Минимальная поверхность вращения - Minimal surface of revolution

Растягивание мыльной пленки между двумя параллельными кольцевыми петлями из проволоки создает катеноидный минимальная поверхность вращения

В математика, а минимальная поверхность вращения или же минимальная поверхность вращения это поверхность вращения определяется из двух точки в полуплоскость, граница которого - ось вращения поверхности. Он генерируется изгиб который лежит в полуплоскости и соединяет две точки; среди всех поверхностей, которые могут быть созданы таким образом, именно та, которая сводит к минимуму в площадь поверхности.^[1] Основная проблема в вариационное исчисление находит кривую между двумя точками, которая дает эту минимальную поверхность вращения.^[1]

Отношение к минимальным поверхностям

Минимальная поверхность вращения - это подтип минимальная поверхность.^[1] Минимальная поверхность определяется не как поверхность минимальной площади, а как поверхность с средняя кривизна из 0.^[2] Поскольку средняя кривизна 0 является необходимое условие Для поверхности минимальной площади все минимальные поверхности вращения являются минимальными поверхностями, но не все минимальные поверхности являются минимальными поверхностями вращения. Поскольку точка образует круг когда вращается вокруг оси, нахождение минимальной поверхности вращения эквивалентно нахождению минимальной поверхности, проходящей через два круговых каркасы.^[1] Физическая реализация минимальной поверхности вращения есть мыльная пленка протянулся между двумя параллельными круговыми провода: мыльная пленка естественным образом принимает форму с наименьшей площадью поверхности.^[3][4]

Катеноидный раствор

А катеноид

Если задана полуплоскость, содержащая две точки и ось вращения Декартовы координаты, превращая ось вращения в Икс-оси системы координат, то кривую, соединяющую точки, можно интерпретировать как график функции. Если декартовы координаты двух данных точек равны ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$, ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, то площадь поверхности, порожденная неотрицательной дифференцируемая функция ${\displaystyle f}$ математически может быть выражено как

${\displaystyle 2\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx}$

и проблема нахождения минимальной поверхности вращения превращается в задачу нахождения функции, которая минимизирует этот интеграл, с учетом граничные условия который ${\displaystyle f(x_{1})=y_{1}}$ и ${\displaystyle f(x_{2})=y_{2}}$.^[5] В этом случае оптимальной кривой обязательно будет цепная связь.^[1][5] Ось вращения является направляющей контактной сети, и минимальная поверхность вращения, таким образом, будет катеноид.^[1][6][7]

Раствор Гольдшмидта

Также могут быть определены решения, основанные на разрывных функциях. В частности, для некоторых размещений двух точек оптимальное решение порождается разрывной функцией, которая не равна нулю в двух точках и нулю везде. Эта функция приводит к поверхности вращения, состоящей из двух круговых дисков, по одному для каждой точки, соединенных вырожденным отрезком линии вдоль оси вращения. Это известно как Раствор Гольдшмидта^[5][8] после Немецкий математик Карл Вольфганг Бенджамин Гольдшмидт,^[4] который объявил о своем открытии в своей статье 1831 года «Determinatio superficiei minimae rotatione curvae data duo puncta jungentis circa datum axem ortae» («Определение кривой минимального вращения по двум соединенным точкам вокруг заданной оси происхождения»).^[9]

Продолжая приведенную выше физическую аналогию с мыльной пленкой, эти растворы Гольдшмидта можно представить как примеры, в которых мыльная пленка разрывается, когда круговые проволоки растягиваются.^[4] Однако в физической мыльной пленке сегмент соединительной линии не будет. Кроме того, если мыльная пленка растягивается таким образом, существует диапазон расстояний, в пределах которых раствор катеноидов все еще применим, но имеет большую площадь, чем раствор Гольдшмидта, поэтому мыльная пленка может растягиваться в конфигурацию, в которой площадь является местный минимум но не глобальный минимум. На расстояниях, превышающих этот диапазон, цепная связь, определяющая катеноид, пересекает Икс-оси и ведет к самопересекающейся поверхности, поэтому возможно только решение Гольдшмидта.^[10]

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Минимальная поверхность революции». Mathworld. Wolfram Research. Получено 2012-08-29.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Минимальная поверхность». Mathworld. Wolfram Research. Получено 2012-08-29.
3. Олвер, Питер Дж. (2012). «Глава 21: Вариационное исчисление». Конспект лекций по прикладной математике (PDF). Получено 2012-08-29.
4. Нахин, Пол Дж. (2011). Когда наименьшее - лучше: как математики открыли множество умных способов делать вещи настолько маленькими (или большими), насколько это возможно. Princeton University Press. С. 265–6. Так что же происходит с мыльной пленкой после ее разрыва [...]? Это прерывистое поведение называется Раствор Гольдшмидта, в честь немецкого математика К. В. Б. Гольдшмидт (1807-51), который открыл его (на бумаге) в 1831 году.
5. Саган, Ханс (1992), "2.6 Проблема минимальных поверхностей вращения", Введение в вариационное исчисление, Courier Dover Publications, стр. 62–66, ISBN  9780486673660
6. Колдинг, Тобиас Холк; Миникоцци II, Уильям П. (2011). «Глава 1: Начало теории». Курс минимальных поверхностей (PDF). Аспирантура по математике. Американское математическое общество. Получено 2012-08-29.
7. Микс III, Уильям Х .; Перес, Хоакин (2012). «Глава 2.5: Некоторые интересные примеры полных минимальных поверхностей.». Обзор классической теории минимальных поверхностей (PDF). Серия университетских лекций. 60. Американское математическое общество. Получено 2012-08-29.
8. Вайсштейн, Эрик В. «Решение Гольдшмидта». Mathworld. Wolfram Research. Получено 2012-08-29.
9. "Библиографическая информация: данные по Determinatio superficiei minimae rotatinge curvae duo puncta jungentis circa datum axem ortae". Google Книги. Получено 2012-08-27.
10. Изенберг, Кирилл (1992), Наука о мыльных пленках и мыльных пузырях, Courier Dover Publications, стр. 165, ISBN  9780486269603.