Равенство (математика) - Equality (mathematics)

В математика, равенство это отношение между двумя величинами или, в более общем смысле, двумя математические выражения, утверждая, что величины имеют одинаковое значение или что выражения представляют одно и то же математический объект. Равенство между $А$ и $B$ написано $А = B$ , и произносится $А$ равно $B$ .^[1]^[2] Символ " $=$ "называется"знак равенства ". Два не равных объекта называются отчетливый.

Например:

${ displaystyle x = y}$ Значит это $Икс$ и $у$ обозначают один и тот же объект.^[3]
В личность ${ Displaystyle (х + 1) ^ {2} = х ^ {2} + 2x + 1}$ означает, что если $Икс$ - любое число, то два выражения имеют одинаковое значение. Это также можно интерпретировать как утверждение, что две стороны знака равенства представляют собой одно и то же. функция.
${ Displaystyle {х середина Р (х) } = {х середина Q (х) }}$ если и только если ${ Displaystyle P (x) Leftrightarrow Q (x).}$ Это утверждение, использующее обозначение построителя множеств, означает, что если элементы, удовлетворяющие свойству ${ Displaystyle P (x)}$ такие же, как элементы, удовлетворяющие ${ Displaystyle Q (х),}$ тогда два использования нотации построителя множеств определяют один и тот же набор. Это свойство часто выражается как «два набора, которые имеют одинаковые элементы, равны». Это одна из обычных аксиом теория множеств, называется аксиома протяженности.^[4]

Этимология

В этимология слова происходит от латинского Aequālis («Равный», «подобный», «сопоставимый», «аналогичный») от Aequus («Равный», «уровень», «справедливый», «справедливый»).

Основные свойства

Замещающая собственность: Для любого количество а и б и любое выражение F(Икс), если а = б, тогда F(а) = F(б) (при условии, что обе стороны правильно сформированный ).

Вот некоторые конкретные примеры этого:

Для любого действительные числа а, б, и c, если а = б, тогда а + c = б + c (здесь, F(Икс) является Икс + c);
Для любого действительные числа а, б, и c, если а = б, тогда а − c = б − c (здесь, F(Икс) является Икс − c);
Для любого действительные числа а, б, и c, если а = б, тогда ac = до н.э (здесь, F(Икс) является xc);
Для любого действительные числа а, б, и c, если а = б и c не является нуль, тогда а/c = б/c (здесь, F(Икс) является Икс/c).

Рефлексивное свойство: В любом количестве а, а = а.

Симметричное свойство: Любое количество а и б, если а = б, тогда б = а.

Переходное свойство: Любое количество а, б, и c, если а = б и б = c, тогда а = c.^[5]

Эти три свойства делают равенство отношение эквивалентности. Первоначально они были включены в число Аксиомы Пеано для натуральных чисел. Хотя симметричные и транзитивные свойства часто рассматриваются как фундаментальные, их можно вывести из свойств замещения и рефлексивных свойств.

Равенство как предикат

Когда А и B не указаны полностью или зависят от некоторых переменные, равенство предложение, что может быть истинным для некоторых значений и ложным для других значений. Равенство - это бинарное отношение (т. е. двухаргументный предикат ), что может привести к значение истины (ложный или же истинный) из его аргументов. В компьютерное программирование, его вычисление из двух выражений известно как сравнение.

Идентичности

Когда А и B можно рассматривать как функции некоторых переменных, то А = B Значит это А и B определяют ту же функцию. Такое равенство функций иногда называют личность. Пример: (Икс + 1)² = Икс² + 2Икс + 1. Иногда, но не всегда, личность пишется с тройной бар: (Икс + 1)² ≡ Икс² + 2Икс + 1.

Уравнения

An уравнение это проблема нахождения значений некоторых переменных, называемая неизвестные, для которого верно указанное равенство. Термин «уравнение» может также относиться к отношению равенства, которое выполняется только для значений переменных, которые нас интересуют. Например, Икс² + у² = 1 - это уравнение из единичный круг.

Не существует стандартной нотации, которая отличает уравнение от тождества или другого использования отношения равенства: нужно угадывать подходящую интерпретацию из семантики выражений и контекста. Личность утверждал быть верным для всех значений переменных в данной области. «Уравнение» иногда может означать идентичность, но чаще всего это указывает подмножество пространства переменных, которое будет подмножеством, в котором уравнение истинно.

Сравнения

В некоторых случаях можно рассматривать как равный два математических объекта, эквивалентных только рассматриваемым свойствам. В геометрия например, два геометрические фигуры называются равными, когда одно можно сдвинуть так, чтобы оно совпало с другим. Слово соответствие (и соответствующий символ ${ displaystyle cong}$ ^[6]) также используется для такого равенства.

Примерное равенство

Есть некоторые логические системы которые не имеют понятия о равенстве. Это отражает неразрешимость равенства двух действительные числа, определяемый формулами, включающими целые числа, базовый арифметические операции, то логарифм и экспоненциальная функция. Другими словами, не может быть никаких алгоритм для решения такого равенства.

В бинарное отношение "примерно равно "(обозначается символом ${ Displaystyle приблизительно}$ ^[1]) между действительные числа или другие вещи, даже если их более точно определить, не является транзитивным (поскольку многие небольшие различия можно добавить к чему-то большому). Однако равенство почти всюду является переходный.

Связь с эквивалентностью и изоморфизмом

Рассматриваемое как отношение, равенство является архетипом более общей концепции отношение эквивалентности на множестве: те бинарные отношения, которые рефлексивный, симметричный и переходный. Отношение тождества - это отношение эквивалентности. Наоборот, пусть р - отношение эквивалентности, и обозначим через Икс^р класс эквивалентности Икс, состоящий из всех элементов z такой, что х R z. Тогда отношение x R y эквивалентно равенству Икс^р = у^р. Отсюда следует, что равенство является наилучшим отношением эквивалентности на любом множестве S в том смысле, что это отношение имеет наименьшие классы эквивалентности (каждый класс сводится к одному элементу).

В некоторых контекстах равенство резко отличается от эквивалентность или же изоморфизм.^[7] Например, можно выделить фракции из рациональное число, последние являются классами эквивалентности дробей: дроби ${ displaystyle 1/2}$ и ${ displaystyle 2/4}$ различаются как дроби (как разные строки символов), но они «представляют» одно и то же рациональное число (одну и ту же точку на числовой прямой). Это различие дает начало понятию набор частных.

Аналогично множества

{ displaystyle {{ text {A}}, { text {B}}, { text {C}} }}

и

{ displaystyle {1,2,3 }}

не являются равными наборами - первое состоит из букв, а второе - из чисел - но оба они представляют собой наборы из трех элементов и, следовательно, изоморфны, что означает, что существует биекция между ними. Например

{ displaystyle { text {A}} mapsto 1, { text {B}} mapsto 2, { text {C}} mapsto 3.}

Однако есть и другие варианты изоморфизма, например

{ displaystyle { text {A}} mapsto 3, { text {B}} mapsto 2, { text {C}} mapsto 1,}

и эти множества нельзя идентифицировать, не сделав такого выбора - любое утверждение, которое их идентифицирует, «зависит от выбора идентификации». Это различие, между равенством и изоморфизмом, имеет фундаментальное значение в теория категорий и является одной из причин развития теории категорий.

Логические определения

Лейбниц охарактеризовал понятие равенства следующим образом:

Учитывая любые Икс и у, Икс = у если и только если при любых предикат п, п(Икс) если и только если п(у).

Равенство в теории множеств

Равенство множеств аксиоматизируется в теории множеств двумя разными способами, в зависимости от того, основаны ли аксиомы на языке первого порядка с равенством или без него.

Установите равенство на основе логики первого порядка с помощью равенства

В логике первого порядка с равенством аксиома протяженности утверждает, что два множества, которые содержать одинаковые элементы - это один и тот же набор.^[8]

Аксиома логики: Икс = у ⇒ ∀z, (z ∈ Икс ⇔ z ∈ у)
Аксиома логики: Икс = у ⇒ ∀z, (Икс ∈ z ⇔ у ∈ z)
Аксиома теории множеств: (∀z, (z ∈ Икс ⇔ z ∈ у)) ⇒ Икс = у

Как отмечает Леви, включение половины работы в логику первого порядка может рассматриваться как простое удобство.

"Причина, по которой мы занимаемся исчислением предикатов первого порядка с равенством это вопрос удобства; этим мы экономим труд по определению равенства и доказательству всех его свойств; это бремя теперь берет на себя логика ".^[9]

Установите равенство на основе логики первого порядка без равенства

В логике первого порядка без равенства два множества определенный быть равными, если они содержат одинаковые элементы. Тогда аксиома протяженности утверждает, что два равных множества содержатся в такие же наборы.^[10]

Определение теории множеств: "Икс = у"означает ∀z, (z ∈ Икс ⇔ z ∈ у)
Аксиома теории множеств: Икс = у ⇒ ∀z, (Икс ∈ z ⇔ у ∈ z)

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 1 марта 2020 г.. Получено 1 сентября 2020.
^ Вайсштейн, Эрик В. "Равенство". mathworld.wolfram.com. Получено 1 сентября 2020.
^ Россер 2008, п. 163.
^ Леви 2002, с. 13, 358. Мак Лейн и Биркофф, 1999, п. 2. Мендельсон 1964, п. 5.
^ Вайсштейн, Эрик В. "Равный". mathworld.wolfram.com. Получено 1 сентября 2020.
^ «Список символов геометрии и тригонометрии». Математическое хранилище. 17 апреля 2020 г.. Получено 1 сентября 2020.
^ (Мазур 2007 )
^ Клини 2002, п. 189. Леви 2002, п. 13. Шенфилд 2001, п. 239.
^ Леви 2002, п. 4.
^ Мендельсон 1964 С. 159–161. Россер 2008, стр. 211–213

внешняя ссылка

«Аксиомы равенства», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[:0-1] а ^б «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 1 марта 2020 г.. Получено 1 сентября 2020.

[2] Вайсштейн, Эрик В. "Равенство". mathworld.wolfram.com. Получено 1 сентября 2020.

[3] Россер 2008, п. 163.

[4] Леви 2002, с. 13, 358. Мак Лейн и Биркофф, 1999, п. 2. Мендельсон 1964, п. 5.

[5] Вайсштейн, Эрик В. "Равный". mathworld.wolfram.com. Получено 1 сентября 2020.

[6] «Список символов геометрии и тригонометрии». Математическое хранилище. 17 апреля 2020 г.. Получено 1 сентября 2020.

[7] (Мазур 2007 )

[8] Клини 2002, п. 189. Леви 2002, п. 13. Шенфилд 2001, п. 239.

[9] Леви 2002, п. 4.

[10] Мендельсон 1964 С. 159–161. Россер 2008, стр. 211–213

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]