Формула Гросса – Коблица - Gross–Koblitz formula

В математика, то Формула Гросса – Коблица, представлен Валовой и Коблиц  (1979 ) выражает Сумма Гаусса используя продукт ценностей p-адическая гамма-функция. Это аналог Формула Чоула – Сельберга для обычной гамма-функции. Это подразумевает Соотношение Хассе-Давенпорта и обобщает Теорема Штикельбергера.Боярский (1980) дал еще одно доказательство формулы Гросса – Коблица (Боярский - псевдоним Бернард Дворк ), и Роберт (2001) дал элементарное доказательство.

Заявление

Формула Гросса – Коблица утверждает, что сумму Гаусса τ можно выразить через п-адическая гамма-функция Γ_п к

${\displaystyle \tau _{q}(r)=-\pi ^{s_{p}(r)}\prod _{0\leq i<f}\Gamma _{p}\left({\frac {r^{(i)}}{q-1}}\right)}$

куда

• q это сила п^ж премьер п
• р целое число с 0 ≤ r
• р^(я) это целое число, основание которого п разложение - это циклическая перестановка ж цифры р к я позиции
• s_п(р) - сумма цифр р в базе п
• ${\displaystyle \tau _{q}(r)=\sum _{a^{q-1}=1}a^{-r}\zeta _{\pi }^{{\text{Tr}}(a)}}$, где сумма берется по корням из 1 в расширении Q_п(π)
• π удовлетворяет π^{п – 1} = –п
• ζ_π это пкорень -й степени из 1, сравнимый с 1 + π mod π²

Рекомендации

• Боярский, Маурицио (1980), "p-адические гамма-функции и когомологии Дворка", Труды Американского математического общества, 257 (2): 359–369, Дои:10.2307/1998301, ISSN  0002-9947, JSTOR  1998301, МИСТЕР  0552263
• Коэн, Анри (2007). Теория чисел - Том II: Аналитические и современные инструменты. Тексты для выпускников по математике. 240. Springer-Verlag. С. 383–395. ISBN  978-0-387-49893-5. Zbl  1119.11002.
• Gross, Benedict H .; Коблиц, Нил (1979), «Суммы Гаусса и p-адическая Γ-функция», Анналы математики, Вторая серия, 109 (3): 569–581, Дои:10.2307/1971226, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971226, МИСТЕР  0534763
• Роберт, Ален М. (2001), «Возвращение к формуле Гросса-Коблица», Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova. Математический журнал Университета Падуи, 105: 157–170, ISSN  0041-8994, МИСТЕР  1834987