Максимальное напряжение по Мизесу в задаче о плоских напряжениях с интервальными параметрами (рассчитывается градиентным методом).
В численный анализ, то интервальный метод конечных элементов (интервал МКЭ) это метод конечных элементов который использует параметры интервала. Интервальный МКЭ может применяться в ситуациях, когда невозможно получить достоверные вероятностные характеристики конструкции. Это важно в бетонных конструкциях, деревянных конструкциях, геомеханике, композитных конструкциях, биомеханике и во многих других областях.[1] Цель интервального конечного элемента - найти верхнюю и нижнюю границы различных характеристик модели (например, стресс, смещения, поверхность текучести и т. д.) и использовать эти результаты в процессе проектирования. Это так называемая схема наихудшего случая, которая тесно связана с расчет предельного состояния.
Дизайн наихудшего случая требует меньше информации, чем вероятностный дизайн однако результаты более консервативны [Köylüoglu and Елисаков 1998].[нужна цитата ]
Применение интервальных параметров к моделированию неопределенности
Рассмотрим следующее уравнение:
где а и б находятся действительные числа, и .
Очень часто точные значения параметров а и б неизвестны.
Предположим, что и . В этом случае необходимо решить следующее уравнение
Существует несколько определений множества решений этого уравнения с интервальными параметрами.
Единый набор решений
При таком подходе решением является следующий набор
Это наиболее популярный набор решений интервального уравнения, и этот набор решений будет применен в этой статье.
В многомерном случае множество единых решений намного сложнее. Множество решений следующей системы линейные интервальные уравнения
показано на следующем рисунке
Набор точных решений очень сложен, поэтому необходимо найти наименьший интервал, который содержит набор точных решений.
или просто
где
Смотрите также [1]
Набор параметрических решений интервальной линейной системы
Метод интервальных конечных элементов требует решения системы уравнений, зависящих от параметров (обычно с симметричной положительно определенной матрицей). Пример набора решений общей системы уравнений, зависящих от параметров.
показан на картинке ниже.[2]
Алгебраическое решение
В этом подходе x является номер интервала для которого уравнение
доволен. Другими словами, левая часть уравнения равна правой части уравнения. В этом частном случае решение имеет вид потому что
Если неопределенность больше, т.е. , тогда потому что
Если неопределенность еще больше, т.е. , то решения не существует. Найти физическую интерпретацию алгебраического интервального множества решений очень сложно, поэтому в приложениях обычно применяется единое множество решений.
Метод
Рассмотрим PDE с интервальными параметрами
где - вектор параметров, принадлежащих заданным интервалам
Например, уравнение теплопередачи
где параметры интервала (т.е. ).
Решение уравнения (1) можно определить следующим образом
Например, в случае уравнения теплопередачи
Решение очень сложно из-за того, что на практике более интересно найти наименьший возможный интервал, который содержит точное множество решений .
Например, в случае уравнения теплопередачи
Метод конечных элементов приводит к следующей системе алгебраических уравнений, зависящей от параметров
где K это матрица жесткости и Q это правая часть.
Интервальное решение можно определить как многозначную функцию
В простейшем случае описанную выше систему можно рассматривать как систему линейные интервальные уравнения.
Также возможно определить интервальное решение как решение следующей задачи оптимизации
В многомерном случае внутреннее решение можно записать как
Интервальное решение против вероятностного решения
Важно знать, что параметры интервала дают разные результаты, чем равномерно распределенные случайные величины.
Параметр интервала учитывать все возможные распределения вероятностей (для ).
Для определения параметра интервала необходимо знать только верхний и нижняя граница .
Расчет вероятностных характеристик требует знания большого количества экспериментальных результатов.
Можно показать, что сумма n интервальных чисел равна раз больше, чем сумма соответствующих нормально распределенных случайных величин.
Сумма п номер интервала равно
Ширина этого интервала равна
Рассматривать нормально распределенная случайная величина Икс такой, что
Сумма п нормально распределенная случайная величина - это нормально распределенная случайная величина со следующими характеристиками (см. Шесть Сигм )
Можно считать, что ширина вероятностного результата равна 6 сигм (ср. Шесть Сигм ).
Теперь мы можем сравнить ширину интервала результата и вероятностного результата.
Из-за этого результаты интервального конечного элемента (или в целом анализа наихудшего случая) могут быть завышены по сравнению со стохастическим анализом бедренной кости (см. Также распространение неопределенности Однако в случае не вероятностной неопределенности невозможно применить чисто вероятностные методы. Поскольку вероятностные характеристики в этом случае точно не известны [ Елисаков 2000].
Можно рассматривать случайные (и нечеткие случайные величины) с интервальными параметрами (например, со средним интервалом, дисперсией и т. Д.). Некоторые исследователи используют интервальные (нечеткие) измерения в статистических расчетах (например, [2] ). В результате таких расчетов мы получим так называемые неточная вероятность.
Неточная вероятность понимается в очень широком смысле. Он используется как общий термин для обозначения всех математических моделей, которые измеряют вероятность или неопределенность без точных числовых вероятностей. Он включает как качественные (сравнительная вероятность, частичное упорядочение предпочтений,…), так и количественные режимы (интервальные вероятности, функции убеждений, верхнее и нижнее предвидение,…). Неточные вероятностные модели необходимы в задачах вывода, когда релевантная информация является скудной, расплывчатой или противоречивой, а также в задачах принятия решений, где предпочтения также могут быть неполными. [3].
Простой пример: моделирование растяжения, сжатия, деформации и напряжения)
1-мерный пример
в напряжение -сжатие проблема, следующие уравнение показывает взаимосвязь между смещение ты и сила п:
где L длина, А - площадь поперечного сечения, а E является Модуль для младших.
Если модуль Юнга и сила неопределенны, то
Найти верхняя и нижняя границы перемещения тывычислим следующие частные производные:
Рассчитайте экстремальные значения смещения следующим образом:
Рассчитать напряжение используя следующую формулу:
Вычислите производную деформации, используя производную от перемещений:
Рассчитайте экстремальные значения смещения следующим образом:
Также можно рассчитать предельные значения деформации, используя перемещения
тогда
Та же методология может быть применена к стресс
тогда
и
Если рассматривать стресс как функцию напряжения, тогда
тогда
Конструкция безопасна при стрессе меньше заданного значения т.е.
это условие верно, если
После расчета мы знаем, что это соотношение выполняется, если
Пример очень простой, но он показывает применение интервальных параметров в механике. Интервальные МКЭ используют очень похожую методологию в многомерных случаях [Pownuk 2004].
Однако в многомерных случаях связь между неопределенными параметрами и решением не всегда монотонна. В этом случае должны применяться более сложные методы оптимизации.[1]
Многомерный пример
В случае напряжения -сжатие уравнение равновесия имеет следующий вид:
где ты это смещение, E является Модуль для младших, А площадь поперечного сечения, а п является распределенной нагрузкой.Чтобы получить уникальное решение, необходимо добавить соответствующие граничные условия, например
Если Модуль для младших E и п неопределенны, то интервальное решение можно определить следующим образом
Для каждого элемента МКЭ уравнение можно умножить на тестовую функцию v
где
После интеграция по частям получим уравнение в слабой форме
где
Введем набор точек сетки , где - количество элементов, а функции линейной формы для каждого элемента FEM
где
левая конечная точка элемента, левая конечная точка элемента с номером «е». Приближенное решение в "е" -м элементе представляет собой линейную комбинацию функций формы
После подстановки в слабую форму уравнения получим следующую систему уравнений
или в матричной форме
Для построения глобальной матрицы жесткости необходимо в каждом узле рассмотреть уравнение равновесия, после чего уравнение имеет следующий вид матрицы
где