Теорема Беттиса - Bettis theorem

Теорема Бетти, также известный как Теорема Максвелла-Бетти о взаимной работе, обнаруженный Энрико Бетти в 1872 г., утверждает, что для линейной упругой конструкции, подверженной действию двух наборов сил {P_я} i = 1, ..., n и {Q_j}, j = 1,2, ..., n, работай выполненная множеством P посредством перемещений, произведенных множеством Q, равна работе, совершаемой множеством Q посредством перемещений, произведенных множеством P. Эта теорема имеет приложения в Строительная инженерия где он используется для определения линии влияния и получить метод граничных элементов.

Теорема Бетти используется при разработке совместимых механизмов с помощью подхода оптимизации топологии.

Доказательство

Рассмотрим твердое тело, на которое действует пара внешних силовых систем, называемых ${\displaystyle F_{i}^{P}}$ и ${\displaystyle F_{i}^{Q}}$. Учтите, что каждая силовая система вызывает поле смещения, причем смещения, измеренные в точке приложения внешней силы, называются ${\displaystyle d_{i}^{P}}$ и ${\displaystyle d_{i}^{Q}}$.

Когда ${\displaystyle F_{i}^{P}}$ силовая система приложена к конструкции, баланс между работой, совершаемой внешней силовой системой, и энергией деформации составляет:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{P}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega }$

Баланс работы и энергии, связанный с ${\displaystyle F_{i}^{Q}}$ силовая система выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{Q}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega }$

Теперь рассмотрим, что с ${\displaystyle F_{i}^{P}}$ применена силовая система, ${\displaystyle F_{i}^{Q}}$ силовая система применяется впоследствии. Поскольку ${\displaystyle F_{i}^{P}}$ уже применяется и, следовательно, не вызовет дополнительного смещения, баланс работы и энергии принимает следующее выражение:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{P}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{Q}+\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega +{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega +\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega }$

И наоборот, если мы рассмотрим ${\displaystyle F_{i}^{Q}}$ силовая система уже применена и ${\displaystyle F_{i}^{P}}$ После приложения внешней системы сил баланс работы и энергии примет следующее выражение:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{Q}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{P}+\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega +{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega +\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega }$

Если баланс работы и энергии для случаев, когда внешние силовые системы применяются изолированно, соответственно вычесть из случаев, когда силовые системы применяются одновременно, мы придем к следующим уравнениям:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}=\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}=\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega }$

Если твердое тело, в котором действуют силовые системы, образовано линейный эластичный материал и если силовые системы таковы, что только бесконечно малые деформации наблюдаются в теле, то в теле конститутивное уравнение, который может последовать Закон Гука, можно выразить следующим образом:

${\displaystyle \sigma _{ij}=D_{ijkl}\epsilon _{kl}}$

Замена этого результата в предыдущей системе уравнений приводит нас к следующему результату:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}=\int _{\Omega }D_{ijkl}\epsilon _{ij}^{P}\epsilon _{kl}^{Q}\,d\Omega }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}=\int _{\Omega }D_{ijkl}\epsilon _{ij}^{Q}\epsilon _{kl}^{P}\,d\Omega }$

Если вычесть оба уравнения, мы получим следующий результат:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}=\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}}$

Пример

Для простого примера пусть m = 1 и n = 1. Рассмотрим горизонтальный луч на котором были определены две точки: точка 1 и точка 2. Сначала мы прикладываем вертикальную силу P к точке 1 и измеряем вертикальное смещение точки 2, обозначенное ${\displaystyle \Delta _{P2}}$. Затем мы убираем силу P и прикладываем вертикальную силу Q в точке 2, которая производит вертикальное смещение в точке 1 ${\displaystyle \Delta _{Q1}}$. Теорема взаимности Бетти утверждает, что:

${\displaystyle P\,\Delta _{Q1}=Q\,\Delta _{P2}.}$

Пример теоремы Бетти

Смотрите также

• Принцип Даламбера

Рекомендации

• Гали; ЯВЛЯЮСЬ. Невилл (1972). Структурный анализ: единый классический и матричный подход. Лондон, Нью-Йорк: E & FN SPON. п. 215. ISBN  0-419-21200-0.