Метод конечных элементов в строительной механике - Finite element method in structural mechanics

В метод конечных элементов (FEM) - это мощный метод, изначально разработанный для численного решения сложных задач в строительная механика, и он остается предпочтительным методом для сложных систем. В FEM структурная система моделируется набором соответствующих конечные элементы соединены между собой в дискретных точках, называемых узлами. Элементы могут иметь такие физические свойства, как толщина, коэффициент температурного расширения, плотность, Модуль для младших, модуль сдвига и Коэффициент Пуассона.

История

Происхождение конечного метода можно проследить до матричного анализа конструкций. ^[1][2] где была представлена ​​концепция матричного подхода смещения или жесткости. Концепции конечных элементов были разработаны на основе инженерных методов в 1950-х годах. Настоящий импульс метод конечных элементов получил в 1960-х и 1970-х годах благодаря Джон Аргирис, и коллеги; на Штутгартский университет, к Рэй В. Клаф; на Калифорнийский университет в Беркли, к Ольгерд Зенкевич и коллеги Эрнест Хинтон, Брюс Айронс;^[3] на Университет Суонси, к Филипп Ж. Сиарле; на Парижский университет; в Корнелл Университет, Ричард Галлахер и его сотрудники. Оригинальные работы, такие как работы Аргириса ^[4] и Клаф ^[5] стали основой современных методов структурного анализа методом конечных элементов.

Прямые или изогнутые одномерные элементы с такими физическими свойствами, как осевая жесткость, жесткость на изгиб и скручивание. Этот тип элемента подходит для моделирования кабелей, распорок, ферм, балок, ребер жесткости, решеток и рам. Прямые элементы обычно имеют два узла, по одному на каждом конце, в то время как для изогнутых элементов потребуется не менее трех узлов, включая конечные узлы. Элементы расположены в центроидный ось фактических членов.

• Двумерные элементы, которые сопротивляются только силам в плоскости за счет действия мембраны (плоскость стресс, самолет напряжение ) и пластины, которые выдерживают поперечные нагрузки за счет поперечного сдвига и изгиба (пластины и снаряды ). Они могут иметь различные формы, например плоские или изогнутые. треугольники и четырехугольники. Узлы обычно размещаются по углам элемента, и, если требуется для большей точности, можно разместить дополнительные узлы по краям элемента или даже внутри элемента. Элементы расположены посередине фактической толщины слоя.
• Тор -образные элементы для осесимметричных задач, таких как мембраны, толстые пластины, оболочки и твердые тела. Сечение элементов аналогично описанным ранее типам: одномерное для тонких пластин и оболочек и двумерное для твердых тел, толстых пластин и оболочек.
• Трехмерные элементы для моделирования трехмерных тел, таких как машина составные части, плотины, набережные или почвенные массы. Общие формы элементов включают тетраэдры и шестигранники. Узлы размещаются в вершинах и, возможно, на гранях элемента или внутри элемента.

Взаимосвязь и перемещение элементов

Элементы связаны между собой только на внешних узлах, и вместе они должны максимально точно охватывать всю область. Узлы будут иметь узловые (векторные) смещения или же степени свободы которые могут включать переводы, повороты и для специальных приложений более высокого порядка производные перемещений. Когда узлы смещаются, они будут тащить элементы движутся определенным образом, продиктованным формулировкой элемента. Другими словами, смещения любых точек в элементе будут интерполированный от узловых смещений, и это основная причина приближенного характера решения.

Практические соображения

С точки зрения приложения важно моделировать систему таким образом, чтобы:

• Условия симметрии или антисимметрии используются для уменьшения размера модели.
• Совместимость смещения, включая любую требуемую неоднородность, обеспечивается в узлах и, предпочтительно, также вдоль краев элементов, особенно когда смежные элементы имеют разные типы, материал или толщину. Совместимость перемещений многих узлов обычно может быть наложена через отношения ограничений.
• Поведение элементов должно отражать доминирующие действия реальной системы как локально, так и глобально.
• Сетка элемента должна быть достаточно мелкой для обеспечения приемлемой точности. Для оценки точности сетка уточняется до тех пор, пока важные результаты не покажут небольших изменений. Для большей точности соотношение сторон элементов должны быть как можно ближе к единице, а элементы меньшего размера должны использоваться вместо частей с более высоким напряжением градиент.
• Надлежащие опорные ограничения накладываются с особым вниманием к узлам на осях симметрии.

Крупномасштабные коммерческие программные пакеты часто предоставляют средства для создания сетки и графического отображения ввода и вывода, что значительно облегчает проверку как входных данных, так и интерпретацию результатов.

Теоретический обзор формулировки смещения МКЭ: от элементов к системе, к решению

Хотя теория МКЭ может быть представлена ​​в разных ракурсах или акцентах, ее развитие для структурный анализ следует более традиционному подходу через виртуальная работа принцип или принцип минимальной полной потенциальной энергии. В виртуальная работа Принципиальный подход является более общим, поскольку он применим как к линейному, так и к нелинейному поведению материала. Виртуальный метод работы - это выражение сохранение энергии: для консервативных систем работа, добавленная к системе набором приложенных сил, равна энергии, запасенной в системе в виде энергии деформации компонентов конструкции.

Принцип виртуальные смещения для структурной системы выражает математическое тождество внешней и внутренней виртуальной работы:

${displaystyle {mbox{External virtual work}}=int _{V}delta {oldsymbol {epsilon }}^{T}{oldsymbol {sigma }},dVqquad mathrm {(1)} }$

Другими словами, сумма работы, совершаемой над системой набором внешних сил, равна работе, накопленной в виде энергии деформации в элементах, составляющих систему.

Виртуальную внутреннюю работу в правой части приведенного выше уравнения можно найти, суммируя виртуальную работу, проделанную над отдельными элементами. Последнее требует использования функций «сила-смещение», которые описывают реакцию для каждого отдельного элемента. Следовательно, смещение конструкции описывается коллективной реакцией отдельных (дискретных) элементов. Уравнения записываются только для небольшой области отдельных элементов конструкции, а не для одного уравнения, которое описывает реакцию системы в целом (континуум). Последнее привело бы к неразрешимой проблеме, отсюда и полезность метода конечных элементов. Как показано в следующих разделах, уравнение (1) приводит к следующему основному уравнению равновесия для системы:

${displaystyle mathbf {R} =mathbf {Kr} +mathbf {R} ^{o}qquad qquad qquad mathrm {(2)} }$

куда

${displaystyle mathbf {R} }$ = вектор узловых сил, представляющих внешние силы, приложенные к узлам системы.

${displaystyle mathbf {K} }$ = матрица жесткости системы, которая представляет собой коллективный эффект отдельных матрицы жесткости элементов :${displaystyle mathbf {k} ^{e}}$.

${displaystyle mathbf {r} }$ = вектор узловых перемещений системы.

${displaystyle mathbf {R} ^{o}}$ = вектор эквивалентных узловых сил, представляющий все внешние эффекты, кроме узловых сил, которые уже включены в предыдущий вектор узловой силы р. Эти внешние эффекты могут включать распределенные или сосредоточенные поверхностные силы, объемные силы, тепловые эффекты, начальные напряжения и деформации.

После учета ограничений опор узловые смещения находятся путем решения система линейных уравнений (2), символически:

${displaystyle mathbf {r} =mathbf {K} ^{-1}(mathbf {R} -mathbf {R} ^{o})qquad qquad qquad mathrm {(3)} }$

Впоследствии деформации и напряжения в отдельных элементах могут быть найдены следующим образом:

${displaystyle mathbf {epsilon } =mathbf {Bq} qquad qquad qquad qquad mathrm {(4)} }$

${displaystyle mathbf {sigma } =mathbf {E} (mathbf {epsilon } -mathbf {epsilon } ^{o})+mathbf {sigma } ^{o}=mathbf {E} (mathbf {Bq} -mathbf {epsilon } ^{o})+mathbf {sigma } ^{o}qquad qquad qquad mathrm {(5)} }$

куда

${displaystyle mathbf {q} }$ = вектор узловых перемещений - подмножество вектора перемещений системы р что относится к рассматриваемым элементам.

${displaystyle mathbf {B} }$ = матрица деформаций-смещений, преобразующая узловые смещения q деформации в любой точке элемента.

${displaystyle mathbf {E} }$ = матрица упругости, которая преобразует эффективные деформации в напряжения в любой точке элемента.

${displaystyle mathbf {epsilon } ^{o}}$ = вектор начальных деформаций в элементах.

${displaystyle mathbf {sigma } ^{o}}$ = вектор начальных напряжений в элементах.

Применяя виртуальная работа уравнения (1) к системе, можно установить матрицы элементов ${displaystyle mathbf {B} }$, ${displaystyle mathbf {k} ^{e}}$ а также технику сборки системных матриц ${displaystyle mathbf {R} ^{o}}$ и ${displaystyle mathbf {K} }$. Другие матрицы, такие как ${displaystyle mathbf {epsilon } ^{o}}$, ${displaystyle mathbf {sigma } ^{o}}$, ${displaystyle mathbf {R} }$ и ${displaystyle mathbf {E} }$ являются известными значениями и могут быть установлены непосредственно при вводе данных.

Функции интерполяции или формы

Позволять ${displaystyle mathbf {q} }$ - вектор узловых перемещений типового элемента. Смещения в любой другой точке элемента могут быть найдены с помощью интерполяция символически функционирует как:

${displaystyle mathbf {u} =mathbf {N} mathbf {q} qquad qquad qquad mathrm {(6)} }$

куда

${displaystyle mathbf {u} }$ = вектор перемещений в любой точке {x, y, z} элемента.

${displaystyle mathbf {N} }$ = матрица функции формы выступая в качестве интерполяция функции.

Уравнение (6) порождает другие представляющие большой интерес величины:

• Виртуальные смещения, являющиеся функцией виртуальных узловых смещений: ${displaystyle delta mathbf {u} =mathbf {N} delta mathbf {q} qquad qquad qquad mathrm {(6b)} }$
• Деформации элементов, возникающие в результате смещения узлов элемента:${displaystyle mathbf {epsilon } =mathbf {Du} =mathbf {DNq} qquad qquad qquad qquad mathrm {(7)} }$

куда ${displaystyle mathbf {D} }$ = матрица дифференциальные операторы которые преобразуют смещения в деформации, используя линейная эластичность теория. Уравнение (7) показывает, что матрица B в (4) есть

${displaystyle mathbf {B} =mathbf {DN} qquad qquad qquad qquad mathrm {(8)} }$

• Виртуальные деформации соответствуют виртуальным узловым смещениям элемента: ${displaystyle delta {oldsymbol {epsilon }}=mathbf {B} delta mathbf {q} qquad qquad qquad qquad mathrm {(9)} }$

Внутренняя виртуальная работа в типичном элементе

Для типичного элемента объема ${displaystyle V^{e}}$внутренняя виртуальная работа из-за виртуальных перемещений получается заменой (5) и (9) в (1):

${displaystyle {mbox{Internal virtual work}}=int _{V^{e}}delta {oldsymbol {epsilon }}^{T}{oldsymbol {sigma }},dV^{e}=delta mathbf {q} ^{T}int _{V^{e}}mathbf {B} ^{T}{ig {}mathbf {E} (mathbf {Bq} -mathbf {epsilon } ^{o})+mathbf {sigma } ^{o}{ig }},dV^{e}qquad mathrm {(10)} }$

Матрицы элементов

В первую очередь для удобства ссылки теперь могут быть определены следующие матрицы, относящиеся к типичным элементам:

Матрица жесткости элемента ${displaystyle mathbf {K} ^{e}=int _{V^{e}}mathbf {B} ^{T}mathbf {E} mathbf {B} ,dV^{e}qquad mathrm {(11)} }$

Эквивалентный вектор нагрузки элемента ${displaystyle mathbf {Q} ^{oe}=int _{V^{e}}-mathbf {B} ^{T}{ig (}mathbf {E} mathbf {epsilon } ^{o}-mathbf {sigma } ^{o}{ig )},dV^{e}qquad mathrm {(12)} }$

Эти матрицы обычно вычисляются численно с использованием Квадратура Гаусса за численное интегрирование. Их использование упрощает (10) до следующего:

${displaystyle {mbox{Internal virtual work}}=delta mathbf {q} ^{T}{ig (}mathbf {K} ^{e}mathbf {q} +mathbf {Q} ^{oe}{ig )}qquad mathrm {(13)} }$

Виртуальная работа элемента с точки зрения узловых перемещений системы

Поскольку вектор узлового смещения q является подмножеством узловых перемещений системы р (для совместимости с соседними элементами) можно заменить q с р за счет расширения размеров матриц элементов новыми столбцами и строками нулей:

${displaystyle {mbox{Internal virtual work}}=delta mathbf {r} ^{T}{ig (}mathbf {K} ^{e}mathbf {r} +mathbf {Q} ^{oe}{ig )}qquad mathrm {(14)} }$

где для простоты мы используем те же символы для матриц элементов, которые теперь имеют увеличенный размер, а также соответствующим образом переставленные строки и столбцы.

Системная виртуальная работа

Суммируя внутреннюю виртуальную работу (14) для всех элементов, получаем правую часть (1):

${displaystyle {mbox{System internal virtual work}}=sum _{e}delta mathbf {r} ^{T}{ig (}mathbf {k} ^{e}mathbf {r} +mathbf {Q} ^{oe}{ig )}=delta mathbf {r} ^{T}{ig (}sum _{e}mathbf {k} ^{e}{ig )}mathbf {r} +delta mathbf {r} ^{T}sum _{e}mathbf {Q} ^{oe}qquad mathrm {(15)} }$

Теперь, учитывая левую часть (1), внешняя виртуальная работа системы состоит из:

• Работа узловых сил р: ${displaystyle delta mathbf {r} ^{T}mathbf {R} qquad mathrm {(16)} }$
• Работа, совершаемая внешними силами ${displaystyle mathbf {T} ^{e}}$ со стороны ${displaystyle mathbf {S} ^{e}}$ кромок или поверхностей элементов, а также силами тела ${displaystyle mathbf {f} ^{e}}$

${displaystyle sum _{e}int _{S^{e}}delta mathbf {u} ^{T}mathbf {T} ^{e},dS^{e}+sum _{e}int _{V^{e}}delta mathbf {u} ^{T}mathbf {f} ^{e},dV^{e}}$

Подстановка (6b) дает:

${displaystyle delta mathbf {q} ^{T}sum _{e}int _{S^{e}}mathbf {N} ^{T}mathbf {T} ^{e},dS^{e}+delta mathbf {q} ^{T}sum _{e}int _{V^{e}}mathbf {N} ^{T}mathbf {f} ^{e},dV^{e}}$

или же ${displaystyle -delta mathbf {q} ^{T}sum _{e}(mathbf {Q} ^{te}+mathbf {Q} ^{fe})qquad mathrm {(17a)} }$

где мы ввели дополнительные матрицы элементов, определенные ниже:

${displaystyle mathbf {Q} ^{te}=-int _{S^{e}}mathbf {N} ^{T}mathbf {T} ^{e},dS^{e}qquad mathrm {(18a)} }$

${displaystyle mathbf {Q} ^{fe}=-int _{V^{e}}mathbf {N} ^{T}mathbf {f} ^{e},dV^{e}qquad mathrm {(18b)} }$

Опять таки, численное интегрирование удобно для их оценки. Аналогичная замена q в (17а) с р дает после перестановки и расширения векторов ${displaystyle mathbf {Q} ^{te},mathbf {Q} ^{fe}}$:

${displaystyle -delta mathbf {r} ^{T}sum _{e}(mathbf {Q} ^{te}+mathbf {Q} ^{fe})qquad mathrm {(17b)} }$

Сборка системных матриц

Складывая (16), (17b) и приравнивая сумму к (15), получаем:${displaystyle delta mathbf {r} ^{T}mathbf {R} -delta mathbf {r} ^{T}sum _{e}(mathbf {Q} ^{te}+mathbf {Q} ^{fe})=delta mathbf {r} ^{T}{ig (}sum _{e}mathbf {k} ^{e}{ig )}mathbf {r} +delta mathbf {r} ^{T}sum _{e}mathbf {Q} ^{oe}}$

Поскольку виртуальные перемещения ${displaystyle delta mathbf {r} }$ произвольны, предыдущее равенство сводится к:

${displaystyle mathbf {R} ={ig (}sum _{e}mathbf {k} ^{e}{ig )}mathbf {r} +sum _{e}{ig (}mathbf {Q} ^{oe}+mathbf {Q} ^{te}+mathbf {Q} ^{fe}{ig )}}$

Сравнение с (2) показывает, что:

• Матрица жесткости системы получается суммированием матриц жесткости элементов:

${displaystyle mathbf {K} =sum _{e}mathbf {k} ^{e}}$

• Вектор эквивалентных узловых сил получается путем суммирования векторов нагрузок элементов:

${displaystyle mathbf {R} ^{o}=sum _{e}{ig (}mathbf {Q} ^{oe}+mathbf {Q} ^{te}+mathbf {Q} ^{fe}{ig )}}$

На практике матрицы элементов не расширяются и не переупорядочиваются. Вместо этого матрица жесткости системы ${displaystyle mathbf {K} }$ собирается путем добавления индивидуальных коэффициентов ${displaystyle {k}_{ij}^{e}}$ к ${displaystyle {K}_{kl}}$ где индексы ij, kl означают, что узловые перемещения элемента ${displaystyle {q}_{i}^{e},{q}_{j}^{e}}$ совпадают соответственно с узловыми перемещениями системы ${displaystyle {r}_{k},{r}_{l}}$. По аналогии, ${displaystyle mathbf {R} ^{o}}$ собирается путем добавления индивидуальных коэффициентов ${displaystyle {Q}_{i}^{e}}$ к ${displaystyle {R}_{k}^{o}}$ куда ${displaystyle {q}_{i}^{e}}$ совпадения ${displaystyle {r}_{k}}$. Это прямое добавление ${displaystyle {k}_{ij}^{e}}$ в ${displaystyle {K}_{kl}}$ дает процедуре имя Метод прямой жесткости.

Смотрите также

• Метод конечных элементов
• Метод гибкости
• Матричный метод жесткости
• Модальный анализ с использованием МКЭ
• Список пакетов программного обеспечения конечных элементов
• Структурный анализ
• Виртуальная работа
• Интервальный конечный элемент

Рекомендации

1. Матричный анализ каркасных конструкций, 3-е издание, авторы - младший Уильям Уивер, Джеймс М. Гир, Springer-Verlag New York, LLC, ISBN  978-0-412-07861-3, 1966
2. Теория матричного структурного анализа, J. S. Przemieniecki, McGraw-Hill Book Company, Нью-Йорк, 1968
3. Хинтон, Эрнест; Айронс, Брюс (июль 1968 г.). «Сглаживание экспериментальных данных методом наименьших квадратов с использованием конечных элементов». Напряжение. 4 (3): 24–27. Дои:10.1111 / j.1475-1305.1968.tb01368.x.
4. Аргирис, Дж. Х. и Келси, С. Энергетические теоремы и структурный анализ Научные публикации Баттерворта, Лондон, 1954 г.
5. Клаф Р.У. «Конечный элемент в анализе плоских напряжений». Труды 2-й конференции ASCE по электронным вычислениям, Питтсбург, сентябрь 1960 г.