Формулы Виета - Vietas formulas

Для метода вычисления π, видеть Формула Вьете.

В математика, Формулы Виета находятся формулы которые связаны с коэффициенты из многочлен к суммам и произведениям его корни. Названный в честь Франсуа Виет (чаще упоминается латинизированной формой его имени, «Франциск Виета»), формулы используются специально в алгебра.

Основные формулы

Любой общий многочлен степени п

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

(с коэффициентами действительные или комплексные числа и а_п ≠ 0) известен основная теорема алгебры иметь п (не обязательно разные) сложные корни р₁, р₂, ..., р_п. Формулы Виета связывают коэффициенты полинома со знаковыми суммами произведений корней р₁, р₂, ..., р_п следующее:

${\displaystyle {\begin{cases}r_{1}+r_{2}+\dots +r_{n-1}+r_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\cdots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}+r_{2}r_{4}+\cdots +r_{2}r_{n})+\cdots +r_{n-1}r_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\r_{1}r_{2}\dots r_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}$

Формулы Виета могут быть записаны в виде

${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}},}$

за k = 1, 2, ..., п (индексы я_k сортируются в порядке возрастания, чтобы гарантировать, что каждый продукт k корни используется ровно один раз.

Левые части формул Виета - это элементарные симметричные функции корней.

Обобщение на кольца

Формулы Виета часто используются с многочленами с коэффициентами в любых область целостности р. Тогда частные ${\displaystyle a_{i}/a_{n}}$ принадлежат к кольцо дробей из р (и, возможно, находятся в р сам, если ${\displaystyle a_{n}}$ оказывается обратимым в р) и корни ${\displaystyle r_{i}}$ взяты в алгебраически замкнутое расширение. Обычно р кольцо целые числа, поле дробей - это поле рациональное число а алгебраически замкнутое поле - это поле сложные числа.

В этом случае полезны формулы Виета, поскольку они обеспечивают связь между корнями без необходимости их вычислять.

Для многочленов над коммутативным кольцом, которое не является областью целостности, формулы Виета верны только тогда, когда ${\displaystyle a_{n}}$ не является делителем нуля и ${\displaystyle P(x)}$ факторы как ${\displaystyle a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\dots (x-r_{n})}$. Например, в кольце целых чисел по модулю 8 полином ${\displaystyle P(x)=x^{2}-1}$ имеет четыре корня: 1, 3, 5 и 7. Формулы Виета неверны, если, скажем, ${\displaystyle r_{1}=1}$ и ${\displaystyle r_{2}=3}$, потому что ${\displaystyle P(x)\neq (x-1)(x-3)}$. Тем не мение, ${\displaystyle P(x)}$ учитывается как ${\displaystyle (x-1)(x-7)}$ и, как ${\displaystyle (x-3)(x-5)}$, и формулы Виета верны, если положить либо ${\displaystyle r_{1}=1}$ и ${\displaystyle r_{2}=7}$ или же ${\displaystyle r_{1}=3}$ и ${\displaystyle r_{2}=5}$.

Пример

Формулы Виета применимы к квадратичным и кубическим полиномам:

Корни ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ из квадратичный многочлен ${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$ удовлетворить

${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.}$

Первое из этих уравнений можно использовать, чтобы найти минимум (или максимум) п; видеть Квадратное уравнение § формулы Виета.

Корни ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}$ из кубический многочлен ${\displaystyle P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ удовлетворить

${\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.}$

Доказательство

Формулы Виета можно доказать, разложив равенство

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})}$

(что верно, поскольку ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$ являются корнями этого многочлена), умножая множители в правой части и определяя коэффициенты при каждой степени ${\displaystyle x.}$

Формально, если расширить ${\displaystyle (x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n}),}$ условия точно ${\displaystyle (-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},}$ куда ${\displaystyle b_{i}}$ либо 0, либо 1, соответственно, в зависимости от того, ${\displaystyle r_{i}}$ входит в продукт или нет, и k это количество ${\displaystyle r_{i}}$ которые исключены, поэтому общее количество факторов в продукте равно п (считая ${\displaystyle x^{k}}$ с множеством k) - как есть п бинарный выбор (включая ${\displaystyle r_{i}}$ или же Икс), Существуют ${\displaystyle 2^{n}}$ термины - геометрически их можно понимать как вершины гиперкуба. Группировка этих членов по степени дает элементарные симметричные многочлены от ${\displaystyle r_{i}}$ - за Икс^k, все отличные kскладные изделия из ${\displaystyle r_{i}.}$

История

Как видно из названия, формулы были обнаружены французским математиком 16 века. Франсуа Виет, для случая положительных корней.

По мнению британского математика XVIII века Чарльз Хаттон, как цитирует Funkhouser,^[1] общий принцип (не только для положительных действительных корней) был впервые понят французским математиком 17 века Альбер Жирар:

... [Жирар] был первым человеком, который понял общую доктрину образования коэффициентов степеней из суммы корней и их произведений. Он был первым, кто открыл правила суммирования степеней корней любого уравнения.

Смотрите также

• Личности Ньютона
• Элементарный симметричный многочлен
• Симметричный полином
• Содержание (алгебра)
• Свойства полиномиальных корней
• Теорема Гаусса – Лукаса
• Теорема о рациональном корне

Рекомендации

1. (Funkhouser 1930 )

• "Теорема Вьете", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Фанкхаузер, Х. Грей (1930), "Краткое изложение истории симметричных функций корней уравнений", Американский математический ежемесячный журнал, Математическая ассоциация Америки, 37 (7): 357–365, Дои:10.2307/2299273, JSTOR  2299273
• Винберг, Э. (2003), Курс алгебры, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN  0-8218-3413-4

• Джукич, Душан; и другие. (2006), Сборник ИМО: сборник задач, предложенных для Международной математической олимпиады 1959–2004 гг., Спрингер, Нью-Йорк, Нью-Йорк, ISBN  0-387-24299-6