ординал ${ displaystyle Gamma _ {0}}$ , верхняя часть предикативных систем.

ATR₀ доказывает последовательность ACA₀, и таким образом Теорема Гёделя это строго сильнее.

Следующие утверждения эквивалентны ATR₀ через RCA₀:

Любые два порядка счетных лунок сопоставимы. То есть они изоморфны или один изоморфен собственному начальному отрезку другого.
Теорема Ульма для счетных редуцированных абелевых групп.
В Теорема о совершенном множестве, который утверждает, что каждое несчетное замкнутое подмножество полного сепарабельного метрического пространства содержит совершенное замкнутое множество.
Теорема лузина об отделимости (по сути $Σ$ ¹
₁ разделение).
Решительность за открытые наборы в Пространство Бэра.

Π¹
₁ понимание Π¹
₁-CA₀

Π¹
₁-CA₀ сильнее, чем арифметическая трансфинитная рекурсия, и полностью непредикативна. Состоит из RCA₀ плюс схема понимания для Π¹
₁ формулы.

В некотором смысле Π¹
₁-CA₀ понимание сводится к арифметической трансфинитной рекурсии ( $Σ$ ¹
₁ разделение) как ACA₀ является слабой леммой Кёнига ( $Σ$ ⁰
₁ разделение). Это эквивалентно нескольким утверждениям дескриптивной теории множеств, в доказательствах которых используются убедительные аргументы; эта эквивалентность показывает, что эти непредсказуемые аргументы не могут быть устранены.

Следующие теоремы эквивалентны Π¹
₁-CA₀ через RCA₀:

В Теорема Кантора – Бендиксона (каждое замкнутое множество действительных чисел является объединением совершенного множества и счетного множества).
Каждая счетная абелева группа является прямой суммой делимой группы и редуцированной группы.

Дополнительные системы

Можно определить более слабые системы, чем рекурсивное понимание. Слабая система RCA^*
₀ состоит из арифметика элементарных функций EFA (основные аксиомы плюс Δ⁰
₀ индукция на расширенном языке с экспоненциальной операцией) плюс Δ⁰
₁ понимание. Через RCA^*
₀, рекурсивное понимание, как определено ранее (то есть с Σ⁰
₁ индукция) эквивалентно утверждению, что многочлен (над счетным полем) имеет только конечное число корней, и классификационной теореме для конечно порожденных абелевых групп. Система RCA^*
₀ имеет то же самое ординал теории доказательства ω³ как EFA и является консервативным по сравнению с EFA для Π⁰
₂ фразы.
Лемма Слабого Слабого Кёнига - это утверждение, что поддерево бесконечного двоичного дерева, не имеющее бесконечных путей, имеет асимптотически исчезающую пропорцию листьев на длине п (с единообразной оценкой того, сколько листов длины п существовать). Эквивалентная формулировка состоит в том, что любое подмножество канторова пространства, имеющее положительную меру, непусто (это не доказуемо в RCA₀). WWKL₀ получается присоединением этой аксиомы к RCA₀. Это эквивалентно утверждению, что если единичный действительный интервал покрывается последовательностью интервалов, то сумма их длин равна по крайней мере единице. Модельная теория WWKL₀ тесно связан с теорией алгоритмически случайные последовательности. В частности, ω-модель RCA₀ удовлетворяет слабой слабой лемме Кёнига тогда и только тогда, когда для любого множества Икс есть набор Y который является 1-случайным относительно Икс.
DNR (сокращение от «диагонально нерекурсивный») добавляет к RCA₀ аксиома, утверждающая существование диагонально нерекурсивный функция относительно каждого набора. То есть DNR утверждает, что для любого набора А, существует полная функция ж такой, что для всех е в е-я частичная рекурсивная функция с оракулом А не равно ж. DNR строго слабее WWKL (Lempp и другие., 2004).
Δ¹
₁-понимание в некоторых отношениях аналогично арифметической трансфинитной рекурсии, поскольку рекурсивное понимание аналогично слабой лемме Кёнига. Он имеет гиперарифметические множества как минимальную ω-модель. Арифметическая трансфинитная рекурсия доказывает Δ¹
₁-понимание, но не наоборот.
Σ¹
₁-выбор - это утверждение, что если η(п,Икс) является Σ¹
₁ формула такая, что для каждого п существует Икс удовлетворяющие η, то существует последовательность множеств Икс_п такой, что η(п,Икс_п) выполняется для каждого п. Σ¹
₁-выбор также имеет гиперарифметические множества как минимальную ω-модель. Арифметическая трансфинитная рекурсия доказывает Σ¹
₁-выбор, но не наоборот.
HBU (сокращение от «бесчисленное множество Гейне-Бореля») выражает (открытая-обложка) компактность единичного интервала, включая бесчисленные обложки. Последний аспект HBU позволяет выразить его только на языке третьего порядка арифметика. Теорема Кузена (1895) следует HBU, и в этих теоремах используется то же понятие покрытия из-за Двоюродная сестра и Линделёф. HBU - это жесткий доказать: с точки зрения обычной иерархии аксиом понимания, доказательство HBU требует полной арифметики второго порядка (Норманн-Сандерс (2018)).
Теорема Рамсея для бесконечных графов не попадает ни в одну из пяти больших подсистем, и есть много других более слабых вариантов с разной степенью доказательства (Hirschfeldt 2014 ).

ω-модели и β-модели

Ω в ω-модели обозначает набор неотрицательных целых чисел (или конечных ординалов). Ω-модель - это модель для фрагмента арифметики второго порядка, часть первого порядка которого является стандартной моделью арифметики Пеано, но часть второго порядка может быть нестандартной. Точнее, ω-модель задается выбором S⊆2^ω подмножеств ω. Переменные первого порядка интерпретируются обычным образом как элементы ω, а +, × имеют свое обычное значение, а переменные второго порядка интерпретируются как элементы S. Существует стандартная модель ω, в которой просто берется S состоять из всех подмножеств целых чисел. Однако есть и другие ω-модели; например, RCA₀ имеет минимальную ω-модель, где S состоит из рекурсивных подмножеств ω.

Β-модель - это ω-модель, которая эквивалентна стандартной ω-модели для Π¹
₁ и Σ¹
₁ предложения (с параметрами).

Не-ω модели также полезны, особенно при доказательстве теорем сохранения.

Обратная математика - Reverse mathematics

Содержание

Общие принципы

Использование арифметики второго порядка

Использование арифметики высшего порядка

Большая пятерка подсистем арифметики второго порядка

Базовая система RCA₀

Слабая лемма Кёнига WKL₀

Арифметическое понимание ACA₀

Арифметическая трансфинитная рекурсия ATR₀

Π¹
₁ понимание Π¹
₁-CA₀

Дополнительные системы

ω-модели и β-модели

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка

Обратная математика - Reverse mathematics

Общие принципы

Использование арифметики второго порядка

Использование арифметики высшего порядка

Большая пятерка подсистем арифметики второго порядка

Базовая система RCA0

Слабая лемма Кёнига WKL0

Арифметическое понимание ACA0

Арифметическая трансфинитная рекурсия ATR0

Π11 понимание Π11-CA0

Дополнительные системы

ω-модели и β-модели

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка

Базовая система RCA₀

Слабая лемма Кёнига WKL₀

Арифметическое понимание ACA₀

Арифметическая трансфинитная рекурсия ATR₀

Π¹
₁ понимание Π¹
₁-CA₀