Энергия Дирихле - Dirichlet energy

В математика, то Энергия Дирихле это мера того, как Переменная а функция является. Говоря более абстрактно, это квадратичный функциональный на Соболевское пространство ЧАС¹. Энергия Дирихле тесно связана с Уравнение Лапласа и назван в честь немецкого математика Питер Густав Лежен Дирихле.

Определение

Учитывая открытый набор Ω ⊆ р^п и функция ты : Ω → р то Энергия Дирихле функцииты это настоящий номер

${\displaystyle E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\|\nabla u(x)\|^{2}\,dx,}$

куда ∇ты : Ω → р^п обозначает градиент векторное поле функцииты.

Свойства и приложения

Поскольку это интеграл неотрицательной величины, энергия Дирихле сама по себе неотрицательна, т. Е. E[ты] ≥ 0 для каждой функцииты.

Решение уравнения Лапласа ${\displaystyle -\Delta u(x)=0}$ для всех ${\displaystyle x\in \Omega }$при соблюдении соответствующих граничные условия, эквивалентно решению вариационная задача поиска функцииты который удовлетворяет граничным условиям и имеет минимальную энергию Дирихле.

Такое решение называется гармоническая функция и такие решения являются темой изучения в теория потенциала.

В более общих условиях, когда Ω ⊆ р^п заменяется любым Риманово многообразие M, и ты : Ω → р заменяется на ты : M → Φ для другого (другого) риманова многообразия Φ, энергия Дирихле определяется выражением сигма модель. Решения Уравнения Лагранжа для сигма-модели Лагранжиан эти функции ты которые минимизируют / максимизируют энергию Дирихле. Ограничивая этот общий случай конкретным случаем ты : Ω → р просто показывает, что уравнения Лагранжа (или, что то же самое, Уравнения Гамильтона – Якоби ) предоставляют основные инструменты для получения экстремальных решений.

Смотрите также

• Принцип Дирихле
• Общая вариация
• Колебание
• Гармоническая карта

Рекомендации

• Лоуренс К. Эванс (1998). Уравнения с частными производными. Американское математическое общество. ISBN  978-0821807729.