Формула Виэта - Viètes formula

Эта статья о формуле для π. Формулы для симметричных функций корней см. Формулы Виета.

Формула Вьете, напечатанная в Variorum de rebus mathematicis resporum, liber VIII (1593)

В математика, Формула Вьете следующее бесконечный продукт из вложенные радикалы представляющая математическую константу π:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$

Он назван в честь Франсуа Виет (1540–1603), опубликовавший его в 1593 году в своей работе. Variorum de rebus mathematicis resporum, liber VIII.^[1]

Значимость

В то время, когда Виете опубликовал свою формулу, методы приблизительный ${\displaystyle \pi }$ к (в принципе) произвольной точности было известно давно. Собственный метод Виэта можно интерпретировать как вариацию идеи Архимед аппроксимации окружности окружности периметром многогранного многоугольника,^[1] используется Архимедом, чтобы найти приближение

${\displaystyle {\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}.}$

Однако, опубликовав свой метод в виде математической формулы, Виет сформулировал первый пример бесконечного произведения, известного в математике:^[2][3] и первый пример явной формулы для точного значения ${\displaystyle \pi }$.^[4][5] Как первая формула, представляющая число как результат бесконечного процесса, а не конечного вычисления, формула Вьете была отмечена как начало математический анализ^[6] и даже в более широком смысле, как «рассвет современной математики».^[7]

Используя его формулу, Виете вычислил ${\displaystyle \pi }$ с точностью до девяти десятичные цифры.^[8] Однако это было не самое точное приближение к ${\displaystyle \pi }$ известный в то время как Персидский математик Джамшид аль-Каши рассчитал ${\displaystyle \pi }$ с точностью до девяти шестидесятеричный цифр и 16 десятичных цифр в 1424 году.^[7] Вскоре после того, как Виете опубликовал свою формулу, Людольф ван Сеулен использовал близкий метод для вычисления 35 цифр ${\displaystyle \pi }$, которые были опубликованы только после смерти ван Сеулена в 1610 году.^[7]

Толкование и конвергенция

Формулу Виэта можно переписать и понимать как предел выражение

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{2}}={\frac {2}{\pi }}}$

куда ${\displaystyle a_{n}={\sqrt {2+a_{n-1}}}}$, с начальным условием ${\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}}$.^[9] Виет выполнил свою работу задолго до того, как в математике были разработаны концепции пределов и строгих доказательств сходимости; первое доказательство существования этого предела не было дано до тех пор, пока Фердинанд Рудио в 1891 г.^[1][10]

Сравнение сходимости формулы Вьете (×) и несколько исторических бесконечных серий для ${\displaystyle \pi }$. ${\displaystyle S_{n}}$ это приближение после взятия ${\displaystyle n}$ термины. Каждый последующий участок увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз.

В скорость конвергенции ограничения определяет количество членов выражения, необходимое для достижения заданного количества цифр точности. В случае формулы Виэта существует линейная зависимость между количеством членов и количеством цифр: произведение первых ${\displaystyle n}$ членов в пределе дает выражение для ${\displaystyle \pi }$ это примерно с точностью до ${\displaystyle 0.6n}$ цифры.^[8][11] Этот коэффициент сходимости очень выгодно отличается от Уоллис продукт, более поздняя формула бесконечного произведения для ${\displaystyle \pi }$. Хотя сам Виет использовал свою формулу для расчета ${\displaystyle \pi }$ только с точностью до девяти цифр ускоренный версия его формулы использовалась для расчета ${\displaystyle \pi }$ до сотен тысяч цифр.^[8]

Связанные формулы

Формула Вьете может быть получена как частный случай формулы, данной более века спустя Леонард Эйлер, который обнаружил, что:

${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\cos {\frac {x}{2}}\cdot \cos {\frac {x}{4}}\cdot \cos {\frac {x}{8}}\cdots }$

Подстановка ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}}$ в этой формуле дает:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}=\cos {\frac {\pi }{4}}\cdot \cos {\frac {\pi }{8}}\cdot \cos {\frac {\pi }{16}}\cdots }$

Затем, выразив каждый член произведения справа как функцию от предыдущих терминов, используя формулу полуугла:

${\displaystyle \cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}}$

дает формулу Виэта.^[1]

Также возможно вывести из формулы Виэта родственную формулу для ${\displaystyle \pi }$ который по-прежнему включает вложенные квадратные корни из двух, но использует только одно умножение:^[12]

${\displaystyle \pi =\lim _{k\to \infty }2^{k}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}}}}} _{k\ \mathrm {square} \ \mathrm {roots} },}$

который можно компактно переписать как

${\displaystyle \pi =\displaystyle \lim _{k\to \infty }2^{k}{\sqrt {2-a_{k}}},\,a_{1}=0,\,a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}.}$

Многие формулы, подобные формулам Вьете, включающие вложенные радикалы или бесконечные произведения тригонометрических функций, теперь известны как ${\displaystyle \pi }$ и другие константы, такие как Золотое сечение.^{[3][12][13][14][15][16][17][18]}

Вывод

Последовательность правильные многоугольники с числом сторон равным силы двух, вписанный в круг. Соотношения между площадями или периметрами последовательных многоугольников в последовательности дают условия формулы Виэта.

Виет получил свою формулу, сравнивая области из правильные многоугольники с ${\displaystyle 2^{n}}$ и ${\displaystyle 2^{n+1}}$ стороны вписаны в круг.^[1][6] Первый член в продукте, √2/2, - отношение площадей квадрата и восьмиугольник, второй член - это отношение площадей восьмиугольника и шестиугольник и т. д. Таким образом, товар телескопы чтобы задать отношение площадей квадрата (начального многоугольника в последовательности) к окружности (предельный случай ${\displaystyle 2^{n}}$-гон). В качестве альтернативы, термины в продукте могут интерпретироваться как отношения периметры такой же последовательности многоугольников, начиная с отношения периметров Digon (диаметр круга, считая дважды) и квадрата, соотношение периметров квадрата и восьмиугольника и т. д.^[19]

Возможен другой вывод на основе тригонометрические тождества и формулу Эйлера. формула двойного угла

${\displaystyle \sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}},}$

можно доказать математическая индукция что для всех натуральных чисел ${\displaystyle n}$,

${\displaystyle \sin x=2^{n}\sin {\frac {x}{2^{n}}}\left(\prod _{i=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{i}}}\right).}$

Период, термин ${\displaystyle 2^{n}\sin {\tfrac {x}{2^{n}}}}$ идет в ${\displaystyle x}$ в пределе как ${\displaystyle n}$ уходит в бесконечность, откуда следует формула Эйлера. Формула Виете может быть получена из этой формулы заменой ${\displaystyle x=\pi /2}$.^[4]

Рекомендации

1. Бекманн, Петр (1971). История ${\displaystyle \pi }$ (2-е изд.). Боулдер, Колорадо: The Golem Press. С. 94–95. ISBN  978-0-88029-418-8. МИСТЕР  0449960.
2. Де Смит, Майкл Дж. (2006). Математика для мистифицированных: исследование истории математики и ее связи с современной наукой и вычислительной техникой. ООО "Трубадор Паблишинг" с. 165. ISBN  9781905237814.
3. Морено, Сэмюэл Дж .; Гарсия-Кабальеро, Эстер М. (2013). «О формулах типа Вьетэ». Журнал теории приближений. 174: 90–112. Дои:10.1016 / j.jat.2013.06.006. МИСТЕР  3090772.
4. Моррисон, Кент Э. (1995). «Косинусные произведения, преобразования Фурье и случайные суммы». Американский математический ежемесячник. 102 (8): 716–724. arXiv:математика / 0411380. Дои:10.2307/2974641. JSTOR  2974641. МИСТЕР  1357488.
5. Олдхэм, Кейт Б.; Myland, Jan C .; Спаниер, Джером (2010). Атлас функций: с Equator, калькулятор функций Атласа. Springer. п. 15. ISBN  9780387488073.
6. Маор, Эли (2011). Тригонометрические наслаждения. Издательство Принстонского университета. С. 50, 140. ISBN  9781400842827.
7. Борвейн, Джонатан М. (2013). «Жизнь Пи: от Архимеда до ENIAC и далее». Из Александрии через Багдад: Обзоры и исследования древнегреческих и средневековых исламских математических наук в честь Дж. Л. Берггрена (PDF). Springer. ISBN  9783642367359.
8. Кременский, Рик (2008). "${\displaystyle \pi }$ в тысячи цифр из формулы Виета ». Математический журнал. 81 (3): 201–207. Дои:10.1080 / 0025570X.2008.11953549. JSTOR  27643107.
9. Эймар, Пьер; Лафон, Жан-Пьер (2004). «2.1 Бесконечное произведение Вьете». Номер ${\displaystyle \pi }$. Американское математическое общество. С. 44–46. ISBN  9780821832462.
10. Рудио, Ф. (1891). "Uber die Konvergenz einer von Vieta herrührenden eigentümlichen Produktentwicklung". Z. Math. Phys. 36: 139–140.
11. Ослер, Томас Дж. (2007). "Простой геометрический метод оценки ошибки при использовании продукта Виета для ${\displaystyle \pi }$". Международный журнал математического образования в науке и технологиях. 38 (1): 136–142. Дои:10.1080/00207390601002799.
12. Серви, Л. Д. (2003). «Вложенные квадратные корни из 2». Американский математический ежемесячник. 110 (4): 326–330. Дои:10.2307/3647881. JSTOR  3647881. МИСТЕР  1984573.
13. Ниблом М.А. (2012). «Некоторые закрытые оценки бесконечных произведений с вложенными радикалами». Математический журнал Скалистых гор. 42 (2): 751–758. Дои:10.1216 / RMJ-2012-42-2-751. МИСТЕР  2915517.
14. Левин, Аарон (2006). «Геометрическая интерпретация бесконечного произведения для постоянной лемнискаты». Американский математический ежемесячный журнал. 113 (6): 510–520. Дои:10.2307/27641976. JSTOR  27641976. МИСТЕР  2231136.
15. Левин, Аарон (2005). "Новый класс бесконечных продуктов, обобщающий формулу продукта Виете для ${\displaystyle \pi }$". Рамануджанский журнал. 10 (3): 305–324. Дои:10.1007 / s11139-005-4852-z. МИСТЕР  2193382.
16. Ослер, Томас Дж. (2007). «Виетоподобные произведения вложенных радикалов с числами Фибоначчи и Лукаса». Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 45 (3): 202–204. МИСТЕР  2437033.
17. Столярский, Кеннет Б. (1980). «Отображение свойств, роста и уникальности произведений Виета (бесконечного косинуса)». Тихоокеанский математический журнал. 89 (1): 209–227. Дои:10.2140 / pjm.1980.89.209. МИСТЕР  0596932. Архивировано из оригинал на 2013-10-11. Получено 2013-10-11.
18. Аллен, Эдвард Дж. (1985). «Сплошные радикалы». Математический вестник. 69 (450): 261–263. Дои:10.2307/3617569. JSTOR  3617569.
19. Руммлер, Хансклав (1993). «Квадратная дырочка». Американский математический ежемесячник. 100 (9): 858–860. Дои:10.2307/2324662. JSTOR  2324662. МИСТЕР  1247533.

внешняя ссылка

• Viète's Variorum de rebus mathematicis resporum, liber VIII (1593) на Google Книги. Формула находится на второй половине п. 30.