Duhamels интеграл - Duhamels integral

Теоретически вибрации, Интеграл Дюамеля это способ расчета отклика линейные системы и структуры к произвольному изменяющемуся во времени внешнему возмущению.

Вступление

Фон

Отклик линейного, вязкозатухающего одинарная степень свободы (SDOF) к изменяющемуся во времени механическому возбуждению п(т) задается следующим вторым порядком обыкновенное дифференциальное уравнение

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+c{\frac {dx(t)}{dt}}+kx(t)=p(t)}$

куда м - (эквивалентная) масса, Икс обозначает амплитуду вибрации, т На время, c для коэффициента вязкого демпфирования, а k для жесткость системы или структуры.

Если система изначально стоит на своем равновесие положение, откуда на него действует единичный импульс в конкретном случае т= 0, т.е. п(т) в приведенном выше уравнении является Дельта-функция Дирака δ(т), ${\displaystyle x(0)=\left.{\frac {dx}{dt}}\right|_{t=0}=0}$, то, решая дифференциальное уравнение, можно получить фундаментальное решение (известный как функция импульсного отклика)

${\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {1}{m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}t}\sin \omega _{d}t,&t>0\\0,&t<0\end{cases}}}$

куда ${\displaystyle \varsigma ={\frac {c}{2{\sqrt {km}}}}}$ называется коэффициент демпфирования системы, ${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ это естественно угловая частота незатухающей системы (когда c= 0) и ${\displaystyle \omega _{d}=\omega _{n}{\sqrt {1-\varsigma ^{2}}}}$ это круговая частота при учете демпфирующего эффекта (когда ${\displaystyle c\neq 0}$). Если импульс случается при т=τ вместо т= 0, т.е. ${\displaystyle p(t)=\delta (t-\tau )}$, импульсная характеристика равна

${\displaystyle h(t-\tau )={\frac {1}{m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]}$，${\displaystyle t\geq \tau }$

Вывод

Относительно произвольно меняющегося возбуждения п(т) как суперпозиция серии импульсов:

${\displaystyle p(t)\approx \sum _{\tau <t}{p(\tau )\cdot \Delta \tau \cdot \delta }(t-\tau )}$

тогда из линейности системы известно, что общий отклик также можно разбить на суперпозицию серии импульсных откликов:

${\displaystyle x(t)\approx \sum _{\tau <t}{p(\tau )\cdot \Delta \tau \cdot h}(t-\tau )}$

Сдача ${\displaystyle \Delta \tau \to 0}$, и заменив суммирование на интеграция, приведенное выше уравнение строго верно

${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}{p(\tau )h(t-\tau )d\tau }}$

Подставляя выражение час(т-τ) в приведенное выше уравнение приводит к общему выражению интеграла Дюамеля

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{m\omega _{d}}}\int _{0}^{t}{p(\tau )e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]d\tau }}$

Математическое доказательство

Приведенное выше уравнение динамического равновесия SDOF в случае p (t) = 0 это однородное уравнение:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+{\bar {c}}{\frac {dx(t)}{dt}}+{\bar {k}}x(t)=0}$, куда ${\displaystyle {\bar {c}}={\frac {c}{m}},{\bar {k}}={\frac {k}{m}}}$

Решение этого уравнения:

${\displaystyle x_{h}(t)=C_{1}\cdot e^{-{\frac {1}{2}}({\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4\cdot {\bar {k}}}})t}+C_{2}\cdot e^{{\frac {1}{2}}(-{\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4\cdot {\bar {k}}}})t}}$

Замена: ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}({\bar {c}}-{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}}),\;B={\frac {1}{2}}({\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}}),\;P={\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}},\;P=B-A}$ приводит к:

${\displaystyle x_{h}(t)=C_{1}e^{-B\cdot t}\;+\;C_{2}e^{-A\cdot t}}$

Одно частное решение неоднородного уравнения: ${\displaystyle {\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+{\bar {c}}{\frac {dx(t)}{dt}}+{\bar {k}}x(t)={\bar {p(t)}}}$, куда ${\displaystyle {\bar {p(t)}}={\frac {p(t)}{m}}}$, может быть получена лагранжевым методом для получения частичного решения неоднородной обыкновенные дифференциальные уравнения.

Это решение имеет вид:

${\displaystyle x_{p}(t)={\frac {\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{At}dt}\cdot e^{-At}-\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{Bt}dt}\cdot e^{-Bt}}{P}}}$

Теперь подставляем:${\displaystyle \int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{At}dt}|_{t=z}=Q_{z},\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{Bt}dt}|_{t=z}=R_{z}}$,куда ${\displaystyle \int {x(t)dt}|_{t=z}}$ это примитивный из х (т) вычислено в т = г, в случае г = т этот интеграл является самим примитивом, дает:

${\displaystyle x_{p}(t)={\frac {Q_{t}\cdot e^{-At}-R_{t}\cdot e^{-Bt}}{P}}}$

Наконец, общее решение вышеупомянутого неоднородного уравнения представляется как:

${\displaystyle x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)=C_{1}\cdot e^{-Bt}+C_{2}\cdot e^{-At}+{\frac {Q_{t}\cdot e^{-At}-R_{t}\cdot e^{-Bt}}{P}}}$

с производной по времени:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-Ae^{-At}\cdot C_{2}-Be^{-Bt}\cdot C_{1}+{\frac {1}{P}}[{\dot {Q_{t}}}\cdot e^{-At}-AQ_{t}\cdot e^{-At}-{\dot {R_{t}}}\cdot e^{-Bt}+BR_{t}\cdot e^{-Bt}]}$, куда ${\displaystyle {\dot {Q_{t}}}=p(t)\cdot e^{At},{\dot {R_{t}}}=p(t)\cdot e^{Bt}}$

Чтобы найти неизвестные константы ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$, будут применены нулевые начальные условия:

${\displaystyle x(t)|_{t=0}=0:C_{1}+C_{2}+{\frac {Q_{0}\cdot 1-R_{0}\cdot 1}{P}}=0}$ ⇒ ${\displaystyle C_{1}+C_{2}={\frac {R_{0}-Q_{0}}{P}}}$

${\displaystyle \left.{\frac {dx}{dt}}\right|_{t=0}=0:-A\cdot C_{2}-B\cdot C_{1}+{\frac {1}{P}}\cdot [-A\cdot Q_{0}+B\cdot R_{0}]=0}$ ⇒ ${\displaystyle A\cdot C_{2}+B\cdot C_{1}={\frac {1}{P}}\cdot [B\cdot R_{0}-A\cdot Q_{0}]}$

Теперь, объединив оба начальных условия вместе, наблюдается следующая система уравнений:

${\displaystyle \left.{\begin{alignedat}{5}C_{1}&&\;+&&\;C_{2}&&\;=&&\;{\frac {R_{0}-Q_{0}}{P}}&\\B\cdot C_{1}&&\;+&&\;A\cdot C_{2}&&\;=&&\;{\frac {1}{P}}\cdot [B\cdot R_{0}-A\cdot Q_{0}]\end{alignedat}}\right|{\begin{alignedat}{5}C_{1}&&\;=&&\;{\frac {R_{0}}{P}}&\\C_{2}&&\;=&&\;-{\frac {Q_{0}}{P}}\end{alignedat}}}$

Обратная подстановка констант ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ в приведенное выше выражение для х (т) дает:

${\displaystyle x(t)={\frac {Q_{t}-Q_{0}}{P}}\cdot e^{-A\cdot t}-{\frac {R_{t}-R_{0}}{P}}\cdot e^{-B\cdot t}}$

Замена ${\displaystyle Q_{t}-Q_{0}}$ и ${\displaystyle R_{t}-R_{0}}$ (разница между примитивами на т = т и t = 0) с определенные интегралы (по другой переменной τ) выявит общее решение с нулевыми начальными условиями, а именно:

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{P}}\cdot [\int _{0}^{t}{{\bar {p(\tau )}}\cdot e^{A\tau }d\tau }\cdot e^{-At}-\int _{0}^{t}{{\bar {p(\tau )}}\cdot e^{B\tau }d\tau }\cdot e^{-Bt}]}$

Наконец, подставив ${\displaystyle c=2\xi \omega m,\;k=\omega ^{2}m}$, соответственно ${\displaystyle {\bar {c}}=2\xi \omega ,{\bar {k}}=\omega ^{2}}$, куда ξ <1 дает:

${\displaystyle P=2\omega _{D}i,\;A=\xi \omega -\omega _{D}i,\;B=\xi \omega +\omega _{D}i}$, куда ${\displaystyle \omega _{D}=\omega \cdot {\sqrt {1-\xi ^{2}}}}$ и я это мнимая единица.

Подставляя эти выражения в приведенное выше общее решение с нулевыми начальными условиями и используя Экспоненциальная формула Эйлера приведет к отмене мнимых терминов и обнаружит решение Дюамеля:

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{\omega _{D}}}\int _{0}^{t}{{\bar {p(\tau )}}e^{-\xi \omega (t-\tau )}sin(\omega _{D}(t-\tau ))d\tau }}$

Смотрите также

• Принцип Дюамеля

Рекомендации

• Р. В. Клаф, Дж. Пензиен, Динамика конструкций, Mc-Graw Hill Inc., Нью-Йорк, 1975.
• Анил К. Чопра, Динамика конструкций - теория и приложения к сейсмологической инженерии, Pearson Education Asia Limited и Tsinghua University Press, Пекин, 2001 г.
• Леонард Мейрович, Элементы вибрационного анализа, Mc-Graw Hill Inc., Сингапур, 1986 г.

внешняя ссылка

• Формула Дюамеля в "Дисперсивной вики".