Проблема Бьёрлинга - Björling problem

Каталонская минимальная поверхность. Ее можно определить как минимальную поверхность, симметрично проходящую через циклоиду.

В дифференциальная геометрия, то Проблема Бьёрлинга проблема поиска минимальная поверхность проходящий через заданную кривую с заданной нормалью (или касательными плоскостями). Задача была поставлена ​​и решена шведским математиком Эмануэль Габриэль Бьёрлинг,^[1] с дальнейшим уточнением Герман Шварц.^[2]

Проблему можно решить, продолжив поверхность от кривой с помощью сложных аналитическое продолжение. Если ${\displaystyle c(s)}$ является вещественной аналитической кривой в ℝ³ определяется на интервале я, с ${\displaystyle c'(s)\neq 0}$ и векторное поле ${\displaystyle n(s)}$ вдоль c такой, что ${\displaystyle ||n(t)||=1}$ и ${\displaystyle c'(t)\cdot n(t)=0}$, то минимальна следующая поверхность:

${\displaystyle X(u,v)=\Re \left(c(w)-i\int _{w_{0}}^{w}n(w)\times c'(w)\,dw\right)}$

куда ${\displaystyle w=u+iv\in \Omega }$, ${\displaystyle u_{0}\in I}$, и ${\displaystyle I\subset \Omega }$ является односвязной областью, в которую включен интервал и разложения в степенной ряд ${\displaystyle c(s)}$ и ${\displaystyle n(s)}$ сходятся.^[3]

Классический пример: Каталонская минимальная поверхность, который проходит через циклоида изгиб. Применение метода к полукубическая парабола производит Поверхность Хеннеберга, а окружности (с подходящим скрученным нормальным полем) минимальный Лента Мебиуса.^[4]

Всегда существует уникальное решение. Его можно рассматривать как Задача Коши для минимальных поверхностей, что позволяет найти поверхность, если известна геодезическая, асимптота или линии кривизны. В частности, если кривая плоская и геодезическая, то плоскость кривой будет плоскостью симметрии поверхности.^[5]

Рекомендации

1. НАПРИМЕР. Бьёрлинг, Arch. Grunert, IV (1844), стр. 290.
2. Х.А. Schwarz, J. Reine angew. Математика. 80 280-300 1875
3. Кай-Винг Фунг, Минимальные поверхности как изотропные кривые в C³: Ассоциированные минимальные поверхности и проблема Бьёрлинга. MIT BA Диссертация. 2004 г. http://ocw.mit.edu/courses/mat Mathematics/18-994-seminar-in-geometry-fall-2004/projects/main1.pdf
4. W.H. Микс III (1981). «Классификация полных минимальных поверхностей в р³ с общей кривизной больше чем ${\displaystyle -8\pi }$". Duke Math. J. 48 (3): 523–535. Дои:10.1215 / S0012-7094-81-04829-8. МИСТЕР  0630583. Zbl  0472.53010.
5. Проблема Бьёрлинга. Энциклопедия математики. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Bj%C3%B6rling_problem&oldid=23196

Внешние галереи изображений

• Björling Surfaces, в архиве минимальных поверхностей Индианы: http://www.indiana.edu/~minimal/archive/Bjoerling/index.html