Поверхность Шерка - Scherk surface

Анимация трансформации первой и второй поверхностей Шерка друг в друга: они являются членами одного и того же ассоциированная семья минимальных поверхностей.

В математика, а Поверхность Шерка (названный в честь Генрих Шерк ) является примером минимальная поверхность. Шерк описал две полные вложенные минимальные поверхности в 1834 году;^[1] его первая поверхность - двоякопериодическая, вторая - однокнопериодическая. Они были третьими нетривиальными примерами минимальных поверхностей (первые два были катеноид и геликоид ).^[2] Две поверхности конъюгирует друг друга.

Поверхности Шерка возникают при изучении некоторых предельных задач минимальной поверхности и при изучении гармонических диффеоморфизмы из гиперболическое пространство.

Первая поверхность Шерка

Первая поверхность Шерка асимптотична двум бесконечным семействам параллельных плоскостей, ортогональных друг другу, которые встречаются около z = 0 в шахматном порядке соединительных арок. Он содержит бесконечное количество прямых вертикальных линий.

Построение простой поверхности Шерка

STL элементарная ячейка первой поверхности Шерка

Пять элементарных ячеек, помещенных вместе

Рассмотрим следующую задачу о минимальной поверхности на квадрате евклидовой плоскости: для натуральное число п, найти минимальную поверхность Σ_п как график некоторой функции

${displaystyle u_{n}:left(-{frac {pi }{2}},+{frac {pi }{2}}ight) imes left(-{frac {pi }{2}},+{frac {pi }{2}}ight) o mathbb {R} }$

такой, что

${displaystyle lim _{y o pm pi /2}u_{n}left(x,yight)=+n{ ext{ for }}-{frac {pi }{2}}<x<+{frac {pi }{2}},}$

${displaystyle lim _{x o pm pi /2}u_{n}left(x,yight)=-n{ ext{ for }}-{frac {pi }{2}}<y<+{frac {pi }{2}}.}$

То есть, ты_п удовлетворяет уравнение минимальной поверхности

${displaystyle mathrm {div} left({frac {abla u_{n}(x,y)}{sqrt {1+|abla u_{n}(x,y)|^{2}}}}ight)equiv 0}$

и

${displaystyle Sigma _{n}=left{(x,y,u_{n}(x,y))in mathbb {R} ^{3}left|-{frac {pi }{2}}<x,y<+{frac {pi }{2}}ight.ight}.}$

Что, во всяком случае, является предельной поверхностью как п стремится к бесконечности? Ответ дал Х. Шерк в 1834 году: предельная поверхность Σ - это график

${displaystyle u:left(-{frac {pi }{2}},+{frac {pi }{2}}ight) imes left(-{frac {pi }{2}},+{frac {pi }{2}}ight) o mathbb {R} ,}$

${displaystyle u(x,y)=log left({frac {cos(x)}{cos(y)}}ight).}$

Это Поверхность Шерка над площадью

${displaystyle Sigma =left{left.left(x,y,log left({frac {cos(x)}{cos(y)}}ight)ight)in mathbb {R} ^{3}ight|-{frac {pi }{2}}<x,y<+{frac {pi }{2}}ight}.}$

Более общие поверхности Шерка

Можно рассматривать аналогичные задачи с минимальной поверхностью на другом четырехугольники в евклидовой плоскости. Можно также рассмотреть ту же задачу о четырехугольниках в гиперболическая плоскость. В 2006 году Гарольд Розенберг и Паскаль Коллин использовали гиперболические поверхности Шерка для построения гармонического диффеоморфизма комплексной плоскости на гиперболическую плоскость (единичный диск с гиперболической метрикой), тем самым опровергнув Гипотеза Шена – Яу.

Вторая поверхность Шерка

Вторая поверхность Шерка

Элементарная ячейка STL второй поверхности Шерка

Вторая поверхность Шерка глобально выглядит как две ортогональные плоскости, пересечение которых состоит из последовательности туннелей в чередующихся направлениях. Его пересечения с горизонтальными плоскостями состоят из чередующихся гипербол.

Он имеет неявное уравнение:

${displaystyle sin(z)-sinh(x)sinh(y)=0}$

Он имеет Параметризация Вейерштрасса – Эннепера${displaystyle f(z)={frac {4}{1-z^{4}}}}$, ${displaystyle g(z)=iz}$и может быть параметризован как:^[3]

${displaystyle x(r, heta )=2Re (ln(1+re^{i heta })-ln(1-re^{i heta }))=ln left({frac {1+r^{2}+2rcos heta }{1+r^{2}-2rcos heta }}ight)}$

${displaystyle y(r, heta )=Re (4i an ^{-1}(re^{i heta }))=ln left({frac {1+r^{2}-2rsin heta }{1+r^{2}+2rsin heta }}ight)}$

${displaystyle z(r, heta )=Re (2i(-ln(1-r^{2}e^{2i heta })+ln(1+r^{2}e^{2i heta }))=2 an ^{-1}left({frac {2r^{2}sin 2 heta }{r^{4}-1}}ight)}$

за ${displaystyle heta in [0,2pi )}$ и ${displaystyle rin (0,1)}$. Это дает один период поверхности, который затем может быть расширен в направлении z за счет симметрии.

Поверхность была обобщена Х. Керхером на седельная башня семейство периодических минимальных поверхностей.

Несколько сбивает с толку, но в литературе эту поверхность иногда называют пятой поверхностью Шерка.^[4][5] Чтобы свести к минимуму путаницу, полезно называть ее однопериодической поверхностью Шерка или башней Шерка.

внешняя ссылка

• Сабитов, И.Х. (2001) [1994], "Scherk_surface", Энциклопедия математики, EMS Press
• Первая поверхность Шерка в геометрии ИИГС [2]
• Вторая поверхность Шерка в геометрии ИИГС [3]
• Минимальные поверхности Шерка в Mathworld [4]

Рекомендации

1. H.F. Scherk, Bemerkungen über die kleinste Fläche innerhalb gegebener Grenzen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Volume 13 (1835) pp. 185–208 [1]
2. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Scherk.html
3. Эрик В. Вайсштейн, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, 2-е изд., CRC press 2002
4. Николаос Капуолеас, Построение минимальных поверхностей путем склеивания минимальных погружений. В глобальной теории минимальных поверхностей: Труды Института математики Клея 2001, Летняя школа Института математических наук, Беркли, Калифорния, 25 июня - 27 июля 2001 г. с. 499
5. Дэвид Хоффман и Уильям Х. Микс, Пределы минимальных поверхностей и пятая поверхность Шерка, Архив рациональной механики и анализа, том 111, номер 2 (1990)