Формула де Муавра - De Moivres formula

В математика, формула де Муавра (также известный как теорема де Муавра и личность де Муавра) утверждает, что для любого настоящий номер Икс и целое число п он считает, что

${\displaystyle {\big (}\cos(x)+i\sin(x){\big )}^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx),}$

куда я это мнимая единица (я² = −1). Формула названа в честь Авраам де Муавр, хотя он никогда не заявлял об этом в своих произведениях.^[1] Выражение cos (Икс) + я грех (Икс) иногда сокращается до СНГ (Икс).

Формула важна, потому что она соединяет комплексные числа и тригонометрия. Раскрывая левую часть и затем сравнивая действительную и мнимую части в предположении, что Икс реально, можно получить полезные выражения для cos (nx) и грех (nx) с точки зрения cos (Икс) и грех (Икс).

Как написано, формула недействительна для нецелых степеней п. Однако есть обобщения этой формулы, справедливые и для других показателей. Их можно использовать для получения явных выражений для пth корни единства, то есть комплексные числа z такой, что z^п = 1.

Пример

За ${\displaystyle x=30^{\circ }}$ и ${\displaystyle n=2}$, формула де Муавра утверждает, что

$${\displaystyle \left(\cos(30^{\circ })+i\sin(30^{\circ })\right)^{2}=\cos(2\cdot 30^{\circ })+i\sin(2\cdot 30^{\circ }),}$$

или что то же самое

$${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}.}$$

В этом примере легко проверить справедливость уравнения, умножив левую часть.

Связь с формулой Эйлера

Формула Де Муавра является предшественником Формула Эйлера

$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

который устанавливает фундаментальную связь между тригонометрическими функциями и комплексной экспоненциальной функцией.

Формулу де Муавра можно вывести, используя формулу Эйлера и экспоненциальный закон для целых степеней

${\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx},}$

поскольку из формулы Эйлера следует, что левая часть равна ${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}}$ а правая часть равна

${\displaystyle e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx).}$

Доказательство по индукции.

Истинность теоремы де Муавра может быть установлена ​​с помощью математической индукции для натуральных чисел и оттуда распространена на все целые числа. Для целого числа п, назовите следующий оператор S (п):

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}$

За п > 0, мы продолжаем математическая индукция. S (1) явно правда. Для нашей гипотезы мы предполагаем S (k) верно для некоторых естественных k. То есть мы предполагаем

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos kx+i\sin kx.}$

Теперь, учитывая S (k + 1):

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left(\cos kx+i\sin kx\right)\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\text{by the induction hypothesis}}\\&=\cos(kx)\cos x-\sin(kx)\sin x+i\left(\cos(kx)\sin x+\sin(kx)\cos x\right)\\&=\cos((k+1)x)+i\sin((k+1)x)&&\qquad {\text{by the trigonometric identities}}\end{alignedat}}}$

Видеть сумма углов и тождества разности.

Мы делаем вывод, что S (k) подразумевает S (k + 1). По принципу математической индукции следует, что результат верен для всех натуральных чисел. Сейчас же, S (0) очевидно верно, так как cos (0Икс) + я грех (0Икс) = 1 + 0я = 1. Наконец, для случаев с отрицательными целыми числами, мы рассматриваем показатель степени −п для естественного п.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{-n}&={\big (}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}{\big )}^{-1}\\&=\left(\cos nx+i\sin nx\right)^{-1}\\&=\cos(-nx)+i\sin(-nx).\qquad (*)\\\end{aligned}}}$

Уравнение (*) является результатом тождества

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}},}$

за z = cos (nx) + я грех (nx). Следовательно, S (п) выполняется для всех целых чисел п.

Формулы для косинуса и синуса по отдельности

Смотрите также: Список тригонометрических тождеств

За равенство сложные числа, обязательно имеет место равенство обоих реальные части и из мнимые части обоих членов уравнения. Если Икс, а значит, и потому что Икс и грех Икс, находятся действительные числа, то идентичность этих частей можно записать с помощью биномиальные коэффициенты. Эта формула была дана французским математиком 16 века. Франсуа Виет:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(nx)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}\\\cos(nx)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\cos {\frac {(n-k)\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

В каждом из этих двух уравнений конечная тригонометрическая функция равна единице или минус единице или нулю, таким образом удаляя половину элементов в каждой из сумм. Эти уравнения фактически справедливы даже для комплексных значений Икс, потому что обе стороны весь (то есть, голоморфный в целом комплексная плоскость ) функции Икс, причем две такие функции, совпадающие на вещественной оси, обязательно совпадают всюду. Вот конкретные примеры этих уравнений для п = 2 и п = 3:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\cos 2x&=\left(\cos x\right)^{2}+\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={}&2\left(\cos x\right)^{2}-1\\\sin 2x&=2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right)&&\\\cos 3x&=\left(\cos x\right)^{3}+3\cos x\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={}&4\left(\cos x\right)^{3}-3\cos x\\\sin 3x&=3\left(\cos x\right)^{2}\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^{3}&{}={}&3\sin x-4\left(\sin x\right)^{3}.\end{alignedat}}}$

Правая часть формулы для потому что nx на самом деле ценность Т_п(потому что Икс) из Полином Чебышева Т_п в потому что Икс.

Отказ для нецелочисленных степеней и обобщение

Формула Де Муавра не верна для нецелых степеней. Вывод формулы де Муавра, приведенной выше, включает комплексное число, возведенное в целую степень п. Если комплексное число возвести в нецелочисленную степень, результатом будет многозначный (видеть отказ от тождества мощности и логарифма ). Например, когда п = 1/2, формула де Муавра дает следующие результаты:

за Икс = 0 формула дает 1^​1⁄₂ = 1 и

за Икс = 2π формула дает 1^​1⁄₂ = −1.

Это присваивает два разных значения одному и тому же выражению 1^​1⁄₂, поэтому формула в этом случае не согласована.

С другой стороны, значения 1 и -1 являются квадратными корнями из 1. В более общем случае, если z и ш комплексные числа, тогда

${\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}}$

многозначен, а

${\displaystyle \cos wz+i\sin wz}$

не является. Однако всегда бывает так, что

${\displaystyle \cos wz+i\sin wz}$

является одним из значений

${\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}.}$

Корни комплексных чисел

Небольшое расширение версии формулы де Муавра, приведенной в этой статье, может быть использовано для поиска то пкорни комплексного числа (эквивалентно, степень 1/п).

Если z это комплексное число, записанное в полярная форма в качестве

${\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right),}$

затем п пкорни z даны

${\displaystyle r^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}}\right)}$

куда k изменяется по целым значениям от 0 до п − 1.

Эта формула также иногда известна как формула де Муавра.^[2]

Аналоги в других настройках

Гиперболическая тригонометрия

С шиш Икс + грех Икс = е^Икс, аналог формулы де Муавра также применим к гиперболическая тригонометрия. Для всех п ∈ ℤ,

${\displaystyle (\cosh x+\sinh x)^{n}=\cosh nx+\sinh nx.}$

Кроме того, если п ∈ ℚ, то одно значение (ш Икс + грех Икс)^п будет шиш nx + грех nx.^[3]

Расширение до комплексных чисел

Формула верна для любого комплексного числа ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle (\cos z+i\sin z)^{n}=\cos {nz}+i\sin {nz}.}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos z=\cos(x+iy)&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\,,\\\sin z=\sin(x+iy)&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\,.\end{aligned}}}$

Кватернионы

Чтобы найти корни кватернион есть аналогичная форма формулы де Муавра. Кватернион в форме

${\displaystyle d+a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }$

можно представить в виде

${\displaystyle q=k(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad {\mbox{for }}0\leq \theta <2\pi .}$

В этом представлении

${\displaystyle k={\sqrt {d^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}},}$

а тригонометрические функции определяются как

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {d}{k}}\quad {\mbox{and}}\quad \sin \theta =\pm {\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{k}}.}$

В случае, если а² + б² + c² ≠ 0,

${\displaystyle \varepsilon =\pm {\frac {a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},}$

то есть единичный вектор. Это приводит к изменению формулы Де Муавра:

${\displaystyle q^{n}=k^{n}(\cos n\theta +\varepsilon \sin n\theta ).}$^[4]

Пример

Чтобы найти кубические корни из

${\displaystyle Q=1+\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} ,}$

напишите кватернион в форме

${\displaystyle Q=2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+\varepsilon \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\qquad {\mbox{where }}\varepsilon ={\frac {\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {3}}}.}$

Тогда кубические корни имеют вид:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{Q}}={\sqrt[{3}]{2}}(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad {\mbox{for }}\theta ={\frac {\pi }{9}},{\frac {7\pi }{9}},{\frac {13\pi }{9}}.}$

2×2 матрицы

Рассмотрим следующую матрицу${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}}$. потом ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}\cos n\phi &\sin n\phi \\-\sin n\phi &\cos n\phi \end{pmatrix}}}$. Этот факт (хотя его можно доказать так же, как и для комплексных чисел) является прямым следствием того, что пространство матриц типа ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}}$ изоморфно пространству комплексных чисел.

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (1964). Справочник по математическим функциям. Нью-Йорк: Dover Publications. п.74. ISBN  0-486-61272-4..

1. Лиал, Маргарет Л .; Хорнсби, Джон; Шнайдер, Дэвид I .; Калли Дж., Дэниэлс (2008). Студенческая алгебра и тригонометрия (4-е изд.). Бостон: Пирсон / Эддисон Уэсли. п. 792. ISBN  9780321497444.
2. «Формула Де Муавра», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
3. Мухопадхьяй, Утпал (август 2006 г.). «Некоторые интересные особенности гиперболических функций». Резонанс. 11 (8): 81–85. Дои:10.1007 / BF02855783.
4. Брэнд, Луи (октябрь 1942 г.). «Корни кватерниона». Американский математический ежемесячник. 49 (8): 519–520. Дои:10.2307/2302858. JSTOR  2302858.

внешняя ссылка

• Теорема Де Муавра для триггерных тождеств Майкл Краучер, Вольфрам Демонстрационный проект.