Постоянная Гельфонда - Gelfonds constant

Не путать с Постоянная Гельфонда – Шнайдера.

В математика, Постоянная Гельфонда, названный в честь Александр Гельфонд, является е^π, то есть, е поднял до мощность π. Как и оба е и π, эта константа является трансцендентное число. Впервые это было установлено Гельфондом и теперь может рассматриваться как применение Теорема Гельфонда – Шнайдера, отмечая, что

${\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i},}$

куда я это мнимая единица. С −я алгебраический, но не рациональный, е^π трансцендентно. Константа упоминалась в Седьмая проблема Гильберта.^[1] Связанная константа 2^√2, известный как Постоянная Гельфонда – Шнайдера. Связанное значение π + е^π тоже иррационально.^[2]

Численная величина

Десятичное разложение постоянной Гельфонда начинается

${\displaystyle e^{\pi }\approx 23.1406926327792690057290863679485473802661062426002119934450464095243423506904527835169719970675492\dots }$OEIS: A039661

Строительство

Если определить k₀ = 1/√2 и

${\displaystyle k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}}$

за ${\displaystyle n>0}$, то последовательность^[3]

${\displaystyle (4/k_{n+1})^{2^{-n}}}$

быстро сходится к е^π.

Непрерывное расширение фракции

${\displaystyle e^{\pi }=23+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{591+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Это основано на цифрах для простая цепная дробь:

${\displaystyle e^{\pi }=[23;7,9,3,1,1,591,2,9,1,2,34,1,16,1,30,1,1,4,1,2,108,2,2,1,3,1,7,1,2,2,2,1,2,3,2,166,1,2,1,4,8,10,1,1,7,1,2,3,566,1,2,3,3,1,20,1,2,19,1,3,2,1,2,13,2,2,11,...]}$

Как задано целочисленной последовательностью A058287.

Геометрическое свойство

В объем п-мерный шар (или же п-мяч ), дан кем-то

${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}$

куда р - его радиус, а Γ это гамма-функция. Любой четный шар имеет объем

${\displaystyle V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}R^{2n},}$

и, суммируя все единичный шар (р = 1) объемы четной размерности дает^[4]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}(R=1)=e^{\pi }.}$

Подобные или связанные константы

Постоянная Рамануджана

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=({\text{Gelfond's constant}})^{\sqrt {163}}}$

Это известно как постоянная Рамануджана. Это приложение Числа Хегнера, где 163 - рассматриваемое число Хегнера.

Похожий на е^π - π, е^π√163 очень близко к целому числу:

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots \approx 640\,320^{3}+744}$

Как это был индийский математик Шриниваса Рамануджан кто первым предсказал это почти целое число, оно было названо в его честь, хотя это число было впервые обнаружено французским математиком Чарльз Эрмит в 1859 г.

Случайная близость, с точностью до 0,000 000 000 000 75 числа 640320³ + 744 объясняется комплексное умножение и q-расширение из j-инвариантный, конкретно:

${\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}}$

и,

${\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}$

куда О(е^-π√163) это член ошибки,

${\displaystyle {\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)=-196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}}$

что объясняет почему е^π√163 на 0,000 000 000 000 75 ниже 640320³ + 744.

(Подробнее об этом доказательстве см. В статье Числа Хегнера.)

Номер е^π - π

Десятичное разложение е^π - π дан кем-то A018938:

${\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 19.9990999791894757672664429846690444960689368432251061724701018172165259444042437848889371717254321\dots }$

Несмотря на то, что это почти целое число 20, этому факту не было дано никакого объяснения, и это считается математическим совпадением.

Номер π^е

Десятичное разложение π^е дан кем-то A059850:

${\displaystyle \pi ^{e}\approx 22.459157718361045473427152204543735027589315133996692249203002554066926040399117912318519752727143031531450\dots }$

Неизвестно, трансцендентно ли это число. Обратите внимание, что Теорема Гельфонда-Шнайдера, мы можем только окончательно вывести, что а^б трансцендентно, если а алгебраический и б нерационально (а и б оба считаются сложные числа, также ${\displaystyle a\neq 0,a\neq 1}$).

В случае е^π, мы можем доказать трансцендентность этого числа только благодаря свойствам комплексных экспоненциальных форм, где π считается модулем комплексного числа е^π, и указанная выше эквивалентность превращается в (-1)^-я, позволяющий применить теорему Гельфонда-Шнайдера.

π^е не имеет такой эквивалентности, и, следовательно, поскольку оба π и е трансцендентны, мы не можем сделать вывод о трансцендентности π^е.

Номер е^π - π^е

Как и с π^е, неизвестно, были ли е^π - π^е трансцендентно. Кроме того, не существует доказательств, показывающих, является ли это иррациональным.

Десятичное разложение для е^π - π^е дан кем-то A063504:

${\displaystyle e^{\pi }-\pi ^{e}\approx 0.681534914418223532301934163404812352676791108603519744242043855457416310291334871198452244340406188144502\dots }$

Номер я^я

${\displaystyle i^{i}=(e^{i\pi /2})^{i}=e^{-\pi /2}=(e^{\pi })^{-1/2}}$

Десятичное разложение дается выражением A049006:

${\displaystyle i^{i}\approx 0.207879576350761908546955619834978770033877841631769608075135883055419877285482139788600277865426035\dots }$

Из-за эквивалентности мы можем использовать теорему Гельфонда-Шнайдера, чтобы доказать, что обратный квадратный корень из постоянной Гельфонда также трансцендентен:

я является алгебраическим (решение многочлена Икс² + 1 = 0), и не рационально, поэтому я^я трансцендентно.

Смотрите также

• Трансцендентное число
• Трансцендентальная теория чисел, изучение вопросов, связанных с трансцендентными числами
• Тождество Эйлера
• Постоянная Гельфонда – Шнайдера

Рекомендации

1. Тийдеман, Роберт (1976). «О методе Гельфонда – Бейкера и его приложениях». В Феликс Э. Браудер (ред.). Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта. Труды симпозиумов по чистой математике. XXVIII.1. Американское математическое общество. С. 241–268. ISBN  0-8218-1428-1. Zbl  0341.10026.
2. Нестеренко Ю. (1996). «Модульные функции и проблемы трансцендентности». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 322 (10): 909–914. Zbl  0859.11047.
3. Борвейн, Дж.; Бейли, Д. (2004). Математика экспериментально: правдоподобные рассуждения в 21 веке. Уэллсли, Массачусетс: А. К. Питерс. п.137. ISBN  1-56881-211-6. Zbl  1083.00001.
4. Коннолли, Фрэнсис. Университет Нотр-Дам^{[требуется полная цитата ]}

дальнейшее чтение

• Алан Бейкер и Гисберт Вюстхольц, Логарифмические формы и диофантова геометрия, Новые математические монографии 9, Издательство Кембриджского университета, 2007 г., ISBN  978-0-521-88268-2

внешняя ссылка

• Постоянная Гельфонда при MathWorld
• Новый комплексный образ силовой башни для постоянной Гельфонда
• Почти целое в MathWorld