Пупочная точка - Umbilical point

Линии кривизны на эллипсоиде с пупочными точками (красные).

в дифференциальная геометрия поверхностей в трех измерениях, пуповина или же пупочные точки - это точки на поверхности, которые являются локально сферическими. В такие моменты нормальная кривизна во всех направлениях равны, следовательно, оба основные кривизны равны, и каждый касательный вектор является главное направление. Название «пуповина» происходит от латинского пупок - пупок.

Точки пупка обычно встречаются как изолированные точки в эллиптической области поверхности; то есть где Гауссова кривизна положительный.

Нерешенная проблема в математике: Имеет ли каждая гладкая топологическая сфера в евклидовом пространстве хотя бы две омбилики? (больше нерешенных задач по математике)

В сфера - единственная поверхность с ненулевой кривизной, каждая точка которой омбилическая. Плоская омбилика - это омбилика с нулевой гауссовой кривизной. В седло обезьяны является примером поверхности с плоским шлангом и на самолет каждая точка - плоская пуповина. А тор может не иметь омбиликов, но каждая замкнутая поверхность ненулевого Эйлерова характеристика, плавно встраиваемый в Евклидово пространство, имеет хотя бы один шлангокабель. Недоказанный догадка из Константин Каратеодори утверждает, что каждая гладкая топологическая сфера в евклидовом пространстве имеет по крайней мере две омбилики.^[1]

Тремя основными типами омбилических точек являются эллиптическая омбилика, параболическая омбилика и гиперболическая омбилика. Эллиптические шланги имеют три гребень линии, проходящие через омбилическую и гиперболическую омбилики, имеют только одну. Параболические омбилики - это переходный случай с двумя выступами, один из которых особенный. Для переходных случаев возможны другие конфигурации. Эти случаи соответствуют D₄⁻, D₅ и D₄⁺ элементарные катастрофы Рене Тома теория катастроф.

Пуповину также можно охарактеризовать рисунком основного направления векторное поле вокруг пупка, которые обычно образуют одну из трех конфигураций: звезда, лимон и лимонная звезда (или монстар). В индекс векторного поля равно −½ (звезда) или ½ (лимон, монстар). Эллиптические и параболические пуповины всегда имеют звездный узор, в то время как гиперболические пуповины могут быть звездными, лимонными или монозвездными. Эта классификация была впервые связана с Дарбу И имена происходят от Ханнея.^[2]

Для поверхностей с род 0 с изолированными шлангами, например эллипсоида, индекс главного поля вектора направления должен быть равен 2 на Теорема Пуанкаре – Хопфа. Поверхности общего рода 0 имеют по крайней мере четыре омбилики индекса ½. Эллипсоид вращения имеет две необщие омбилики, каждая из которых имеет индекс 1.^[3]

• конфигурации линий кривизны возле пуповины
• 

  Звезда

• 

  Monstar

• 

  Лимон

Классификация пуповины

Кубические формы

Классификация пуповины тесно связана с классификацией настоящих кубические формы ${displaystyle ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3}}$. Кубическая форма будет иметь несколько корневых линий ${displaystyle lambda (x,y)}$ такая, что кубическая форма равна нулю для всех действительных ${displaystyle lambda }$. Есть несколько возможностей, включая:

• Три четкие линии: эллиптическая кубическая форма, стандартная модель ${displaystyle x^{2}y-y^{3}}$.
• Три линии, две из которых совпадают: параболическая кубическая форма, стандартная модель ${displaystyle x^{2}y}$.
• Единственная реальная линия: a гиперболическая кубическая форма, стандартная модель ${displaystyle x^{2}y+y^{3}}$.
• Три совпадающие линии, стандартная модель ${displaystyle x^{3}}$.^[4]

Классы эквивалентности таких кубик при равномерном масштабировании образуют трехмерное реальное проективное пространство, а подмножество параболических форм определяют поверхность, называемую пуповина браслет к Кристофер Зееман.^[4] Взятие классов эквивалентности при повороте системы координат удаляет еще один параметр, и кубические формы могут быть представлены комплексной кубической формой ${displaystyle z^{3}+3{overline {eta }}z^{2}{overline {z}}+3eta z{overline {z}}^{2}+{overline {z}}^{3}}$ с одним комплексным параметром ${displaystyle eta }$. Параболические формы возникают при ${displaystyle eta ={ frac {1}{3}}(2e^{i heta }+e^{-2i heta })}$, внутренняя дельтовидная, эллиптическая - внутри дельтовидной, а гиперболическая - снаружи. Если ${displaystyle left|eta ight|=1}$ и ${displaystyle eta }$ не является кубическим корнем из единицы, тогда кубическая форма является прямоугольная кубическая форма которые играют особую роль для пуповины. Если ${displaystyle left|eta ight|={ frac {1}{3}}}$ тогда две корневые линии ортогональны.^[5]

Вторая кубическая форма, Якобиан формируется путем принятия Определитель якобиана векторной функции ${displaystyle F:mathbb {R} ^{2}ightarrow mathbb {R} ^{2}}$, ${displaystyle F(x,y)=(x^{2}+y^{2},ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3})}$. С точностью до постоянного кратного это кубическая форма ${displaystyle bx^{3}+(2c-a)x^{2}y+(d-2b)xy^{2}-cy^{3}}$. Используя комплексные числа, якобиан является параболической кубической формой, когда ${displaystyle eta =-2e^{i heta }-e^{-2i heta }}$, внешний дельтовид на классификационной диаграмме.^[5]

Пупочная классификация

Пупочная классификация, ${displaystyle eta }$-самолет. Внутренняя дельтовидная мышца образует параболическую пуповину, разделяет эллиптическую и гиперболическую пуповины. Бугорки на внутренней дельтовидной мышце: кубическая пуповина. Внешний круг, рождение пуповины, разделяет звездные и монзвездные конфигурации. Наружная дельтовидная, отделяющая конфигурацию монстара и лимона. Диагонали и горизонтальная линия - симметричные пуповины с зеркальной симметрией.

Любую поверхность с изолированной омбилической точкой в ​​начале координат можно представить как Форма Монжа параметризация ${displaystyle z={ frac {1}{2}}kappa (x^{2}+y^{2})+{ frac {1}{3}}(ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3})+ldots }$, куда ${displaystyle kappa }$ - единственная главная кривизна. Тип омбилики классифицируется по кубической форме от кубической части и соответствующей кубической форме Якоби. Хотя главные направления не определены однозначно в омбилике, пределы главных направлений при следовании по гребню на поверхности могут быть найдены, и они соответствуют корневым линиям кубической формы. Характер линий кривизны определяется якобианом.^[5]

Классификация точек пупка следующая:^[5]

• Внутренняя часть дельтовидной мышцы - эллиптическая пуповина
  • На внутреннем круге - две касательные линии гребня.
• На внутреннюю дельтовидную мышцу - параболическая пупка
• Наружная внутренняя дельтовидная мышца - гиперболическая пупка
  • Внутри внешнего круга - звездный узор
  • На внешнем круге - рождение пуповины
  • Между внешним кругом и наружной дельтовидной мышцей - паттерн Монстар
  • Наружная наружная дельтовидная мышца - лимонный узор
• Бугорки внутренней дельтовидной мышцы - кубическая (символическая) пуповина
• По диагоналям и горизонтальной линии - симметричные омбилики с зеркальной симметрией.

В общем семействе поверхностей омбилики могут создаваться или уничтожаться парами: рождение пуповины переход. Обе пуповины будут гиперболическими, одна с рисунком звезды, а другая - с рисунком монстра. Внешний круг на диаграмме, прямоугольная кубическая форма, дает эти переходные случаи. Символическая пуповина - частный случай этого.^[5]

Фокусная поверхность

Поверхность с эллиптической омбиликой и ее фокальная поверхность.

Поверхность с гиперболической омбиликой и ее фокальной поверхностью.

Эллиптическая омбилика и гиперболическая омбилика заметно отличаются друг от друга. фокальные поверхности. Гребень на поверхности соответствует куспидальные края таким образом, каждый лист эллиптической фокальной поверхности будет иметь три ребра возврата, которые сходятся в пупочном фокусе и затем переключаются на другой лист. У гиперболической пуповины есть единственная куспидальная кромка, которая переключается с одного листа на другой.^[5]

Определение в высшей размерности в римановых многообразиях

Точка п в Риманово подмногообразие пуповина, если при п, (векторнозначные) Вторая фундаментальная форма - некоторый нормальный векторный тензор индуцированной метрики (Первая фундаментальная форма ). Эквивалентно для всех векторов U, V в п, II (U, V) = грамм_п(U, V)${displaystyle u }$, куда ${displaystyle u }$ - вектор средней кривизны прип.

Подмногообразие называется омбилическим (или всеумбилическим), если это условие выполняется в каждой точке «p». Это равносильно тому, что подмногообразие можно сделать полностью геодезическим путем соответствующей конформной замены метрики окружающего («объемлющего») многообразия. Например, поверхность в евклидовом пространстве омбилическая тогда и только тогда, когда она является частью сферы.

Смотрите также

• пуповина - значение анатомического термина из или относительно пупка
• Гипотеза Каратеодори

Рекомендации

• Дарбу, Гастон (1887,1889,1896), Leçons sur la théorie génerale des поверхностей: Том I, Том II, Том III, Том IV, Готье-Виллар Проверить значения даты в: | год = (помощь); Внешняя ссылка в | название = (помощь)
• Фотографии звезды, лимона, монстара и другие ссылки

1. Бергер, Марсель (2010), "Гипотеза Карадеодори", Геометрия раскрыта, Springer, Heidelberg, стр. 389–390, Дои:10.1007/978-3-540-70997-8, ISBN  978-3-540-70996-1, МИСТЕР  2724440.
2. Берри, М. В.; Хэнней, Дж. Х (1977). «Омбилические точки на гауссовских случайных поверхностях». J. Phys. А. 10: 1809–21.
3. Портеус, стр. 208
4. Постон, Тим; Стюарт, Ян (1978), Теория катастроф и ее приложения, Питман, ISBN  0-273-01029-8
5. Портеус, Ян Р. (2001), Геометрическая дифференциация, Cambridge University Press, стр. 198–213, ISBN  0-521-00264-8