Гипотеза Каратеодори - Carathéodory conjecture

В дифференциальная геометрия, то Гипотеза Каратеодори математический догадка приписывается Константин Каратеодори к Ганс Людвиг Гамбургер на заседании Берлинского математического общества в 1924 г.[1] Каратеодори опубликовал статью по смежной теме,[2] но так и не зафиксировал Гипотезу в письменной форме. В,[3] Джон Эденсор Литтлвуд упоминает гипотезу и вклад Гамбургера [4] в качестве примера математического утверждения, которое легко сформулировать, но трудно доказать. Дирк Струик описывает в [5] формальная аналогия Гипотезы с Теорема о четырех вершинах за плоские кривые. Современные ссылки на Гипотезу - это проблемный список Шинг-Тунг Яу,[6] книги Марсель Бергер,[7][8] а также книги.[9][10][11][12]

Математическое содержание

Гипотеза утверждает, что любая выпуклая, замкнутая и достаточно гладкая поверхность в трехмерном пространстве Евклидово пространство необходимо допустить как минимум два пупочные точки. В смысле Гипотезы сфероид только с двумя точками пупка и сфера, все точки которых омбилические, являются примерами поверхностей с минимальным и максимальным номерами пупка. Чтобы гипотеза была правильно сформулирована, или пупочные точки чтобы быть четко определенной, поверхность должна быть как минимум дважды дифференцируемой.

Математические исследования подхода с помощью локальной омбилической оценки индекса для вещественных аналитических поверхностей

Приглашенный адрес Стефан Кон-Фоссен[13] к Международный конгресс математиков 1928 г. в Болонья был на эту тему, и в издании 1929 г. Вильгельм Блашке третий том по дифференциальной геометрии [14] он утверждает:

Пока эта книга выходит в печать, г-ну Кон-Фоссену удалось доказать, что замкнутые вещественно-аналитические поверхности не имеют омбилических точек с индексом> 2 (приглашенный доклад на ICM в Болонье, 1928 г.). Это доказывает гипотезу Каратеодори для таких поверхностей, а именно, что они должны иметь по крайней мере две омбилики.

Здесь индекс Бляшке вдвое больше обычного определения индекса омбилической точки, а глобальная гипотеза следует из Теорема Пуанкаре – Хопфа об индексе. Кон-Фоссен не представил ни одной статьи для участия в Международном конгрессе, а в более поздних изданиях книги Блашке вышеупомянутые комментарии были удалены. Следовательно, разумно предположить, что эта работа не принесла результатов.

Для аналитических поверхностей утвердительный ответ на эту гипотезу был дан в 1940 г. Ганс Гамбургер в большой статье, опубликованной в трех частях.[4] Подход Гамбургера также был основан на оценке локального индекса для изолированных пуповинных труб, что, как он показал, подразумевает гипотезу в его более ранней работе.[15][16] В 1943 г. более короткое доказательство было предложено Геррит Бол,[17] смотрите также,[18] но в 1959 г. Тилла Клотц нашел и исправил пробел в доказательстве Бола в.[19][4] Ее доказательство, в свою очередь, было объявлено неполным в диссертации Ханспетера Шербеля.[20] (Результаты этой диссертации, связанные с гипотезой Каратеодори, не публиковались десятилетиями, по крайней мере, до июня 2009 года ничего не было опубликовано). Среди других публикаций мы ссылаемся на статьи.[21][22][23]

Все упомянутые выше доказательства основаны на сведении Гамбургером гипотезы Каратеодори к следующей гипотезе: индекс каждой изолированной пупочной точки никогда не превышает единицы.[15] Грубо говоря, основная трудность заключается в разрешении особенностей, порожденных омбилическими точками. Все упомянутые выше авторы разрешают особенности индукцией по «степени вырождения» омбилической точки, но ни один из них не смог четко представить процесс индукции.

В 2002 году Владимир Иванов пересмотрел работу Гамбургера по аналитическим поверхностям со следующим заявленным намерением:[24]

«Во-первых, рассматривая аналитические поверхности, мы со всей ответственностью утверждаем, что Каратеодори был прав. Во-вторых, мы знаем, как это можно строго доказать. В-третьих, мы намерены представить здесь доказательство, которое, по нашему мнению, убедит каждого читателя, который действительно готовы отправиться с нами в долгое и утомительное путешествие ».

Сначала он идет по пути, пройденному Герритом Болом и Тилла Клотц, но позже он предлагает свой способ разрешения сингулярности, в котором решающая роль принадлежит комплексный анализ (точнее, к методам с использованием аналитических неявные функции, Подготовительная теорема Вейерштрасса, Серия Puiseux, и круговой корневые системы ).

Математические исследования исходной глобальной гипотезы для гладких поверхностей

В 2008 году Гилфойл и Клингенберг объявили[25] доказательство глобальной гипотезы для поверхностей гладкости . Их метод использует нейтральный Кэлерова геометрия из Кляйн квадрик[26] чтобы определить ассоциированную краевую задачу Римана-Гильберта, а затем применить поток средней кривизны и теорему Сарда-Смейла о регулярных значениях операторов Фредгольма, чтобы доказать противоречие.

В ответ на глобальную гипотезу возникает вопрос: «что такого особенного в гладкой замкнутой выпуклой поверхности в с одной пупочной точкой?На это отвечают Гильфойл и Клингенберг:[27] соответствующая краевая задача Римана-Гильберта была бы регулярной по Фредгольму. Доказано, что существования группы изометрий достаточного размера для фиксации точки достаточно, чтобы гарантировать это, таким образом определяя размер группы евклидовой изометрии как основную причину, по которой гипотеза Каратеодори верна. Это подтверждается более поздним препринтом.[28] в которых объемлющие гладкие метрики (без симметрий), которые различны, но сколь угодно близки к евклидовой метрике на , построены, допускающие гладкие выпуклые поверхности, нарушающие как локальные, так и глобальные гипотезы.

По фредгольмовой регулярности для типичной выпуклой поверхности, близкой к предполагаемому контрпримеру глобальной гипотезы Каратеодори, соответствующая проблема Римана-Гильберта не имеет решений. Второй шаг доказательства - показать, что такие решения всегда существуют, и таким образом сделать вывод об отсутствии предполагаемого контрпримера. Это делается с использованием потока средней кривизны, равного 2, с границей. Хотя полный второй этап доказательства не был опубликован по состоянию на ноябрь 2020 года, требуемые внутренние оценки для потока со средней коразмерной кривизной в неопределенной геометрии уже опубликованы.[29] Заключительной частью является установление достаточного граничного контроля при потоке средней кривизны для обеспечения слабой сходимости.

В 2012 году Гильфойл и Клингенберг объявили о доказательстве более слабой версии гипотезы о локальном индексе для гладких поверхностей, а именно о том, что изолированная омбилика должна иметь индекс, меньший или равный 3/2.[30] Доказательство следует за доказательством глобальной гипотезы, но также использует более топологические методы, в частности, замену гиперболических омбилических точек вполне действительными заглавными буквами на границе связанной проблемы Римана-Гильберта. Это оставляет открытой возможность гладкого (не действительного аналитического по Гамбургеру [4]) выпуклая поверхность с изолированной омбиликой индекса 3/2. Доказательство аналогичными методами гипотезы Топоногов в отношении точек пуповины на целых плоскостях было объявлено в 2020 году Гильфойлем и Клингенбергом.[31]

В 2012 году Мохаммад Гоми и Ральф Ховард показали, используя Преобразование Мёбиуса, что глобальная гипотеза для поверхностей гладкости может быть переформулирован в терминах числа омбилических точек на графах с определенной асимптотикой градиента.[32][33]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft, 210. Sitzung am 26. März 1924, Dieterichsche Universitätsbuchdruckerei, Göttingen 1924
  2. ^ Einfache Bemerkungen über Nabelpunktskurven, в: Festschrift 25 Jahre Technische Hochschule Breslau zur Feier ihres 25jährigen Bestehens, 1910–1935, Verlag W. G. Korn, Breslau, 1935, стр. 105–107, и в: Константин Каратеодори, Gesammelte Mathematische Schriften, Verlag C. H. Beck, München, 1957, том 5, 26–30
  3. ^ Сборник математиков, Nabu Press (31 августа 2011 г.) ISBN  978-1179121512
  4. ^ а б c d Х. Гамбургер, Beweis einer Caratheodoryschen Vermutung. я, Анна. Математика. (2) 41, 63—86 (1940); Beweis einer Caratheodoryschen Vermutung. II, Acta Math. 73, 175—228 (1941), и Beweis einer Caratheodoryschen Vermutung. III, Acta Math. 73, 229—332 (1941)
  5. ^ Струик, Д. Дж. (1931). «Дифференциальная геометрия в целом». Бык. Амер. Математика. Soc. 37 (2): 49–62. Дои:10.1090 / S0002-9904-1931-05094-1.
  6. ^ С. Т. Яу, Проблемный раздел стр. 684// Семинар по дифференциальной геометрии / Под ред. S.T. Яу, Анналы математических исследований 102, Принстон, 1982 г.
  7. ^ М. Бергер, Панорамный вид римановой геометрии, Springer 2003 г. ISBN  3-540-65317-1
  8. ^ М. Бергер,Открытие геометрии: лестница Иакова к современной высшей геометрии, Springer 2010 ISBN  3-540-70996-7
  9. ^ И. Николаев, Слоения на поверхности, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Фольге А., Серия современных обзоров по математике, Springer, 2001. ISBN  3-540-67524-8
  10. ^ Д. Дж. Струик, Лекции по классической дифференциальной геометрии, Дувр 1978 ISBN  0-486-65609-8
  11. ^ В. А. Топоногов, Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей: краткое руководство, Биркхойзер, Бостон, 2006 г. ISBN  978-0-8176-4402-4
  12. ^ Р.В. Гамкрелидзе (Ред.), Геометрия I: основные идеи и концепции дифференциальной геометрии , Энциклопедия математических наук, Springer 1991 г. ISBN  0-387-51999-8
  13. ^ С. Кон-Фоссен, Der Index eines Nabelpunktes im Netz der Krümmungslinien, Труды Международный конгресс математиков, том II, Никола Заничелли, редактор, Болонья, 1929 г.
  14. ^ Блашке, В. (1929). Differentialgeometrie der Kreise und Kugeln, Vorlesungen über Differentialgeometrie, т. 3. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. XXIX. Берлин: Springer-Verlag.
  15. ^ а б Гамбургер, Х. (1922). "Ein Satz über Kurvennetze auf geschlossenen Flächen". Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 21: 258–262.
  16. ^ Гамбург, Х. (1924). "Über Kurvennetze mit isolierten Singularitäten auf geschossenen Flächen". Математика. Z. 19: 50–66. Дои:10.1007 / bf01181063. S2CID  121237690.
  17. ^ Бол, Г. (1944). "Über Nabelpunkte auf einer Eifläche". Математика. Z. 49: 389–410. Дои:10.1007 / bf01174209. S2CID  120816230.
  18. ^ Блашке, В. (1942). «Sugli ombelichi d'un ovaloide». Atti Convegno Mat. Рома. 1942: 201–208.
  19. ^ Клотц, Тилла (1959). «О доказательстве Г. Болом гипотезы Каратеодори». Commun. Pure Appl. Математика. 12 (2): 277–311. Дои:10.1002 / cpa.3160120207.
  20. ^ Шербель, Х. (1993). Новое доказательство теоремы Гамбургера об индексе в омбилических точках. Диссертация № 10281 (Кандидат наук). ETH Zürich.
  21. ^ Титус, К. Дж. (1973). «Доказательство гипотезы Лёвнера и гипотезы Каратеодори об омбилических точках». Acta Math. 131 (1–2): 43–77. Дои:10.1007 / BF02392036. S2CID  119377800.
  22. ^ Sotomayor, J .; Мелло, Л. Ф. (1999). «Заметка о некоторых разработках гипотезы Каратеодори об омбилических точках». Экспозиция по математике. 17 (1): 49–58. ISSN  0723-0869.
  23. ^ Gutierrez, C .; Сотомайор, Дж. (1998). «Линии кривизны, омбилические точки и гипотеза Каратеодори». Ресен. Inst. Мат. Estat. Univ. Сан-Паулу. 3 (3): 291–322. ISSN  0104-3854.
  24. ^ Иванов, В. В. (2002). "Аналитическая гипотеза Каратеодори". Сиб. Математика. Дж. 43 (2): 251–322. Дои:10.1023 / А: 1014797105633. ISSN  0037-4474. S2CID  117115329.
  25. ^ Guilfoyle, B .; Клингенберг, В. (2008). «Доказательство гипотезы Каратеодори». arXiv:0808.0851. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  26. ^ Guilfoyle, B .; Клингенберг, В. (2019). «Неопределенная метрика Кюлера на пространстве ориентированных прямых». J. London Math. Soc. 72 (2): 497–509. Дои:10.1112 / S0024610705006605. S2CID  14978450.
  27. ^ Guilfoyle, B .; Клингенберг, В. (2020). «Фредгольмова регулярность голоморфных дисков в плоских расслоениях над компактными поверхностями». Анна. Фак. Sci. Тулузская математика. Серия 6. 29 (3): 565–576. Дои:10.5802 / afst.1639. S2CID  119659239.
  28. ^ Гилфойл, Б. (2018). «Об изолированных пупках». arXiv:1812.03562. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  29. ^ Guilfoyle, B .; Клингенберг, В. (2019). «Поток высшей коразмерности средней кривизны компактных пространственноподобных подмногообразий». Пер. Амер. Математика. Soc. 372 (9): 6263–6281. Дои:10.1090 / tran / 7766. S2CID  119253397.
  30. ^ Guilfoyle, B .; Клингенберг, В. (2012). «От глобального к локальному: оценка индекса омбилических точек на гладких выпуклых поверхностях». arXiv:1207.5994. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  31. ^ Guilfoyle, B .; Клингенберг, В. (2020). «Доказательство гипотезы Топоногова на полных поверхностях». arXiv:2002.12787. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  32. ^ Гоми, М .; Ховард Р. (2012). «Нормальные кривизны асимптотически постоянных графов и гипотеза Каратеодори». Proc. Амер. Математика. Soc. 140 (12): 4323–4335. arXiv:1101.3031. Дои:10.1090 / S0002-9939-2012-11420-0. S2CID  12148752.
  33. ^ Гоми, М. (2017). «Открытые задачи геометрии кривых и поверхностей» (PDF). Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

внешняя ссылка