Смешанный тензор - Mixed tensor

В тензорный анализ, а смешанный тензор это тензор что не является строго ковариантный ни строго контравариантный; хотя бы один из индексов смешанного тензора будет нижним индексом (ковариантным) и хотя бы один из индексов будет верхним индексом (контравариантным).

Смешанный тензор тип или валентность ${\displaystyle \scriptstyle {\binom {M}{N}}}$, также пишется "тип (M, N)", с обоими M > 0 и N > 0, - тензор, имеющий M контравариантные индексы и N ковариантные индексы. Такой тензор можно определить как линейная функция который отображает (M + N) -набор M одноформный и N векторов к скаляр.

Изменение типа тензора

Основная статья: повышение и понижение показателей

Рассмотрим следующий октет связанных тензоров:

${\displaystyle T_{\alpha \beta \gamma },\ T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },\ T^{\alpha \beta }{}_{\gamma },\ T^{\alpha \beta \gamma }}$.

Первый - ковариантный, последний - контравариантный, а остальные - смешанные. Условно эти тензоры отличаются друг от друга ковариантностью / контравариантностью своих индексов. Заданный контравариантный индекс тензора можно понизить с помощью метрический тензор грамм_μν, а данный ковариантный индекс можно поднять с помощью обратного метрического тензора грамм^μν. Таким образом, грамм_μν можно было бы назвать оператор понижения индекса и грамм^μν то оператор повышения индекса.

Как правило, ковариантный метрический тензор, сжатый с тензором типа (M, N), дает тензор типа (M − 1, N + 1), тогда как его контравариантная обратная, стянутая с тензором типа (M, N), дает тензор типа (M + 1, N − 1).

Примеры

Например, смешанный тензор типа (1, 2) может быть получен повышением индекса ковариантного тензора типа (0, 3),

${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\gamma \lambda }}$,

куда ${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }}$ тот же тензор, что и ${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\gamma }}$, потому что

${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }\,\delta _{\lambda }{}^{\gamma }=T_{\alpha \beta }{}^{\gamma }}$,

с Кронекером δ действует здесь как единичная матрица.

Точно так же

${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda }{}_{\gamma }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda },}$

${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda \epsilon }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda }\,g^{\gamma \epsilon },}$

${\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{\gamma }=g_{\gamma \lambda }\,T^{\alpha \beta \lambda },}$

${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\lambda \epsilon }=g_{\lambda \beta }\,g_{\epsilon \gamma }\,T^{\alpha \beta \gamma }.}$

Увеличение индекса метрического тензора равносильно сжатию его обратного, что дает Дельта Кронекера,

${\displaystyle g^{\mu \lambda }\,g_{\lambda \nu }=g^{\mu }{}_{\nu }=\delta ^{\mu }{}_{\nu }}$,

поэтому любая смешанная версия метрического тензора будет равна дельте Кронекера, которая также будет смешанной.

Смотрите также

• Ковариация и контравариантность векторов
• Обозначения Эйнштейна
• Исчисление Риччи
• Тензор (внутреннее определение)
• Двухточечный тензор

Рекомендации

• Д.К. Кей (1988). Тензорное исчисление. Очерки Шаума, МакГроу Хилл (США). ISBN  0-07-033484-6.
• Wheeler, J.A .; Misner, C .; Торн, К. (1973). «§3.5 Работа с тензорами». Гравитация. W.H. Freeman & Co., стр. 85–86. ISBN  0-7167-0344-0.
• Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности. Винтажные книги. ISBN  0-679-77631-1.

внешняя ссылка

• Индекс гимнастики, Вольфрам Альфа