Форма кривизны - Curvature form

В дифференциальная геометрия, то форма кривизны описывает кривизна из связь на основной пакет. Его можно рассматривать как альтернативу или обобщение тензор кривизны в Риманова геометрия.

Определение

Позволять грамм быть Группа Ли с Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, и п → B быть главный грамм-пучок. Пусть ω - Связь Эресманна на п (что является ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-значен однотипный на п).

Тогда форма кривизны это ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-значная 2-форма на п определяется

${\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega \wedge \omega ].}$

Здесь ${\displaystyle d}$ означает внешняя производная и ${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}$ определено в статье "Алгебразначная форма Ли ". Другими словами,^[1]

${\displaystyle \,\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)]}$

куда Икс, Y являются касательными векторами к п.

Есть еще одно выражение для Ω: если Икс, Y горизонтальные векторные поля на п, тогда^[2]

${\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=-\omega ([X,Y])=-[X,Y]+h[X,Y]}$

куда Гц означает горизонтальную составляющую Z, справа мы отождествили вертикальное векторное поле и порождающий его элемент алгебры Ли (фундаментальное векторное поле ), и ${\displaystyle \sigma \in \{1,2\}}$ является обратной величиной коэффициента нормализации, используемого по соглашению в формуле для внешняя производная.

Связь называется плоский если его кривизна равна нулю: Ω = 0. Аналогично, соединение является плоским, если структурная группа может быть сведена к той же основной группе, но с дискретной топологией. Смотрите также: плоский векторный набор.

Форма кривизны в векторном расслоении

Если E → B является векторным расслоением, то можно также рассматривать ω как матрицу 1-форм, и приведенная выше формула становится структурным уравнением Э. Картана:

${\displaystyle \,\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,}$

куда ${\displaystyle \wedge }$ это клин. Точнее, если ${\displaystyle \omega _{\ j}^{i}}$ и ${\displaystyle \Omega _{\ j}^{i}}$ обозначим компоненты ω и Ω соответственно (так что каждый ${\displaystyle \omega _{\ j}^{i}}$ обычная 1-форма и каждая ${\displaystyle \Omega _{\ j}^{i}}$ обычная 2-форма), то

${\displaystyle \Omega _{\ j}^{i}=d\omega _{\ j}^{i}+\sum _{k}\omega _{\ k}^{i}\wedge \omega _{\ j}^{k}.}$

Например, для касательный пучок из Риманово многообразие, структурная группа - это O (п), а Ω - 2-форма со значениями в алгебре Ли O (п), т.е. антисимметричные матрицы. В этом случае форма Ω является альтернативным описанием тензор кривизны, т.е.

${\displaystyle \,R(X,Y)=\Omega (X,Y),}$

используя стандартные обозначения тензора римановой кривизны.

Бьянки идентичности

Если ${\displaystyle \theta }$ - каноническая векторнозначная 1-форма на расслоении реперов, кручение ${\displaystyle \Theta }$ из форма подключения${\displaystyle \omega }$ - векторная 2-форма, определяемая структурным уравнением

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,}$

где как указано выше D обозначает внешняя ковариантная производная.

Первая идентичность Бьянки принимает форму

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta .}$

Вторая идентичность Бьянки принимает вид

${\displaystyle \,D\Omega =0}$

и действительно для любого связь в основной пакет.

Примечания

1. поскольку ${\displaystyle [\omega \wedge \omega ](X,Y)=([\omega (X),\omega (Y)]-[\omega (Y),\omega (X)])}$ в используемом здесь соглашении
2. Доказательство: ${\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=\sigma d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])=-\omega ([X,Y]).}$

Рекомендации

• Шошичи Кобаяси и Кацуми Номидзу (1963) Основы дифференциальной геометрии, Том I, Глава 2.5 Форма кривизны и уравнение структуры, стр. 75, Wiley Interscience.

Смотрите также

• Подключение (основной комплект)
• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Форма Черна-Саймонса
• Кривизна римановых многообразий
• Калибровочная теория