Изотермические координаты - Isothermal coordinates

В математика особенно в дифференциальная геометрия, изотермические координаты на Риманово многообразие - локальные координаты, где метрика являетсяконформный к Евклидова метрика. Это означает, что в изотермических координатах Риманова метрика локально имеет вид

${displaystyle g=varphi (dx_{1}^{2}+cdots +dx_{n}^{2}),}$

куда ${displaystyle varphi }$ это гладкая функция. (Если риманово многообразие ориентировано, некоторые авторы настаивают на том, что система координат должна согласовываться с этой ориентацией, чтобы быть изотермической.)

Изотермические координаты на поверхностях были впервые введены Гаусс. Корн и Лихтенштейн доказали, что изотермические координаты существуют вокруг любой точки на двумерном римановом многообразии. На многомерных римановых многообразиях необходимым и достаточным условием их локального существования является обращение в нуль Тензор Вейля и из Тензор хлопка.

Изотермические координаты на поверхностях

Гаусс (1822) доказал существование изотермических координат на произвольной поверхности с вещественной аналитической метрикой, следуя результатамЛагранж (1779) на поверхностях вращения. Результаты для непрерывных метрик Гёльдера были получены Корн (1916) и Лихтенштейн (1916). Позже отчеты были даны Морри (1938), Альфорс (1955) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFAhlfors1955 (помощь), Берс (1952) и Черн (1955). Особенно простая учетная запись с использованием Звездный оператор Ходжа дается в ДеТюрк и Каздан (1981).

Уравнение Бельтрами

Доказательство существования изотермических координат^[1] применяя известные теоремы существования Уравнение Бельтрами, которые опираются на L^п оценки для сингулярные интегральные операторы из Кальдерон и Зигмунд.^[2][3] Более простой подход к уравнению Бельтрами был недавно предложен Адриан Дуади.^[4]

Если риманова метрика задана локально как

${displaystyle ds^{2}=E,dx^{2}+2F,dx,dy+G,dy^{2},}$

то в комплексной координате z = Икс + яу, он принимает вид

${displaystyle ds^{2}=lambda |,dz+mu ,d{overline {z}}|^{2},}$

где λ и μ гладкие с λ> 0 и | μ | <1. Фактически

${displaystyle lambda ={1 over 4}(E+G+2{sqrt {EG-F^{2}}}),,,,mu =(E-G+2iF)/4lambda .}$

В изотермических координатах (ты, v) метрика должна иметь вид

${displaystyle ds^{2}=ho (du^{2}+dv^{2})}$

с ρ> 0 гладкой. Комплексная координата ш = ты + я v удовлетворяет

${displaystyle ho ,|dw|^{2}=ho |w_{z}|^{2}|,dz+{w_{overline {z}} over w_{z}},d{overline {z}}|^{2},}$

так что координаты (ты, v) будет изотермическим, если Уравнение Бельтрами

${displaystyle {partial w over partial {overline {z}}}=mu {partial w over partial z}}$

имеет диффеоморфное решение. Доказано, что такое решение существует в любой окрестности, где || μ ||_∞ < 1.

Звездный оператор Ходжа

Новые координаты ты и v являются изотермическими при условии, что

${displaystyle star du=dv,}$

куда ${displaystyle star }$ это Звездный оператор Ходжа определяется метрикой.^[5]

Позволять ${displaystyle Delta =d^{*}d}$ быть Оператор Лапласа – Бельтрами по функциям.

Тогда по стандартной эллиптической теории ты может быть выбран гармонический вблизи заданной точки, т.е. Δ ты = 0, причем ду не исчезают.^[5][6]

Действительно, поскольку задача локальна, достаточно описать решение на торе Т² наделен римановой метрикой. В этом случае Δ ж = грамм можно решить около 0 с заданными начальными значениями ж(0), df(0).

Это можно доказать с помощью L² Соболевские пространства ЧАС_s(Т²) за s ≥ 0.^[7] Эти гильбертовы пространства могут быть определены в терминах Δ и римановой структуры, но они не зависят от этих структур. Следует, что я + Δ дает линейный изоморфизм из ЧАС_s+2(Т²) на ЧАС_s(Т²) и что Δ ж = грамм разрешимо тогда и только тогда, когда грамм ортогонален константам. С другой стороны, стандартные методы подразумевают аппроксимационную теорему:^[8] гладкие функции, обращающиеся в нуль в окрестности точки, плотны в ЧАС_s(Т²) за s ≤ 1 (способ доказательства см. Ниже).

В частности, плотность означает, что для любого s > 0 small есть гладкие функции грамм равный 0 около 1, ортогональный константам в ЧАС_s(Т²) такая, что функции ж = ∆⁻¹ грамм плотны в подпространстве ЧАС_s+2(Т²) ортогональные константам. По эллиптической регулярности эти ж гладкие. Посредством Теорема вложения Соболева ЧАС_s+2(Т²) лежит в C¹(Т²); плотности в пространстве Соболева следует, что ж(0), df(0) принимают все возможные значения, как заявлено.

Приведенная выше аппроксимационная теорема может быть доказана теми же методами, что и соответствующий одномерный результат: гладкие функции, обращающиеся в нуль в окрестности точки, плотны в ЧАС_s(Т) за s ≤ 1/2. Для простоты будет описан только этот случай. Достаточно доказать это для точки 1 единичной окружности Т. По преобразованию Кэли между кругом и действительной линией функции, обращающиеся в нуль до бесконечного порядка в 1 в C^∞(Т) можно отождествить с S(р), пространство Функции Шварца на р. Гладкие функции компактного носителя плотны в S(р); и поэтому А пространство гладких функций, исчезающих в окрестности 1 в C^∞(Т) плотно в пространстве гладких функций, равных нулю со всеми их производными в 1. По Теорема Стоуна-Вейерштрасса, А равномерно плотный в C₀(Т{1}). Таким образом, если час лежит в B, идеал в C¹(Т) функций, равных нулю со своей производной в 1, час и час' можно равномерно аппроксимировать функцией от А. Следовательно А плотно в B. С другой стороны C¹(Т) в ЧАС_s(Т) если s ≤ 1/2. Чтобы доказать, что А плотно в ЧАС_s(Т), поэтому достаточно показать, что он содержит функции а_п(θ}}) и б_п(θ) стремящаяся к нулю по соболевской норме с а_п(0) = 0, обращающийся в нуль в точке 1 и ∂_θа_п(0) = 1; и б_п(0) = 1 ad ∂_θб_п(0) = 0. Подходящие функции: а_п(θ) = грех пθ / п и б_п(θ) = c_п(θ) / c_п(0) куда c_п(θ) = ∑ (1 - п⁻¹)^k потому что kθ / k бревно k}}.^[9]

Посредством Лемма Пуанкаре ${displaystyle star du=dv}$ имеет локальное решение v именно когда ${displaystyle dstar du=0}$.

С

${displaystyle star dstar =d^{*},}$

это эквивалентно Δты = 0, а значит, существует локальное решение.

С ду отличен от нуля и квадрат звездочного оператора Ходжа равен −1 на 1-формах, ду и dv обязательно линейно независимы, поэтому ты и v дать локальные изотермические координаты.

Гауссова кривизна

В изотермических координатах (ты, v), Гауссова кривизна принимает более простую форму

${displaystyle K=-{frac {1}{2}}e^{-ho }left({frac {partial ^{2}ho }{partial u^{2}}}+{frac {partial ^{2}ho }{partial v^{2}}}ight),}$

куда ${displaystyle varphi =e^{ho }}$.

Смотрите также

• Конформная карта
• Уравнение Лиувилля
• Квазиконформная карта

Примечания

1. Имаёши и Танигучи 1992, стр. 20–21
2. Альфорс 1966, стр. 85–115
3. Имаёши и Танигучи 1992, стр. 92–104
4. Дуади и Бафф 2000
5. ДеТурк и Каздан 1981; Тейлор 1996, стр. 377–378
6. Для альтернативного доказательства с использованием теория потенциала и сингулярные интегральные операторы, видеть Берс, Джон и Шехтер, 1979 г., стр. 228–230
7. Видеть:
   • Берс, Джон и Шехтер, 1979 г.
   • Уорнер 1983
   • Тейлор 1996
8. Хёрмандер 1990
9. Зигмунд 2002 Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFZygmund2002 (помощь)

Рекомендации

• Альфорс, Ларс В. (1952), Конформность относительно римановых метрик., Анна. Акад. Sci. Фенн. Сер. А. И., 206, стр. 1–22
• Альфорс, Ларс В. (1966), Лекции о квазиконформных отображениях, Ван Ностранд
• Берс, Липман (1952), Римановы поверхности, 1951–1952 гг., Нью-Йоркский университет, стр. 15–35.
• Берс, Липман; Джон, Фриц; Шехтер, Мартин (1979), Уравнения с частными производными, Лекции по прикладной математике, 3А, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0049-3
• Черн, Шиинг-шен (1955), «Элементарное доказательство существования изотермических параметров на поверхности», Proc. Амер. Математика. Soc., Американское математическое общество, 6 (5): 771–782, Дои:10.2307/2032933, JSTOR  2032933
• ДеТерк, Деннис М .; Каздан, Джерри Л. (1981), «Некоторые теоремы регулярности в римановой геометрии», Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, Сери 4, 14 (3): 249–260, Дои:10.24033 / asens.1405, ISSN  0012-9593, МИСТЕР  0644518.
• ду Карму, Манфреду (1976), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей., Прентис Холл, ISBN  0-13-212589-7
• Дуади, Адриан; Бафф, X. (2000), Le théorème d'intégrabilité des структур престижных комплексов. [Теорема интегрируемости для почти сложных структур], Лондонская математика. Soc. Lecture Note Ser., 274, Cambridge Univ. Press, стр. 307–324.
• Гаусс, К.Ф. (1822 г.), О конформном представлении, переводчик Эванс, Х.П., стр. 463–475
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I, Теория распределений и анализ Фурье, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 256 (Второе изд.), Springer-Verlag, ISBN  3-540-52345-6
• Imayoshi, Y .; Танигучи, М. (1992), Введение в пространства Тейхмюллера, Springer-Verlag, ISBN  0-387-70088-9
• Корн, А. (1916), Zwei Anwendungen der Methode der sukzessiven Annäherungen, Schwarz Abhandlungen, стр. 215–219.
• Лагранж, Дж. (1779), Sur la construction des cartes géographiques
• Лихтенштейн, Л. (1916), "Zur Theorie der konformen Abbildung", Бык. Междунар. Акад. Sci. Кракови. Cl. Sci. Математика. Nat. Сэр. А.: 192–217
• Морри, Чарльз Б. (1938), "О решениях квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных", Пер. Амер. Математика. Soc., Американское математическое общество, 43 (1): 126–166, Дои:10.2307/1989904, JSTOR  1989904
• Спивак Михаил, Комплексное введение в дифференциальную геометрию, 4 (3-е изд.), Publish or Perish, pp. 314–346.
• Тейлор, Майкл Э. (1996), Уравнения в частных производных: основная теория, Springer-Verlag, стр. 376–378, ISBN  0-387-94654-3
• Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли, Тексты для выпускников по математике, 94, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90894-3

внешняя ссылка

• «Изотермические координаты», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]