Ричмонд поверхность - Richmond surface

Поверхность Ричмонда для m = 2.

В дифференциальная геометрия, а Ричмонд поверхность это минимальная поверхность впервые описан Герберт Уильям Ричмонд в 1904 г. ^[1] Это семейство поверхностей с одним плоским конец и один Эннепер поверхность -подобный самопересекающийся конец.

Она имеет Параметризация Вейерштрасса – Эннепера ${\displaystyle f(z)=1/z^{2},g(z)=z^{m}}$. Это позволяет параметризацию на основе комплексного параметра как

${\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\Re [(-1/2z)-z^{2m+1}/(4m+2)]\\Y(z)&=\Re [(-i/2z)+iz^{2m+1}/(4m+2)]\\Z(z)&=\Re [z^{m}/m]\end{aligned}}}$

В ассоциированная семья поверхности - это просто поверхность, повернутая вокруг оси z.

Принимая м = 2 действительное параметрическое выражение становится:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}X(u,v)&=(1/3)u^{3}-uv^{2}+{\frac {u}{u^{2}+v^{2}}}\\Y(u,v)&=-u^{2}v+(1/3)v^{3}-{\frac {v}{u^{2}+v^{2}}}\\Z(u,v)&=2u\end{aligned}}}$

Рекомендации

1. Джесси Дуглас, Тибор Радо, Проблема плато: дань уважения Джесси Дугласу и Тибору Радо, World Scientific, 1992 (стр. 239-240)
2. Джон Опреа, Математика мыльных пленок: исследования с использованием клена, American Mathematical Soc., 2000