Векторизация (математика) - Vectorization (mathematics)

В математика, особенно в линейная алгебра и матричная теория, то векторизация из матрица это линейное преобразование который преобразует матрицу в вектор столбца. В частности, векторизация м × п матрица А, обозначается vec (А), это мин × 1 вектор-столбец, полученный путем наложения столбцов матрицы А друг на друга:

{ displaystyle mathrm {vec} (A) = [a_ {1,1}, ldots, a_ {m, 1}, a_ {1,2}, ldots, a_ {m, 2}, ldots, a_ {1, n}, ldots, a_ {m, n}] ^ { mathrm {T}}}

Здесь, ${ displaystyle a_ {i, j}}$ представляет ${ Displaystyle А (я, j)}$ и верхний индекс ${ Displaystyle {} ^ { mathrm {T}}}$ обозначает транспонировать. Векторизация выражает через координаты изоморфизм ${ displaystyle mathbf {R} ^ {m times n}: = mathbf {R} ^ {m} otimes mathbf {R} ^ {n} cong mathbf {R} ^ {mn}}$ между ними (то есть матриц и векторов) как векторные пространства.

Например, для матрицы 2 × 2 ${ displaystyle A}$ = ${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}}}$ , векторизация ${ Displaystyle mathrm {vec} (A) = { begin {bmatrix} a c b d end {bmatrix}}}$ .

Совместимость с продуктами Kronecker

Векторизация часто используется вместе с Кронекер продукт выражать матричное умножение как линейное преобразование на матрицах. Особенно,

{ displaystyle { text {vec}} (ABC) = (C ^ { mathrm {T}} otimes A) { text {vec}} (B)}

для матриц А, B, и C размеров k×л, л×м, и м×п.^[1] Например, если ${ displaystyle { text {ad}} _ {A} (X) = AX-XA}$ (в присоединенный эндоморфизм из Алгебра Ли gl (п, C) из всех п×п матрицы с сложный записей), то ${ displaystyle { text {vec}} ({ text {ad}} _ {A} (X)) = (I_ {n} otimes AA ^ { mathrm {T}} otimes I_ {n}) { text {vec}} (X)}$ , куда ${ displaystyle I_ {n}}$ это п×п единичная матрица.

Есть еще два полезных препарата:

{ displaystyle { text {vec}} (ABC) = (I_ {n} otimes AB) { text {vec}} (C) = (C ^ { mathrm {T}} B ^ { mathrm { T}} otimes I_ {k}) { text {vec}} (A)}

{ displaystyle { text {vec}} (AB) = (I_ {m} otimes A) { text {vec}} (B) = (B ^ { mathrm {T}} otimes I_ {k} ) { text {vec}} (А)}

В более общем плане было показано, что векторизация - это самоприсоединение в моноидальной замкнутой структуре любой категории матриц.^[1]

Совместимость с продуктами Адамара

Векторизация - это гомоморфизм алгебр из космоса п × п матрицы с Адамар (начальный) продукт для C^п² с его произведением Адамара:

{ Displaystyle mathrm {vec} (A circ B) = mathrm {vec} (A) circ mathrm {vec} (B).}

Совместимость с внутренними продуктами

Векторизация - это унитарное преобразование из космоса п×п матрицы с Фробениус (или же Гильберта-Шмидта ) внутренний продукт к C^п²:

${ displaystyle mathrm {tr} (A ^ { top} B) = mathrm {vec} (A) ^ { top} mathrm {vec} (B) = mathrm {vec} (B ^ { top}) ^ { top} mathrm {vec} (A).}$

где верхний индекс ^Т обозначает сопряженный транспонировать.

Векторизация как линейная сумма

Операцию векторизации матрицы можно записать в виде линейной суммы. Позволять Икс быть м × п матрицу, которую мы хотим векторизовать, и пусть е_я быть я-й канонический базисный вектор для п-мерное пространство, то есть ${ textstyle mathbf {e} _ {i} = left [0, ..., 0,1,0, ..., 0 right] ^ {T}}$ . Позволять B_я быть (млн) × м блочная матрица определяется следующим образом:

${ displaystyle mathbf {B} _ {i} = { begin {bmatrix} mathbf {0} vdots mathbf {0} mathbf {I} _ {m} mathbf {0} vdots mathbf {0} end {bmatrix}} = mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {I} _ {m}}$

B_я состоит из п блочные матрицы размера м × м, сложены по столбцам, и все эти матрицы нулевые, за исключением я-й, который является м × м единичная матрица я_м.

Тогда векторизованная версия Икс можно выразить следующим образом:

${ displaystyle { text {vec}} ( mathbf {X}) = sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {B} _ {i} mathbf {X} mathbf {e} _ {я}}$

Умножение Икс к е_я извлекает i-й столбец, а умножение на B_я помещает его в желаемое положение в конечном векторе.

В качестве альтернативы линейная сумма может быть выражена с помощью Кронекер продукт:

${ displaystyle { text {vec}} ( mathbf {X}) = sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {X} mathbf {e } _ {i}}$

Полувекторизация

Для симметричная матрица А, вектор vec (А) содержит больше информации, чем это строго необходимо, поскольку матрица полностью определяется симметрией вместе с нижний треугольный часть, то есть п(п + 1)/2 записи на и под главная диагональ. Для таких матриц полу-векторизация иногда бывает полезнее векторизации. Полувекторизация, вечер (А) симметричной п × п матрица А это п(п + 1)/2 × 1 вектор-столбец, полученный векторизацией только нижней треугольной части А:

веч (А) = [ А_1,1, ..., А_п,1, А_2,2, ..., А_п,2, ..., А_{п−1,п−1},А_п,п−1, А_п,п ]^Т.

Например, для матрицы 2 × 2 А = ${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b b & d end {bmatrix}}}$ , полувекторизация - веч (А) = ${ displaystyle { begin {bmatrix} a b d end {bmatrix}}}$ .

Существуют уникальные матрицы, преобразующие полувекторизацию матрицы в ее векторизацию и наоборот, называемые соответственно матрица дублирования и матрица исключения.

Язык программирования

Языки программирования, реализующие матрицы, могут иметь простые средства векторизации. Matlab /GNU Octave матрица А может быть векторизован А (:).GNU Octave также позволяет векторизацию и полу-векторизацию с vec (А) и vech (A) соответственно. Юля имеет vec (А) функции также. Python NumPy массивы реализуют метод 'flatten'^[1], пока в р желаемого эффекта можно добиться с помощью c () или же as.vector () функции. В р, функция vec () пакета 'ks' позволяет векторизацию и функцию vech () реализованный в обоих пакетах 'ks' и 'sn' допускает половинную векторизацию.^[2]^[3]^[4]

Примечания

1.^{^} ^{^} Идентификатор для векторизации мажорной строки:

{ displaystyle { text {vec}} (ABC) = (A otimes C ^ { mathrm {T}}) { text {vec}} (B)}

.