Неопределенная ортогональная группа - Indefinite orthogonal group

В математика, то неопределенная ортогональная группа, O (п, q) это Группа Ли из всех линейные преобразования из п-размерный настоящий векторное пространство которые оставляют неизменным a невырожденный, симметричная билинейная форма из подпись (п, q), куда п = п + q. Размер группы составляет п(п − 1)/2.

В неопределенная специальная ортогональная группа, ТАК(п, q) это подгруппа из O (п, q) состоящий из всех элементов с детерминант 1. В отличие от определенного случая, ТАК(п, q) не является связным - он имеет 2 компонента - и есть две дополнительные подгруппы конечного индекса, а именно связные ТАК⁺(п, q) и О⁺(п, q), который состоит из 2 компонентов - см. § Топология для определения и обсуждения.

Подпись формы определяет группу до изоморфизм; обмен п с q сводится к замене метрики на отрицательную, что дает ту же группу. Если либо п или же q равна нулю, то группа изоморфна обычному ортогональная группа O (п). Мы предполагаем далее, что оба п и q положительные.

Группа O (п, q) определено для векторных пространств над реалы. За сложный пробелы, все группы O (п, q; C) изоморфны обычным ортогональная группа O (п + q; C), поскольку преобразование ${\displaystyle z_{j}\mapsto iz_{j}}$ изменяет подпись формы. Это не следует путать с неопределенная унитарная группа U (п, q) который сохраняет полуторалинейная форма подписи (п, q).

В четном измерении п = 2п, O (п, п) известен как расщепленная ортогональная группа.

Примеры

Сжать сопоставления, здесь р = 3/2, являются основными гиперболическими симметриями.

Базовый пример - это сжатые сопоставления, которая является группой ТАК⁺(1, 1) линейных преобразований (составляющих идентичности), сохраняющих гипербола единиц. Конкретно это матрицы ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cosh(\alpha )&\sinh(\alpha )\\\sinh(\alpha )&\cosh(\alpha )\end{smallmatrix}}\right],}$ и может интерпретироваться как гиперболические вращения, так же, как группу SO (2) можно интерпретировать как круговые вращения.

В физике Группа Лоренца О (1,3) имеет центральное значение, будучи местом для электромагнетизм и специальная теория относительности. (В некоторых текстах используется О (3,1) для группы Лоренца; тем не мение, О (1,3) преобладает в квантовая теория поля потому что геометрические свойства Уравнение Дирака более естественны в О (1,3).)

Определение матрицы

Можно определить O (п, q) как группа матрицы, как и для классического ортогональная группа O (п). Рассмотрим ${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$ диагональная матрица ${\displaystyle g}$ данный

${\displaystyle g=\mathrm {diag} (\underbrace {1,\ldots ,1} _{p},\underbrace {-1,\ldots ,-1} _{q}).}$

Тогда мы можем определить симметричная билинейная форма ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{p,q}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$ по формуле

${\displaystyle [x,y]_{p,q}=\langle x,gy\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}}$,

куда ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ это стандарт внутренний продукт на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$.

Затем мы определяем ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$ быть группой ${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$ матрицы, сохраняющие эту билинейную форму:^[1]

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{A\in M_{p+q}(\mathbb {R} )|[Ax,Ay]_{p,q}=[x,y]_{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}}$.

Более конкретно, ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$ состоит из матриц ${\displaystyle A}$ такой, что^[2]

${\displaystyle g^{-1}A^{\mathrm {tr} }g=A^{-1}}$,

куда ${\displaystyle A^{\mathrm {tr} }}$ это транспонирование ${\displaystyle A}$.

Получается изоморфная группа (действительно, сопряженная подгруппа группы GL (п + q)) путем замены грамм с любым симметричная матрица с п положительные собственные значения и q отрицательные. Диагонализация этой матрицы дает сопряжение этой группы со стандартной группой O (п, q).

Топология

Предполагая, что оба п и q положительны, ни одна из групп O (п, q) ни ТАК(п, q) находятся связаны, состоящий из четырех и двух компонентов соответственно.π₀(O (п, q)) ≅ C₂ × С₂ это Кляйн четыре группы, где каждый фактор состоит в том, сохраняет ли элемент или меняет соответствующие ориентации на п и q размерные подпространства, на которых форма определена; обратите внимание, что изменение ориентации только одного из этих подпространств меняет ориентацию на противоположное во всем пространстве. Специальная ортогональная группа имеет компоненты π₀(ТАК(п, q)) = {(1, 1), (−1, −1)}, каждая из которых либо сохраняет обе ориентации, либо меняет обе ориентации на противоположные, в любом случае с сохранением общей ориентации.^{[требуется разъяснение ]}

В компонент идентичности из O (п, q) часто обозначается ТАК⁺(п, q) и может быть отождествлен с набором элементов в ТАК(п, q) которые сохраняют обе ориентации. Это обозначение связано с обозначением О⁺(1, 3) для ортохронная группа Лоренца, где + означает сохранение ориентации по первому (временному) измерению.

Группа O (п, q) тоже не компактный, но содержит компактные подгруппы O (п) и O (q), действующее на подпространствах, на которых форма определена. Фактически, O (п) × O (q) это максимальная компактная подгруппа из O (п, q), пока ТАК(п) × O (q)) - максимальная компактная подгруппа в ТАК(п, q).Так же, ТАК(п) × SO (q) - максимальная компактная подгруппа в ТАК⁺(п, q)Таким образом, пространства гомотопически эквивалентны произведениям (специальных) ортогональных групп, из которых могут быть вычислены алгебро-топологические инварианты. (Видеть https://en.wikipedia.org/wiki/Maximal_compact_subgroup#Topology.)

В частности, фундаментальная группа из ТАК⁺(п, q) является произведением фундаментальных групп компонентов, π₁(ТАК⁺(п, q)) = π₁(ТАК(п)) × π₁(ТАК(q)), и определяется как:

π1(ТАК^+(п, q))	п = 1	п = 2	п ≥ 3
q = 1	C1	Z	C2
q = 2	Z	Z × Z	Z × C2
q ≥ 3	C2	C2 × Z	C2 × С2

Расщепленная ортогональная группа

В четных размерах средняя группа O (п, п) известен как расщепленная ортогональная группа, и представляет особый интерес, поскольку встречается как группа Т-дуальность преобразования в теории струн, например. Это разделить группу Ли соответствующий комплексу Алгебра Ли так_2п (группа Ли разделить реальную форму алгебры Ли); более точно, тождественный компонент - это расщепленная группа Ли, поскольку нетождественные компоненты не могут быть восстановлены из алгебры Ли. В этом смысле он противоположен определенной ортогональной группе O (п): = O (п, 0) = O (0, п), какой компактный реальная форма комплексной алгебры Ли.

Дело (1, 1) соответствует мультипликативная группа из разделенные комплексные числа.

С точки зрения того, чтобы быть группа лиева типа - т.е. построение алгебраической группы из алгебры Ли - расщепляемые ортогональные группы Группы Шевалле, в то время как нерасщепляемые ортогональные группы требуют немного более сложной конструкции и являются Группы Штейнберга.

Расщепленные ортогональные группы используются для построения обобщенная разновидность флагов над неалгебраически замкнутыми полями.

Смотрите также

• Ортогональная группа
• Группа Лоренца
• Группа Пуанкаре
• Симметричная билинейная форма

Рекомендации

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666
• Энтони Кнапп, Группы Ли после введения, Второе издание, Прогресс математики, т. 140, Биркхойзер, Бостон, 2002. ISBN  0-8176-4259-5 - см. Стр. 372 для описания неопределенной ортогональной группы
• В. Л. Попов (2001) [1994], «Ортогональная группа», Энциклопедия математики, EMS Press
• Джозеф А. Вольф, Пространства постоянной кривизны, (1967) стр. 335.

1. Зал 2015 Раздел 1.2.3
2. Зал 2015 Глава 1. Упражнение 1