Формула Чоула – Сельберга - Chowla–Selberg formula

В математика, то Формула Чоула – Сельберга оценка определенного продукта ценностей Гамма-функция при рациональных ценностях с точки зрения ценностей Функция Дедекинда эта при мнимых квадратичных иррациональных числах. Результат был по существу найден Лерх  (1897 ) и заново открыл Чоула и Сельберг  (1949, 1967 ).

Заявление

В логарифмической форме формула Чоула – Сельберга утверждает, что в некоторых случаях сумма

${\displaystyle {\frac {w}{4}}\sum _{r}\chi (r)\log \Gamma \left({\frac {r}{D}}\right)={\frac {h}{2}}\log(4\pi {\sqrt {|D|}})+\sum _{\tau }\log \left({\sqrt {\Im (\tau )}}|\eta (\tau )|^{2}\right)}$

можно оценить с помощью Формула предела Кронекера. Здесь χ - символ квадратичного вычета по модулю D, куда −D это дискриминант воображаемого квадратичное поле. Сумма берется по 0 < р < D, с обычным соглашением χ (р) = 0, если р и D есть общий фактор. Функция η - это Функция Дедекинда эта, и час - номер класса, а ш это количество корней из единицы.

Происхождение и приложения

Происхождение таких формул теперь видно из теории комплексное умножение, и в частности в теории периодов абелева разновидность CM-типа. Это привело к большому количеству исследований и обобщений. В частности, существует аналог формулы Чоула – Сельберга для p-адические числа с участием p-адическая гамма-функция, называется Формула Гросса – Коблица.

Формула Чоула – Сельберга дает формулу для конечного произведения значений эта-функций. Объединив это с теорией комплексное умножение, можно дать формулу для отдельных абсолютных значений функции эта как

${\displaystyle \Im (\tau )|\eta (\tau )|^{4}={\frac {\alpha }{4\pi {\sqrt {|D|}}}}\prod _{r}\Gamma (r/|D|)^{\chi (r){\frac {w}{2h}}}}$

для некоторого алгебраического числа α.

Примеры

Использование формулы отражения для гамма-функции дает:

• ${\displaystyle \eta (i)=2^{-1}\pi ^{-3/4}\Gamma ({\tfrac {1}{4}})}$

Смотрите также

• Теорема умножения

Рекомендации

• Chowla, S .; Сельберг, Атле (1949), "О дзета-функции Эпштейна. I", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 35: 371–374, Дои:10.1073 / pnas.35.7.371, ISSN  0027-8424, JSTOR  88112, МИСТЕР  0030997, ЧВК  1063041, PMID  16588908
• Чоула, Сарвадаман; Сельберг, Атле (1967), "О дзета-функции Эпштейна", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 1967 (227): 86–110, Дои:10.1515 / crll.1967.227.86, МИСТЕР  0215797
• Лерх, Матиас (1897), "Sur quelques formules Родственники по именам классов", Bulletin des Sciences Mathématiques, 21: 290–304
• Шаппахер, Норберт (1988), Периоды персонажей Гекке, Конспект лекций по математике, 1301, Берлин: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0082094, МИСТЕР  0935127