Модальный анализ с использованием МКЭ - Modal analysis using FEM

Цель модальный анализ в строительной механике заключается в определении формы естественных колебаний и частот объекта или конструкции во время свободного вибрация. Обычно используется метод конечных элементов (FEM) для выполнения этого анализа, потому что, как и другие вычисления с использованием FEM, анализируемый объект может иметь произвольную форму и результаты расчетов приемлемы. Типы уравнений, которые возникают из модального анализа, представлены в собственные системы. Физическая интерпретация собственные значения и собственные векторы которые возникают в результате решения системы, заключаются в том, что они представляют частоты и соответствующие формы колебаний. Иногда единственными желательными модами являются самые низкие частоты, потому что они могут быть наиболее заметными модами, при которых объект будет вибрировать, доминируя над всеми более высокими частотами.

Также возможно испытать физический объект, чтобы определить его собственные частоты и формы колебаний. Это называется Экспериментальный модальный анализ. Результаты физического испытания могут быть использованы для калибровки конечно-элементной модели, чтобы определить, правильны ли сделанные предположения (например, использовались правильные свойства материала и граничные условия).

FEA eigensystems

Для самой основной задачи, связанной с линейным упругим материалом, который подчиняется Закон Гука, то матрица уравнения принимают форму динамической трехмерной системы масс пружины. Обобщенное уравнение движения имеет вид:^[1]

${displaystyle [M][{ddot {U}}]+[C][{dot {U}}]+[K][U]=[F]}$

куда ${displaystyle [M]}$ - матрица масс,${displaystyle [{ddot {U}}]}$ - 2-я производная смещения по времени${displaystyle [U]}$ (т.е. ускорение), ${displaystyle [{dot {U}}]}$- скорость, ${displaystyle [C]}$ - матрица затухания,${displaystyle [K]}$ - матрица жесткости, а ${displaystyle [F]}$- вектор силы. Общая проблема с ненулевым затуханием - это квадратичная задача на собственные значения. Однако для модального анализа колебаний демпфирование обычно игнорируется, оставляя только 1-й и 3-й члены в левой части:

${displaystyle [M][{ddot {U}}]+[K][U]=[0]}$

Это общая форма собственной системы, встречающаяся в структурной инженерии с использованием МКЭ. Для представления свободно-колебательных решений гармонического движения конструкции предполагается, что^[2] так что ${displaystyle [{ddot {U}}]}$принимается равным ${displaystyle lambda [U]}$,куда ${displaystyle lambda }$ - собственное значение (с квадратом единиц обратного времени, например, ${displaystyle mathrm {s} ^{-2}}$), и уравнение сводится к:^[3]

${displaystyle [M][U]lambda +[K][U]=[0]}$

Напротив, уравнение для статических задач:

${displaystyle [K][U]=[F]}$

что ожидается, когда все члены, имеющие производную по времени, установлены в ноль.

Сравнение с линейной алгеброй

В линейная алгебра, чаще встречается стандартная форма собственной системы, которая выражается как:

${displaystyle [A][x]=[x]lambda }$

Оба уравнения можно рассматривать как одно и то же, потому что если общее уравнение умножить на величину, обратную массе,${displaystyle [M]^{-1}}$, он примет форму последнего.^[4]Поскольку желательны более низкие моды, решение системы, скорее всего, включает эквивалент умножения на величину, обратную жесткости,${displaystyle [K]^{-1}}$, процесс, называемый обратная итерация.^[5]Когда это будет сделано, полученные собственные значения, ${displaystyle mu }$, относятся к оригиналу:

${displaystyle mu ={frac {1}{lambda }}}$

но собственные векторы такие же.

Смотрите также

• Метод конечных элементов
• Метод конечных элементов в строительной механике
• Модальный анализ
• Сейсмический анализ
• Структурная динамика
• Eigensystem
• Собственная мода
• Квадратичная проблема собственных значений

Рекомендации

1. Клаф, Рэй В. и Джозеф Пензиен, Динамика конструкций, 2-е изд., McGraw-Hill Publishing Company, Нью-Йорк, 1993, стр. 173
2. Купайся, Клаус Юрген, Процедуры с конечными элементами, 2-е изд., Prentice-Hall Inc., Нью-Джерси, 1996, стр. 786
3. Клаф, Рэй В. и Джозеф Пензиен, Динамика конструкций, 2-е изд., McGraw-Hill Publishing Company, Нью-Йорк, 1993, стр. 201.
4. Томсон, Уильям Т., Теория вибрации с приложениями, 3-е изд., Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, 1988, стр. 165
5. Хьюз, Томас Дж. Р., Метод конечных элементов, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, 1987, стр. 582-584.

внешняя ссылка

• Программа трехмерного модального анализа Frame3DD с открытым исходным кодом