Модульная функция Weber - Weber modular function

В математика, то Модульные функции Weber семья из трех человек модульные функции ж, ж₁, и ж₂, изученный Генрих Мартин Вебер.

Определение

Позволять ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ куда τ является элементом верхняя полуплоскость.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(\tau )&=q^{-{\frac {1}{48}}}\prod _{n>0}(1+q^{n-{\frac {1}{2}}})=e^{-{\frac {\pi {\rm {i}}}{24}}}{\frac {\eta {\big (}{\frac {\tau +1}{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}}={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2\tau )}}\\{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )&=q^{-{\frac {1}{48}}}\prod _{n>0}(1-q^{n-{\frac {1}{2}}})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}}\\{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )&={\sqrt {2}}\,q^{\frac {1}{24}}\prod _{n>0}(1+q^{n})={\frac {{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \eta (\tau )}$ это Функция Дедекинда эта. Обратите внимание на описания как ${\displaystyle \eta }$ частные сразу подразумевают

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\tau ){\mathfrak {f}}_{1}(\tau ){\mathfrak {f}}_{2}(\tau )={\sqrt {2}}.}$

Преобразование τ → –1/τ исправления ж и обмены ж₁ и ж₂. Итак, трехмерное комплексное векторное пространство с базисом ж, ж₁ и ж₂ действует группа SL₂(Z).

Связь с тета-функциями

Пусть аргумент Тета-функция Якоби быть ном ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$. Потом,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(\tau )&={\sqrt {\frac {\theta _{3}(0,q)}{\eta (\tau )}}}\\{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )&={\sqrt {\frac {\theta _{4}(0,q)}{\eta (\tau )}}}\\{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )&={\sqrt {\frac {\theta _{2}(0,q)}{\eta (\tau )}}}\\\end{aligned}}}$

Используя известную идентичность,

${\displaystyle \theta _{2}(0,q)^{4}+\theta _{4}(0,q)^{4}=\theta _{3}(0,q)^{4}}$

таким образом,

${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{8}+{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{8}={\mathfrak {f}}(\tau )^{8}}$

Отношение к j-функции

Три корня кубическое уравнение,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {(x-16)^{3}}{x}}}$

куда j(τ) это j-функция даны ${\displaystyle x_{i}={\mathfrak {f}}(\tau )^{24},-{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{24},-{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{24}}$. Кроме того, поскольку,

${\displaystyle j(\tau )=32{\frac {{\Big (}\theta _{2}(0,q)^{8}+\theta _{3}(0,q)^{8}+\theta _{4}(0,q)^{8}{\Big )}^{3}}{{\Big (}\theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q)\theta _{4}(0,q){\Big )}^{8}}}}$

тогда,

${\displaystyle j(\tau )=\left({\frac {{\mathfrak {f}}(\tau )^{16}+{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{16}+{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{16}}{2}}\right)^{3}}$

Смотрите также

• Серия Рамануджан – Сато, уровень 4

Рекомендации

• Вебер, Генрих Мартин (1981) [1898], Lehrbuch der Algebra (на немецком), 3 (3-е изд.), Нью-Йорк: AMS Chelsea Publishing, ISBN  978-0-8218-2971-4
• Юи, Норико; Загир, Дон (1997), "О сингулярных значениях модулярных функций Вебера", Математика вычислений, 66 (220): 1645–1662, Дои:10.1090 / S0025-5718-97-00854-5, МИСТЕР  1415803