Изгибающий момент - Bending moment

Диаграмма сдвига и момента для балки с простой опорой и сосредоточенной нагрузкой в ​​середине пролета.

В механика твердого тела, а изгибающий момент это реакция индуцированный в структурный элемент когда внешний сила или момент применяется к элементу, в результате чего элемент сгибаться.^[1][2] Наиболее распространенным или простым элементом конструкции, подверженным изгибающим моментам, является луч. На схеме показана балка, которая просто поддерживается (свободно вращается и, следовательно, не имеет изгибающих моментов) с обоих концов; концы могут реагировать только на срезать нагрузки. У других балок оба конца могут быть закреплены; Таким образом, каждая концевая опора имеет как изгибающие моменты, так и нагрузки реакции сдвига. Балки также могут иметь фиксированный один конец и простой опорный конец. Самый простой вид балки - это консоль, который закреплен на одном конце и свободен на другом конце (ни простой, ни фиксированный). В действительности опоры балки обычно не являются ни абсолютно неподвижными, ни абсолютно свободно вращающимися.

Внутренние реакционные нагрузки в поперечное сечение структурного элемента можно разложить на Равнодействующая сила и в результате пара. Для равновесия момент, создаваемый внешними силами (и внешними моментами), должен уравновешиваться пара вызванные внутренними нагрузками. Полученная внутренняя пара называется изгибающий момент а результирующая внутренняя сила называется сдвигающая сила (если он расположен поперек плоскости элемента) или нормальная сила (если он находится по плоскости элемента).

Изгибающий момент в сечении структурного элемента может быть определен как сумма моментов по этому сечению всех внешних сил, действующих на одну сторону этого сечения. Силы и моменты по обе стороны от секции должны быть равны, чтобы противодействовать друг другу и поддерживать состояние равновесие поэтому в результате суммирования моментов будет получен один и тот же изгибающий момент, независимо от того, какая сторона секции выбрана. Если изгибающий момент по часовой стрелке принять как отрицательный, то отрицательный изгибающий момент внутри элемента вызовет "увлечение ", и положительный момент вызовет"провисание ". Следовательно, ясно, что точка нулевого изгибающего момента внутри балки является точкой контрфлексия - то есть точка перехода от коробления к провисанию или наоборот.

Моменты и крутящие моменты измеряются как сила, умноженная на расстояние, поэтому в качестве единицы измерения ньютон-метры (Н · м), или фунт-фут (фунт-сила · фут). Понятие изгибающего момента очень важно в инженерное дело (особенно в гражданский и машиностроение ) и физика.

Фон

Растяжимый и сжимающий напряжения растут пропорционально изгибающему моменту, но также зависят от второй момент площади поперечного сечения балки (то есть форма поперечного сечения, такая как круг, квадрат или двутавровая балка, являющиеся общими структурными формами). Отказ при изгибе произойдет, когда изгибающий момент будет достаточным для создания напряжений растяжения / сжатия, превышающих Уступать напряжение материала по всему сечению. В структурном анализе это разрушение при изгибе называется пластическим шарниром, поскольку полная несущая способность элемента конструкции не достигается, пока полное поперечное сечение не превышает предел текучести. Не исключено, что выход из строя конструктивного элемента в срезать может произойти до разрушения при изгибе, однако механика разрушения при сдвиге и изгибе различна.

Моменты рассчитываются путем умножения внешнего вектор силы (нагрузки или реакции) векторным расстоянием, на котором они действуют. При анализе всего элемента имеет смысл рассчитывать моменты на обоих концах элемента, в начале, в центре и в конце любых равномерно распределенных нагрузок и непосредственно под любыми точечными нагрузками. Конечно, любые "шарнирные соединения" внутри конструкции допускают свободное вращение, и поэтому в этих точках возникает нулевой момент, поскольку нет возможности передавать вращающие силы с одной стороны на другую.

Обычно используется соглашение, согласно которому изгибающий момент по часовой стрелке слева от рассматриваемой точки считается положительным. Тогда это соответствует второй производной функции, которая, если она положительна, указывает на кривизну, которая «ниже в центре», то есть провисание. При определении моментов и кривизны таким образом легче использовать расчет для определения уклонов и прогибов.

Критические значения в балке чаще всего аннотируются с помощью диаграмма изгибающего момента, где отрицательные моменты нанесены в масштабе над горизонтальной линией, а положительные - под ней. Изгибающий момент изменяется линейно по ненагруженным участкам и параболически по равномерно нагруженным участкам.

Технические описания расчета изгибающих моментов могут сбивать с толку из-за необъяснимых условных обозначений и неявных предположений. В приведенных ниже описаниях используется векторная механика для вычисления моментов силы и изгибающих моментов в попытке объяснить, исходя из первых принципов, почему выбраны определенные условные обозначения.

Вычисление момента силы

Вычисление момента силы в балке.

Важной частью определения изгибающих моментов в практических задачах является вычисление моментов силы. ${displaystyle mathbf {F} }$ вектор силы, действующий в точке А в теле. Момент этой силы относительно точки отсчета (О) определяется как^[2]

${displaystyle mathbf {M} =mathbf {r} imes mathbf {F} }$

где ${displaystyle mathbf {M} }$ - вектор момента и ${displaystyle mathbf {r} }$ это вектор положения от опорной точки (О) до точки приложения силы (А). В ${displaystyle imes }$ символ обозначает векторное произведение. Для многих задач удобнее вычислять момент силы вокруг оси, проходящей через контрольную точку. О. Если единичный вектор вдоль оси равен ${displaystyle mathbf {e} }$, момент силы вокруг оси определяется как

${displaystyle M=mathbf {e} cdot mathbf {M} =mathbf {e} cdot (mathbf {r} imes mathbf {F} )}$

где ${displaystyle cdot }$ обозначает векторное скалярное произведение.

пример

На соседнем рисунке показана балка, на которую действует сила ${displaystyle F}$. Если система координат определяется тремя единичными векторами ${displaystyle mathbf {e} _{x},mathbf {e} _{y},mathbf {e} _{z}}$, имеем следующие

${displaystyle mathbf {F} =0,mathbf {e} _{x}-F,mathbf {e} _{y}+0,mathbf {e} _{z}quad { ext{and}}quad mathbf {r} =x,mathbf {e} _{x}+0,mathbf {e} _{y}+0,mathbf {e} _{z},.}$

Следовательно,

${displaystyle mathbf {M} =mathbf {r} imes mathbf {F} =left|{egin{matrix}mathbf {e} _{x}&mathbf {e} _{y}&mathbf {e} _{z}x&0&0�&-F&0end{matrix}}ight|=-Fx,mathbf {e} _{z},.}$

Момент об оси ${displaystyle mathbf {e} _{z}}$ затем

${displaystyle M_{z}=mathbf {e} _{z}cdot mathbf {M} =-Fx,.}$

Знаковые соглашения

Отрицательное значение предполагает, что момент, который имеет тенденцию вращать тело по часовой стрелке вокруг оси, должен иметь отрицательный знак. Однако фактический знак зависит от выбора трех осей. ${displaystyle mathbf {e} _{x},mathbf {e} _{y},mathbf {e} _{z}}$. Например, если мы выберем другую правостороннюю систему координат с ${displaystyle mathbf {E} _{x}=mathbf {e} _{x},mathbf {E} _{y}=-mathbf {e} _{z},mathbf {E} _{z}=mathbf {e} _{y}}$, у нас есть

${displaystyle mathbf {F} =0,mathbf {E} _{x}+0,mathbf {E} _{y}-F,mathbf {E} _{z}quad { ext{and}}quad mathbf {r} =x,mathbf {E} _{x}+0,mathbf {E} _{y}+0,mathbf {E} _{z},.}$

Потом,

${displaystyle mathbf {M} =mathbf {r} imes mathbf {F} =left|{egin{matrix}mathbf {E} _{x}&mathbf {E} _{y}&mathbf {E} _{z}x&0&0�&0&-Fend{matrix}}ight|=Fx,mathbf {E} _{y}quad { ext{and}}quad M_{y}=mathbf {E} _{y}cdot mathbf {M} =Fx,.}$

Для этого нового выбора топоров положительный момент стремится вращать тело по часовой стрелке вокруг оси.

Расчет изгибающего момента

В твердом теле или в свободном деформируемом теле приложение момента силы вызывает чистое вращение. Но если деформируемое тело сковано, оно развивает внутренние силы в ответ на внешнюю силу, так что равновесие сохраняется. Пример показан на рисунке ниже. Эти внутренние силы вызовут локальные деформации в теле.

Для равновесия сумма векторов внутренней силы равна приложенной внешней силе, а сумма векторов момента, созданных внутренними силами, равна моменту внешней силы. Векторы внутренней силы и момента ориентированы таким образом, что общая сила (внутренняя + внешняя) и момент (внешний + внутренний) системы равны нулю. Вектор внутреннего момента называется изгибающий момент.^[1]

Хотя изгибающие моменты использовались для определения напряженного состояния в конструкциях произвольной формы, физическая интерпретация вычисленных напряжений является проблематичной. Однако физические интерпретации изгибающих моментов в балках и пластинах имеют прямую интерпретацию как результирующие напряжения в поперечном сечении конструктивного элемента. Например, в балке на рисунке вектор изгибающего момента из-за напряжений в поперечном сечении А перпендикулярно к Икс-ось задается

${displaystyle mathbf {M} _{x}=int _{A}mathbf {r} imes (sigma _{xx}mathbf {e} _{x}+sigma _{xy}mathbf {e} _{y}+sigma _{xz}mathbf {e} _{z}),dAquad { ext{where}}quad mathbf {r} =y,mathbf {e} _{y}+z,mathbf {e} _{z},.}$

Расширяя это выражение, мы имеем

${displaystyle mathbf {M} _{x}=int _{A}left(-ysigma _{xx}mathbf {e} _{z}+ysigma _{xz}mathbf {e} _{x}+zsigma _{xx}mathbf {e} _{y}-zsigma _{xy}mathbf {e} _{x}ight)dA=:M_{xx},mathbf {e} _{x}+M_{xy},mathbf {e} _{y}+M_{xz},mathbf {e} _{z},.}$

Определим составляющие изгибающего момента как

${displaystyle {egin{bmatrix}M_{xx}M_{xy}M_{xz}end{bmatrix}}:=int _{A}{egin{bmatrix}ysigma _{xz}-zsigma _{xy}zsigma _{xx}-ysigma _{xx}end{bmatrix}},dA,.}$

Внутренние моменты вычисляются относительно начала координат, которое находится на нейтральной оси балки или пластины, а интегрирование проводится по толщине (${displaystyle h}$)

пример

Вычисление изгибающего момента в балке.

В балке, показанной на соседнем рисунке, внешние силы представляют собой приложенную силу в точке А (${displaystyle -Fmathbf {e} _{y}}$) и реакции в двух точках опоры О и B (${displaystyle mathbf {R} _{O}=R_{O}mathbf {e} _{y}}$ и ${displaystyle mathbf {R} _{B}=R_{B}mathbf {e} _{y}}$). В этой ситуации единственной ненулевой составляющей изгибающего момента является

${displaystyle mathbf {M} _{xz}=-left[int _{z}left[int _{0}^{h}y,sigma _{xx},dyight],dzight]mathbf {e} _{z},.}$

где ${displaystyle h}$ высота в ${displaystyle y}$ направление луча. Знак минус включен, чтобы удовлетворить условию знаков.

Чтобы рассчитать ${displaystyle mathbf {M} _{xz}}$, мы начинаем с уравновешивания сил, что дает одно уравнение с двумя неизвестными реакциями,

${displaystyle R_{O}+R_{B}-F=0,.}$

Для получения каждой реакции требуется второе уравнение. Уравновешивание моментов относительно любой произвольной точки Икс даст нам второе уравнение, которое мы можем использовать для решения ${displaystyle R_{0}}$ и ${displaystyle R_{B}}$ с точки зрения ${displaystyle F}$. Балансировка по сути О проще всего, но давайте балансируем по пунктам А просто чтобы проиллюстрировать суть дела, т.е.

${displaystyle -mathbf {r} _{A} imes mathbf {R} _{O}+(mathbf {r} _{B}-mathbf {r} _{A}) imes mathbf {R} _{B}=mathbf {0} ,.}$

Если ${displaystyle L}$ - длина балки, имеем

${displaystyle mathbf {r} _{A}=x_{A}mathbf {e} _{x}quad { ext{and}}quad mathbf {r} _{B}=Lmathbf {e} _{x},.}$

Оценка перекрестных продуктов:

${displaystyle left|{egin{matrix}mathbf {e} _{x}&mathbf {e} _{y}&mathbf {e} _{z}-x_{A}&0&0�&R_{0}&0end{matrix}}ight|+left|{egin{matrix}mathbf {e} _{x}&mathbf {e} _{y}&mathbf {e} _{z}L-x_{A}&0&0�&R_{B}&0end{matrix}}ight|=-x_{A}R_{0},mathbf {e} _{z}+(L-x_{A})R_{B},mathbf {e} _{z}=0,.}$

Если мы решим реакции, у нас есть

${displaystyle R_{O}=left(1-{frac {x_{A}}{L}}ight)Fquad { ext{and}}quad R_{B}={frac {x_{A}}{L}},F,.}$

Теперь, чтобы получить внутренний изгибающий момент при Икс суммируем все моменты по сути Икс из-за всех внешних сил справа от Икс (о положительном ${displaystyle x}$ сторона), и в этом случае есть только один вклад,

${displaystyle mathbf {M} _{xz}=(mathbf {r} _{B}-mathbf {r} _{X}) imes mathbf {R} _{B}=left|{egin{matrix}mathbf {e} _{x}&mathbf {e} _{y}&mathbf {e} _{z}L-x&0&0�&-R_{B}&0end{matrix}}ight|={frac {Fx_{A}}{L}}(L-x),mathbf {e} _{z},.}$

Мы можем проверить этот ответ, посмотрев на диаграмму свободного тела и часть балки слева от точки Икс, а полный момент от этих внешних сил равен

${displaystyle mathbf {M} =(mathbf {r} _{A}-mathbf {r} _{X}) imes mathbf {F} +(-mathbf {r} _{X}) imes mathbf {R} _{O}=left[(x_{A}-x)mathbf {e} _{x}ight] imes left(-Fmathbf {e} _{y}ight)+left(-xmathbf {e} _{x}ight) imes left(R_{O}mathbf {e} _{y}ight),.}$

Если мы вычислим перекрестные произведения, мы получим

${displaystyle mathbf {M} =left|{egin{matrix}mathbf {e} _{x}&mathbf {e} _{y}&mathbf {e} _{z}x_{A}-x&0&0�&-F&0end{matrix}}ight|+left|{egin{matrix}mathbf {e} _{x}&mathbf {e} _{y}&mathbf {e} _{z}-x&0&0�&R_{0}&0end{matrix}}ight|=F(x-x_{A}),mathbf {e} _{z}-R_{0}x,mathbf {e} _{z}=-{frac {Fx_{A}}{L}}(L-x),mathbf {e} _{z},.}$

Благодаря равновесию внутренний изгибающий момент из-за внешних сил слева от Икс должен быть точно уравновешен внутренней поворотной силой, полученной с учетом части балки справа от Икс

${displaystyle mathbf {M} +mathbf {M} _{xz}=mathbf {0} ,.}$

что явно так.

Подписать соглашение

В приведенном выше обсуждении неявно предполагается, что изгибающий момент положительный, когда верхняя часть балки сжимается. Это можно увидеть, если мы рассмотрим линейное распределение напряжений в балке и найдем результирующий изгибающий момент. Пусть верх балки сжимается с напряжением ${displaystyle -sigma _{0}}$ и пусть нижняя часть балки испытывает напряжение ${displaystyle sigma _{0}}$. Тогда распределение напряжений в балке равно ${displaystyle sigma _{xx}(y)=-ysigma _{0}}$. Изгибающий момент из-за этих напряжений равен

${displaystyle M_{xz}=-left[int _{z}int _{-h/2}^{h/2}y,(-ysigma _{0}),dy,dzight]=sigma _{0},I}$

где ${displaystyle I}$ это момент инерции площади поперечного сечения балки. Следовательно, изгибающий момент положительный, когда верхняя часть балки сжимается.

Многие авторы придерживаются другого соглашения, в соответствии с которым возникающий стресс ${displaystyle M_{xz}}$ определяется как

${displaystyle mathbf {M} _{xz}=left[int _{z}int _{-h/2}^{h/2}y,sigma _{xx},dy,dzight]mathbf {e} _{z},.}$

В этом случае положительные изгибающие моменты означают, что верхняя часть балки находится в растяжении. Конечно, определение верх зависит от используемой системы координат. В приведенных выше примерах верхняя часть - это место с наибольшим ${displaystyle y}$-координат.

Смотрите также

• Коробление
• Прогиб в том числе прогиб балки
• Крутящий момент
• Диаграммы сдвига и момента
• Результирующие напряжения
• Первый момент области
• Линия влияния
• Второй момент площади
• Список моментов инерции площадей
• Разгрузка изгиба крыла

Рекомендации

1. Gere, J.M .; Тимошенко, С.П. (1996), Механика материалов: четвертое издание, Нельсон Инжиниринг, ISBN  0534934293
2. Пиво, ф .; Джонстон, Э. Р. (1984), Векторная механика для инженеров: статика, McGraw Hill, стр. 62–76.

внешняя ссылка

• Результирующие напряжения для балок