Гиперболическое многообразие - Hyperbolic manifold

В математика, а гиперболическое многообразие это пространство, где каждая точка выглядит локально как гиперболическое пространство некоторого измерения. Их особенно изучают в размерностях 2 и 3, где они называются гиперболические поверхности и гиперболические трехмерные многообразия соответственно. В этих измерениях они важны, потому что большинство коллекторы можно превратить в гиперболическое многообразие с помощью гомеоморфизм. Это следствие теорема униформизации для поверхностей и теорема о геометризации для 3-многообразий доказано Перельман.

Перспективная проекция додекаэдрическая мозаика в ЧАС³. Это пример того, что наблюдатель может увидеть внутри трехмерного гиперболического многообразия.

В Псевдосфера. Каждая половина этой формы представляет собой гиперболическое двумерное многообразие (т.е. поверхность) с краем.

Строгое определение

А гиперболический ${ displaystyle n}$ -многообразие это полный Риманов ${ displaystyle n}$ -многообразие постоянного секционная кривизна ${ displaystyle -1}$ .

Каждое полное, связное, односвязное многообразие постоянной отрицательной кривизны ${ displaystyle -1}$ является изометрический в реальное гиперболическое пространство ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$ . В результате универсальная крышка любого замкнутого многообразия ${ displaystyle M}$ постоянной отрицательной кривизны ${ displaystyle -1}$ является ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$ . Таким образом, каждый такой ${ displaystyle M}$ можно записать как ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n} / Gamma}$ где ${ displaystyle Gamma}$ дискретная группа изометрий без кручения на ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$ . Это, ${ displaystyle Gamma}$ дискретная подгруппа ${ Displaystyle SO_ {1, n} ^ {+} mathbb {R}}$ . Многообразие имеет конечный объем тогда и только тогда, когда ${ displaystyle Gamma}$ это решетка.

это толсто-тонкий разложение имеет тонкую часть, состоящую из трубчатых окрестностей замкнутых геодезических, и концы, являющиеся произведением евклидова ( ${ displaystyle n-1}$ ) -многообразия и замкнутого полулуча. Многообразие имеет конечный объем тогда и только тогда, когда его толстая часть компактна.

Примеры

Простейший пример гиперболического многообразия - это Гиперболическое пространство, поскольку каждая точка в гиперболическом пространстве имеет окрестность, изометричную гиперболическому пространству.

Однако простой нетривиальный пример - тор с проколом. Это пример (Изом ( ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ ), ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ )-многообразие. Его можно сформировать, взяв идеальный прямоугольник в ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ - то есть прямоугольник, вершины которого находятся на бесконечно удаленной границе и, следовательно, не существуют в результирующем многообразии - и идентификация противоположных изображений.

Аналогичным образом мы можем построить сферу с тремя проколами, показанную ниже, склеив два идеальных треугольника вместе. Это также показывает, как рисовать кривые на поверхности - черная линия на диаграмме становится замкнутой кривой, когда зеленые края склеиваются. Поскольку мы работаем с проколотой сферой, цветные круги на поверхности, включая их границы, не являются частью поверхности и, следовательно, представлены на диаграмме как идеальные вершины.

(Слева) Диаграмма склейки для сферы с тремя проколами. Края одинакового цвета склеиваются. Обратите внимание, что точки пересечения линий (включая бесконечно удаленную точку) лежат на границе гиперболического пространства и поэтому не являются частью поверхности. (Справа) Поверхность склеена.

Много узлы и звенья, включая некоторые из более простых узлов, таких как узел восьмерки и Кольца Борромео, являются гиперболическими, поэтому дополнение узла или зацепления в ${ Displaystyle S ^ {3}}$ является трехмерным гиперболическим многообразием конечного объема.

Важные результаты

Для ${ displaystyle n> 2}$ гиперболическая структура на конечный объем гиперболический ${ displaystyle n}$ -многообразие уникально Жесткость Мостова и поэтому геометрические инварианты на самом деле являются топологическими инвариантами. Одним из этих геометрических инвариантов, используемых в качестве топологического инварианта, является гиперболический объем узла или зацепления, что может позволить нам отличать два узла друг от друга, изучая геометрию их соответствующих многообразий.

Мы также можем спросить, какова площадь границы узлового дополнения. Поскольку существует взаимосвязь между объемом узла узла и объемом узла под Ден заливка,^[1] мы можем использовать площадь границы, чтобы сообщить нам, как объем может измениться при таком заполнении.

Смотрите также

использованная литература

^ Перселл, Джессика С .; Калфаджианни, Эфстратия; Футер, Дэвид (2006-12-06). «Заполнение Дена, объем и многочлен Джонса». arXiv:математика / 0612138. Bibcode:2006математика ..... 12138F. Цитировать журнал требует | журнал = (Помогите)

Капович, Майкл (2009) [2001], Гиперболические многообразия и дискретные группы, Modern Birkhäuser Classics, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Дои:10.1007/978-0-8176-4913-5, ISBN 978-0-8176-4912-8, Г-Н 1792613
Маклахлан, Колин; Рид, Алан В. (2003), Арифметика трехмерных гиперболических многообразий, Тексты для выпускников по математике, 219, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98386-8, Г-Н 1937957
Рэтклифф, Джон Г. (2006) [1994], Основы гиперболических многообразий, Тексты для выпускников по математике, 149 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-0-387-47322-2, ISBN 978-0-387-33197-3, Г-Н 2249478
Гиперболические диаграммы Вороного стали проще, Фрэнк Нильсен

[1] Перселл, Джессика С .; Калфаджианни, Эфстратия; Футер, Дэвид (2006-12-06). «Заполнение Дена, объем и многочлен Джонса». arXiv:математика / 0612138. Bibcode:2006математика ..... 12138F. Цитировать журнал требует | журнал = (Помогите)

[1]