Обозначение Фойгта - Voigt notation

В математика, Обозначение Фойгта или же Форма фойгта в полилинейная алгебра это способ представить симметричный тензор уменьшив его порядок.^[1] У этой идеи есть несколько вариантов и связанных названий: Обозначение Манделя, Обозначения Манделя – Фойгта и Нотация Най найдены другие. Обозначение Кельвина это возрождение Хельбига^[2] старых идей Лорд Кельвин. Различия здесь заключаются в определенных весах, прикрепленных к выбранным элементам тензора. Номенклатура может варьироваться в зависимости от того, что является традиционным в области применения.

Например, симметричный тензор 2 × 2 Икс имеет только три отдельных элемента: два по диагонали, а другой - вне диагонали. Таким образом, его можно выразить как вектор

${\displaystyle \langle x_{11},x_{22},x_{12}\rangle }$.

Другой пример:

Тензор напряжений (в матричных обозначениях) имеет вид

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{matrix}}\right].}$

В нотации Фойгта это упрощено до 6-мерного вектора:

${\displaystyle {\tilde {\sigma }}=(\sigma _{xx},\sigma _{yy},\sigma _{zz},\sigma _{yz},\sigma _{xz},\sigma _{xy})\equiv (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4},\sigma _{5},\sigma _{6}).}$

Тензор деформации, аналогичный по своей природе тензору напряжений - оба являются симметричными тензорами второго порядка - задается в матричной форме как

${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}=\left[{\begin{matrix}\epsilon _{xx}&\epsilon _{xy}&\epsilon _{xz}\\\epsilon _{yx}&\epsilon _{yy}&\epsilon _{yz}\\\epsilon _{zx}&\epsilon _{zy}&\epsilon _{zz}\end{matrix}}\right].}$

Его представление в обозначениях Фойгта имеет вид

${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}=(\epsilon _{xx},\epsilon _{yy},\epsilon _{zz},\gamma _{yz},\gamma _{xz},\gamma _{xy})\equiv (\epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3},\epsilon _{4},\epsilon _{5},\epsilon _{6}),}$

куда ${\displaystyle \gamma _{xy}=2\epsilon _{xy}}$, ${\displaystyle \gamma _{yz}=2\epsilon _{yz}}$, и ${\displaystyle \gamma _{zx}=2\epsilon _{zx}}$ инженерные деформации сдвига.

Преимущество использования разных представлений для напряжения и деформации заключается в том, что скалярная инвариантность

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\epsilon }}=\sigma _{ij}\epsilon _{ij}={\tilde {\sigma }}\cdot {\tilde {\epsilon }}}$

сохраняется.

Точно так же трехмерный симметричный тензор четвертого порядка может быть сведен к матрице 6 × 6.

Мнемоническое правило

Простой мнемоническое правило для запоминания нотации Фойгта:

• Запишите тензор второго порядка в матричной форме (в примере - тензор напряжений)
• Вычеркните диагональ
• Продолжайте третью колонку
• Вернитесь к первому элементу в первом ряду.

Индексы Фойгта нумеруются последовательно от начальной точки до конца (в примере цифры синего цвета).

Обозначение Манделя

Для симметричного тензора второго ранга

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right]}$

различны только шесть компонентов, три из которых расположены по диагонали, а остальные - вне диагонали. Таким образом, в обозначениях Манделя можно выразить^[3], как вектор

${\displaystyle {\tilde {\sigma }}^{M}=\langle \sigma _{11},\sigma _{22},\sigma _{33},{\sqrt {2}}\sigma _{23},{\sqrt {2}}\sigma _{13},{\sqrt {2}}\sigma _{12}\rangle .}$

Основное преимущество нотации Манделя состоит в том, что она позволяет использовать те же стандартные операции, которые используются с векторами, например:

${\displaystyle {\tilde {\sigma }}:{\tilde {\sigma }}={\tilde {\sigma }}^{M}\cdot {\tilde {\sigma }}^{M}=\sigma _{11}^{2}+\sigma _{22}^{2}+\sigma _{33}^{2}+2\sigma _{23}^{2}+2\sigma _{13}^{2}+2\sigma _{12}^{2}.}$

Симметричный тензор четвертого ранга, удовлетворяющий ${\displaystyle D_{ijkl}=D_{jikl}}$ и ${\displaystyle D_{ijkl}=D_{ijlk}}$ имеет 81 компонент в трехмерном пространстве, но различны только 36 компонентов. Таким образом, в обозначениях Манделя это можно выразить как

${\displaystyle {\tilde {D}}^{M}={\begin{pmatrix}D_{1111}&D_{1122}&D_{1133}&{\sqrt {2}}D_{1123}&{\sqrt {2}}D_{1113}&{\sqrt {2}}D_{1112}\\D_{2211}&D_{2222}&D_{2233}&{\sqrt {2}}D_{2223}&{\sqrt {2}}D_{2213}&{\sqrt {2}}D_{2212}\\D_{3311}&D_{3322}&D_{3333}&{\sqrt {2}}D_{3323}&{\sqrt {2}}D_{3313}&{\sqrt {2}}D_{3312}\\{\sqrt {2}}D_{2311}&{\sqrt {2}}D_{2322}&{\sqrt {2}}D_{2333}&2D_{2323}&2D_{2313}&2D_{2312}\\{\sqrt {2}}D_{1311}&{\sqrt {2}}D_{1322}&{\sqrt {2}}D_{1333}&2D_{1323}&2D_{1313}&2D_{1312}\\{\sqrt {2}}D_{1211}&{\sqrt {2}}D_{1222}&{\sqrt {2}}D_{1233}&2D_{1223}&2D_{1213}&2D_{1212}\\\end{pmatrix}}.}$

Приложения

Обозначение названо в честь физика. Вольдемар Фойгт & Джон Най (ученый). Это полезно, например, в расчетах с использованием конститутивных моделей для моделирования материалов, таких как обобщенные модели. Закон Гука, а также анализ методом конечных элементов,^[4] и Диффузная МРТ.^[5]

Закон Гука имеет симметричный тензор жесткости четвертого порядка с 81 компонентом (3 × 3 × 3 × 3), но поскольку применение такого тензора ранга 4 к симметричному тензору ранга 2 должно дать другой симметричный тензор ранга 2, не все из 81 элемента независимы. Нотация Фойгта позволяет такому тензору ранга 4 быть представлен матрицей 6 × 6. Однако форма Фойгта не сохраняет сумму квадратов, которая в случае закона Гука имеет геометрическое значение. Это объясняет, почему вводятся веса (чтобы сделать отображение изометрия ).

Обсуждение инвариантности обозначений Фойгта и обозначений Манделя можно найти в Helnwein (2001).^[6]

Рекомендации

1. Вольдемар Фойгт (1910). Lehrbuch der kristallphysik. Тойбнер, Лейпциг. Получено 29 ноября, 2016.
2. Клаус Хельбиг (1994). Основы анизотропии для разведочной сейсмики. Пергамон. ISBN  0-08-037224-4.
3. Жан Мандель (1965). "Généralisation de la theorie de plasticité de WT Koiter". Международный журнал твердых тел и структур. 1 (3): 273–295. Дои:10.1016 / 0020-7683 (65) 90034-х.
4. O.C. Зенкевич; Р.Л. Тейлор; J.Z. Чжу (2005). Метод конечных элементов: его основы и основы (6 изд.). Эльзевьер Баттерворт - Хайнеманн. ISBN  978-0-7506-6431-8.
5. Махер Мохер (2009). «Алгебра тензоров четвертого порядка с приложением к диффузионной МРТ». Визуализация и обработка тензорных полей. Математика и визуализация. Springer Berlin Heidelberg. С. 57–80. Дои:10.1007/978-3-540-88378-4_4. ISBN  978-3-540-88377-7.
6. Питер Хельнвайн (16 февраля 2001 г.). «Некоторые замечания о сжатом матричном представлении симметричных тензоров второго и четвертого порядков». Компьютерные методы в прикладной механике и технике. 190 (22–23): 2753–2770. Bibcode:2001CMAME.190.2753H. Дои:10.1016 / с0045-7825 (00) 00263-2.

Смотрите также

• Векторизация (математика)
• Закон Гука